蛛网模型

蛛网模型的均衡与非均衡的动态分析
刘志刚， 刘峰， 周鑫，陈慧林
（衡阳师范学院数学与计算科学系2009级，湖南 衡阳 421008）
摘要：本文通过对传统的线性均衡蛛网模型的动态分析，指出了建立在均衡理论的基础上的蛛网模型的局限性，它并不能用于描述价格调节是不完全有效的大多数市场的供求状况，为此，本文还建立了非线性非均衡的蛛网模型，以便于填补这种缺陷，运用严密的数学论证，对这种价格调节是不完全有效的经济系统的供求状况作了较为详细且深入的探讨。

关键词：蛛网模型；多项式逼近；Logistic 方程；倍周期分岔；混沌行为
引言：蛛网模型是动态经济分析中的经典模型，用于描绘供给、需求和价格在相互作用中的变化趋势。

而传统的蛛网模型并不能描述大多数市场的实际运行情况，因此建立非均衡理论，并在其基础上详细地论述价格序列的收敛、发散、2及其以上的周期运动和混沌行为是很有现实意义的。

1 、均衡蛛网模型
1.1 均衡蛛网模型的动态分析
传统的蛛网模型是建立在均衡理论基础上，文[1]、[2]对蛛网模型的基本假定：价格调节是完全有效地，即商品的本期产量t S 决定于前一期的价格1-t P ，商品本期需求量t D 决定于本期的价格t P ，而每一期的供给量与需求量相等。

即均衡蛛网模型的一般形式如下：
)(1-=t t P s S （1.1） )(t t P d D = （1.2） t t D S = （1.3） 将（1.1）式与（1.2）式分别代入（1.3）式，得
)()(1t t P d P s =- （1.4） 由文献[1]知，)(P d 关于P 严格递减，则有
)(11
--=t t P s d P （1.5）
式（1.5）为价格演化方程。

当由（1.5）生成的价格序列{}t P 收敛于*
P >0时，可得
)()(**=P d P s ，称*P 为均衡价格。

在均衡价格条件下，不仅供给量与需求量相等，而且价
格不再有变动的趋势，经济系统处于稳定状态。

显然，由（1.5）生成的价格序列{}t P 能否收敛，取决于s ,d 的具体形式，从下节开始将从线性与非线性形式加以论述。

1.2线性均衡蛛网模型的动态分析
假定s ，d 具有线性形式，即
=)(P s P b a ⋅+ (1.6) P d c P d ⋅-=)( (1.7) 其中b ，d >0, 则式（1.5）化成 d
a
c P
d b P t t -+
-
=-1 (1.8) 利用待定系数法或迭代法可得到上式所决定的价格序列{}t P 的敛散性，即 （1）当d b <时，{}t P 收敛，即当∞→t 时，d
b a
c P P +-=
→*
； （2）当d b >时，价格序列{}t P 发散；
（3）当d b =时，价格序列{}t P 呈现2周期运动，即不会收敛于*
P 。

以上三种情形于文献[1]相关的图像更形象地说明，在线性均衡条件下，会出现收敛型蛛网，发散型蛛网和封闭型蛛网三种情形。

2、非均衡蛛网模型
2.1 非均衡蛛网模型
非均衡理论假定市场不完善，单一的价格调节不能将每一期的供给量与需求量都调至相等，需要通过价格与数量的共同的调节，来实现双方的彼此相适应的市场交换。

显然，非均衡理论比均衡理论更符合大多数市场的实际运行情况。

非均衡蛛网模型的一般式如下：
)(1-=t t P s S （2.1）
)(t t P d D = （2.2）
),m in(t t t D S Q ≤ （2.3）
)(1t t t t S D r P P -+=- （2.4）
式（2.3）市场交易量方程，表示本期的市场交易量不大于本期供给量与需求量中的较小者，当市场上不同时存在受供给限制的需求者和受需求限制的供给者时，式（2.3）取等号，否则，取小于号。

式（2.4）为价格调节方程，表本期价格依据前期价格和本期供求关系进行调节，其中r 为价格调节参数，且0>r ，表示价格调节方向与本期过度需求的方向一致。

在这种价格调节方式下，本期价格并没有将本期的供求调至平衡，因此，价格调节是不完全有效的，这显然适合于描述大多数市场的供求状况。

将式（2.1）和（2.2）代入式（2.4）得：
)()(11--⋅-=⋅-t t t t P s r P P d r P （2.5） 记)()(P d r P P g ⋅-=，)()(P s r P P f ⋅-=，式（2.5）化为
=)(t P g )(1-t P f （2.6） 文献[2]假定)(P g 关于P 严格递增（这是比需求函数)(P d 关于P 递减要弱的条件）。

式（2.6）化为
)(11
--=t t P f g P （2.7）
记)()(1
P f g
P h -=,式（2.7）化为
)(1-=t t P h P （2.8） 式（2.8）为非均衡蛛网模型的价格演化方程，它描述了该模型的动态行为。

2.2非均衡的蛛网模型的动态分析
本节证明：由（2.8）生成的价格序列{}t P 可以描述收敛、发散、各种周期运动及混沌现象。

与由式（1.5）生成的价格序列{}t P 相比，能反映更广泛的动态经济行为。

1．线性分析
在线性条件下，供给函数=)(P s P b a ⋅+， 需求函数P d c P d ⋅-=)(，其中b ，d >0,代入（2.8），得
d
r a c r P d r b r P t t ⋅+-+
⋅+⋅-=
-1)
(111 （2.9） 由1.2的分析方法知：
（1）、当2)(<-d b r 时，式（2.9）生成的价格序列{}t P 收敛，且均衡价格d
b a
c P +-=*
； （2）、当2)(>-d b r 时，价格序列{}t P 发散；
（3）、当2)(=-d b r 时，价格序列{}t P 呈现2周期运动。

价格序列{}t P 收敛意味着供求的不平衡最终会趋于平衡，而发散，各种周期运动及混沌行为
意味着供求的不平衡会一直持续下去，不利于经济的稳定运行。

因此，在动态经济系统中，使经济运行具有更大的稳定性的价格调节方式，应认为是更好的价格调节方式。

在线性条件下，均衡蛛网模型收敛的充要条件是d s K K <，即d b <。

而非均衡蛛网模型收敛的充要条件为2)(<-d b r ：
（i ）、当d b ≤时，必有2)(<-d b r ； （ii ）、当d b >时，)2
,
0(d
b r -∈∀，仍有2)(<-d b r ，由此可见，非均衡蛛网模型的稳定性比均衡蛛网模型的稳定性好得多，这种不完全有效的价格调节方式比完全有效的价格调节方式更有利于动态经济系统趋于稳定运行。

2．非线性分析
假定供给函数)(P s 为一般非线性形式，需求函数)(P d P d c ⋅-=，)0(>d ，代入式（2.8），得：
[])(11
11--⋅-⋅+⋅+=t t t P s r c r P d
r P （2.10）
记[]
)(11
)(P s r c r P d
r P F ⋅-⋅+⋅+=。

式（2.10）化为：
)(1-=t t P F P （2.11）
下用chiarell 二次多项式逼近方法。

研究由（2.11）生成的价格序列}{t P 的动态行为。

构造二次多项式)(P G 逼近)(P F ，满足
)(P G )(P P ⋅-=βλ
)(2*'P F -=λ
*
*')
(1P
P F +=β 则)(P G 过点))(,(*
*
P F P ，且)(*
'
P G )(*
'P F =。

记t t P X λ
β
=
，则（2.11）近似为： )1()(111----==t t t t X X X f X λ （2.12） 而式（2.12）为Logistic 方程。

以下将详细论述{}t X 收敛、发散、2及其以上周期运动和怎样进入混沌过程的： 引理：对任一数列{}t X 而言，若存在常数r ，t s .,t N ∀∈恒有
11-+-≤-t t t t X X r X X ，10<<r (2.13)
则{}t X 收敛。

证明：∑++=-+-≤
-p
t t k k k
t p t X X
X X 1
1 011
1
X X r
p
t t k k -≤
∑++=-r
r r X X p
t t --⋅-=+101
r
r X X t
-⋅-≤101，应用Cauchy 准则，知{}t X 收敛，或利用Alembert D '判别法，可知级数
()∑--1t t
X X
绝对收敛，从而序列()01
1X X X X t
k k k t +-=∑=-),1,0( =t 收敛。

定理：若数列{}t X 利用通项公式给出：),2,1)((1 ==+t X f X t t ，其中f 为某一可微函数，且R r ∈∃, 使得
)(1)(R X r X f ∈≤≤', （2.14）
则{}t X 收敛。

证明：若（2.14）成立，利用微分中值定理： t t X X -+1)()(1--=t t X f X f ))((1--'=t t X X f ξ 1--≤t t X X r ， ,3,2=t 即此时式（2.13）成立，故由引理可知{}t X 收敛。

可以知道由式（2.12）决定的不动点方程为
)1(X X X -=λ （2.15）
由此可解得的不动点即为：
O 点：0=X A 点：λ
1
1-
=X
若是稳定的不动点，当给定一个初值0X 后，则由迭代过程会收敛到该点。

关于不动点的稳定性分析，在这里不仅要找到使运动保持稳定的条件，而且还要找到运
动失稳的条件，并研究失稳后运动如何进一步演化，不动点的稳定性由不动点处的映射
)(X Y Y =的斜率绝对值)(X Y '决定，即由定理可知：
迭代方程)(1t t X f X =+要收敛（稳定）的条件：
)(*'X f 1< （2.16）
换句话说，不动点出现不稳定的条件：
)(*'X f >1 （2.17）
现引出一般的映射表示，方程)(1-=t t X f X 中)(X f 是一固定的映射函数，给定0X ，有)(01X f X =,)(12X f X =,即可给出
,,,,210t X X X X
的{}t X 序列，通过t 次映射，式（2.12）可以写为
)()(0)(1X f X f X t t t ==- （2.18）
上式中的
)(0)(X f t ))))(((0 X f f f = （2.19）
式（2.18）便是数学中的t 次映射与{}t X 的对应关系。

下面依据式（2.12）中的λ不同的取值范围，来论述{}t X 的收敛、发散、2及其以上周期运动和怎样进入混沌过程的：
当10<<λ，在线段内]1,0[内任取一个初值0X ，迭代过程迅速趋向一个不动点，
t X →0，1)0(<='λf ，故存在稳定的不动点O ，即
)1(***-=X X X λ （2.20）
容易得到：
⎪⎩
⎪
⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛--==**λλ10
2
1X X
当1<λ的条件下，*
2X 不合价格的概念，于是只可能的唯一结果是序列{}t X 趋向0。

当1=λ，)0(f '1=，因而发生跨临界分岔。

当131λλ=≤<，有两个不动点O 和A ，对于O 点，由于)0(f '=λ1>，故它是不稳定的。

对于A 点，因为12)1
1(<-=-
'λλ
f ，故它是稳定的。

因此由初值0X 出发的迭代过程总
是离开不动点O 而接近不动点A 。

例如2=λ，迭代后得5.0→t X ，这叫周期1解。

当3=λ，对A 点，由于12)(-=-='λA f ，因而发生叉型分岔。

当2613λλ=+≤<，对O 点，1)0(>='λf ，它仍是不稳定的。

对于A 点，)1
1(λ
-
'f
12>-=λ，
则A 点由稳定变为不稳定。

考察历次迭代结果，可看到经过不长的过度阶段后，分岔出一对新的稳定的不动点，即t X 在两个值上来回跳动。

例如，取定20.3=λ，而
1.00=X ，给出了双周期分岔的迭代过程，很明显地看出在6785.01
1=-
=*λ
X 出现严重的
不稳定，迭代在799.0)
2(2=X 和513.0)
2(1
=X 两点之间来回振动，形成双周期。

究其不稳定
的原因在于λ的升高，从而1)(>'*
X f 。

根据映射理论，双周期特性满足交叉映射，即
⎩⎨⎧==)()(22)2(1)2(1)2(2X f X X f X ，也可以进一步写出⎩⎨⎧==)()()
2(2)2()2(2)2(1)2()2(1X f X X f X ，也就是说)2(1X 和)
2(2X 是)2(f 两次映射的两个不动点，具体到Logistic 方程，有⎩⎨⎧-=-=)
1()
1()
2(2)2(2)2(1)2(1)2(1)
2(2X X X X X X λλ,合并两次映射有 [][]
)1(1)1()2(1)2(1)2(1)2(12)2(1X X X X X ---=λλ,式中，左右两边均有一个不稳定不动点，
0)2(1=X ，余下的构成均一三次方程。

为了简单略去上下标，写出232X X -+X )1
1(λ
+
0)1(32=--λλ，对它作因式分解得：0)1()1(
)11(22=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
--λλλλλX X X , 注意又出现了一不稳定不动点λ
1
1-
==*
X X ，余下二次方程两根
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧-+++=-+-+=)31)(11(21)11(21)3
1)(11(21)11(21)2(2)2(1λλλλλλX X ，综合起来，分岔双周期实质上有四个解。

两个不稳 点0=*
X 和λ
1
1-
=*
X ；两个不稳定点)2(1X 和)
2(2X 。

这就叫做周期2解。

如果继续增加λ的值，则：
当3545.3449.3λλ=<<，周期2的两个值又不稳定，各自产生一对新的不动点，此时
t X 在四个值之间振动，这叫周期4解。

例如，5.3=λ时，t X 趋向于→152.0→879.0
152.0823.0373.0→→。

这样的过程不断继续下去。

从分岔的观点看，随着λ的逐渐增加这是不断地一分为二的过程：周期1不稳定时，分岔出周期2；周期2不稳定时，分岔出周期4；周期4不稳定时，分岔出周期8等等。

周期12-t 不稳定时，分岔出周期t 2，这种过程称之为倍周期分岔。

如图2.2.1
在上述倍周期分岔过程中，令1λ代表1分为2的分岔值，即31=λ；2λ代表2分为4的分岔值，即449898743.3632≈+=λ，如此等等，并计算间距之比，
图2.1
由表2.1所列的各分岔点t λ的数值看出，随着λ值的逐渐增加，开始不动点A （周期1解或
定态解）由失稳进入周期2振荡，再进入周期4振荡，直到∞=>λλ57.3时，序列0X ，
1X ，2X ， ,,t X 像是分布在区间]1,0[上的随机数，所以称为混沌。

为了更清楚起见，
由倍周期分岔而进入混沌的过程如图2.2所示。

参数λ在]4(,∞λ区间中为混沌区，其中有一个反的周期t 2的混沌带序列，混沌带并非乱成一片，其实混沌区也有许多周期窗口。

以上就是{}t X 的收敛、发散、2及其以上周期运动和混沌行为的详细描述。

由2.2生成
λ
图2.2 的价格序列{}t P 也可产生同样的运动状态。

上述分析表明，与均衡蛛网模型只能描述收敛、发散和2周期运动三种类型相比，非均衡蛛网模型还能描述3以上的各种周期运动、混沌行为等更广泛和更常见的演化类型和经济现象，它克服了传统的蛛网模型在反映动态行为类型方面的局限性。

参考文献
[1]高鸿业.西方经济学（微观部分）第四版[M].北京：中国人民大学出版社，2007. [2]边欣.非线性蛛网理论及应用研究[D].天津：天津大学，2005.
[3]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法第二版[M].北京：高等教育出版社，2006. [4]王铮.边际消费倾向的混沌现象及其混沌控制的研究[D].四川：成都理工大学，2007. [5]蒋国庆.混沌理论用于经济预测研究[D].南京：南京信息工程大学，2006.
致 谢
对杨柳老师的悉心指导表示衷心感谢.。