大学物理机械振动

第四章机械振动

教学时数： 7学时

一、教学要求：（重点、难点）

1、掌握描述机械振动和简谐波的各物理量（特别是位相）及各量间的关系。

2、理解旋转矢量法。

3、掌握简谐运动的基本特征，能建立一维简谐运动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐运动的运动方程，并理解其物理意义。

4、理解同方向、同频率的两个简谐运动的合成规律。理解简谐波的产生条件。掌握由已知质点的简谐运动方程得出平面简谐波的波函数的方法及波函数的物理意义。理解波形图线。了解波的能量传播特征及能流、能流密度概念。

5、了解惠根斯原理和波的叠加原理。理解波的相干条件，能应用位相差和波程差分析、确定相干波叠加后振幅加强和减弱的条件。

6、理解驻波及其形成条件。了解驻波和行波的区别。

7、了解机械波的多普勒效应及其产生的原因。在波源

或观察者单独相对介质运动，且运动方向沿两者连线的情

况下，能用多普勒频移公式进行计算。

8、了解电磁波的性质。

三、教学参考书

1、WA VES . F.S Crawford, Berkeley Physics

Course, Vol3.

2 、University Physics, Part 2.

3 、杨仲耆《大学物理学》波动与光学

4、张三慧《大学物理》波动与光学

机械振动

前言：物体在一定物置附近作来回往复的运动称为机械振动。常见的机械振动往往是周期性的，即每隔一个固定时间T ，物体的运动状态（a

r,,）就完全重复一次。T 称为周期。在单位时间内，运动

v

状态完全重复的次数称为频率 。当然振动也可能是非周期性的，即T 不等或各次的振幅有变化。

质点作机械振动时，来回往复的轨道，可以是直线（谐振子），可以是平面曲线（单摆），甚至是在空间内的曲线。从数学上可证明，这些平面或空间的振动都可以认为是由若干个简单的直线振动叠加而成的。就象平面曲线运动是由若干个简单的直线运动叠加而成的一样。我们把最简单的周期性直线振动称为简谐振动。这就是谐振动的

特点：（1）具有周期性；（2）轨迹为直线。

本章只讨论谐振动。可以证明任何复杂的振动都可以认为是由几个或很多个谐振动合成的。我们在做示波器实验时已经体会到这一点。从这个意义上我们可以说简谐振动是振动学最基本的内容。本章讨论八个问题：

一、谐振动的定义

为了帮助大家更好地掌握和判别谐振动，现从两个不同的角度来定义它。首先从物体的受力角度来表述其定义，看看作谐振动的物体所受的合外力有什么特点。

1、谐振动的动力学定义：物体在线性回复力作用下的运动

称为谐振动。

线性回复力的公式F kx

=-（1）

从（1）式中可以体会到三点物理内容：

（1）F与x的一次方成正比，即为“线性”二字的含义。

（2）当0

x时，0

F=。即运动物体存在一个平衡位置（做题时常

将坐标原点选在平衡位置），在这个平衡位置上，物体不受力或受合力为0。

（3）式中负号表明：F永远与位移x方向相反，即力总是指向平衡位置。这就是回复二字的含义。

下面以弹簧振子为例来探讨一下在线性回复力作用下的物体运动情况，并找出形成机械振动的成因：

体所受合力为0，但由于物体本身的惯性，又会重新偏离平衡位置，从而使振动继续下去。因此机械振动的成因是物体所受的回复力和物体所具有的惯性。

给出了谐振动的动力学定义就等于给出了判断一个直线振动是否为谐振动的判据。谐振动的动力学判据：当物体所受的合外力与位移反向而成正比时，物体的运动为谐振动。

例1、质量为m 的小球，在半径为R 的光滑半球形碗底附近的运动是否为谐振动？

水平位移，即：,θR s x =≈引入位移概念后，考虑到f ,x 的方向： x F mg kx R =-=- R

mg k =( ,负号意为F 与x 反向。） 因为小球始终受一个线形回复力作用，小球的运动是谐振动。若将此题中的R 以摆长l 代替，就得到单摆小角度摆动的情况，当摆角较小时，单摆的运动也可视为谐振动。

物体在线性回复力

作用下运动到平衡位置（0=x 处）。这时物

例2、小球在地面上作完全弹性的上下跳动是否是谐振动？

分析：小球在上、下跳动的过程中，小球的运动符合谐振动的特征（1、运动的轨迹是直线；2、具有周期性），小球离开地面时受重力作用，合外力不为0，平衡位置只可能发生在小球与地面碰撞时，建立坐标如图： 过程中小球所受合外力0≠-mg F ，在碰撞以外，小球始终受重力mg 。所以小球在运动过程中所受的合外力不满足线性回复力的条件（不存在一个受力为0的平衡位置），所以，它的运动不是谐振动。

（1）式中F 为合外力，根据牛二，（1）式可写成：

kx dt x d m -=22 令2ω=m k ； 即m k

=ω ω称为圆频率，它是系统在2π秒内完

成的全振动次数。它与周期T 和频率ν是属于同一性质的物理量，都是用来描述振动快慢的物理量，因而它们之间必定存在一定的关系：ν1

=T =ωπ

2。

将ω代入上式，有：

x

0222=+x dt x d ω （1）*

谐振动的动力学定义也可以用（1）*式微分方程表达。

2、谐振动的运动学定义

上面是从物体受力情况来定义谐振动的，在线性回复力的作用下物体的位移随时间的变化规律是什么呢？现从运动学的角度出发，如何判断一个直线振动是否为谐振动。运动学的主要任务是解决物体何时在何处、处何状态的问题。这一点是由质点的运动方程来体现的。

解微分方程（1）得： )cos(φω+=t A x （2）

（2）式中的A ，φ是常数，它们与振动系统的初始条件有关（后面有证明）。（2）式是t x ,的函数关系式。很显然，它是一运动方程。从运动学角度来看，它解决了谐振动物体何时在何处处在何状态的问题。将（2）式两边同时对t 求导有：

)sin(φωω+-==t A dt dx v （3）

)cos(2φωω+-=t A a （4）

（2）式解决了物体何时在何处，处在何状态（x,v,a ）的问题。由此得到谐振动的运动学定义：作直线振动的质点的坐标X 随时刻t 而变化的规律，遵从余弦函数（或正弦函数）时，这一直线振动称为谐振动。

总结：需要强调的是，对所研究的简谐振动来说，动力学定义和运动学定义是等效的。有两个理由：从数学角度来说，前者是方程，后者是解。从物理意义上说，前者是因（正因为受线性回复力作用），后者是果（物体才作正弦或余弦函数运动）。