蛛网模型

蛛网模型的均衡与非均衡的动态分析

刘志刚， 刘峰， 周鑫，陈慧林

（衡阳师范学院数学与计算科学系2009级，湖南 衡阳 421008）

摘要：本文通过对传统的线性均衡蛛网模型的动态分析，指出了建立在均衡理论的基础上的蛛网模型的局限性，它并不能用于描述价格调节是不完全有效的大多数市场的供求状况，为此，本文还建立了非线性非均衡的蛛网模型，以便于填补这种缺陷，运用严密的数学论证，对这种价格调节是不完全有效的经济系统的供求状况作了较为详细且深入的探讨。

关键词：蛛网模型；多项式逼近；Logistic 方程；倍周期分岔；混沌行为

引言：蛛网模型是动态经济分析中的经典模型，用于描绘供给、需求和价格在相互作用中的变化趋势。而传统的蛛网模型并不能描述大多数市场的实际运行情况，因此建立非均衡理论，并在其基础上详细地论述价格序列的收敛、发散、2及其以上的周期运动和混沌行为是很有现实意义的。

1 、均衡蛛网模型

1.1 均衡蛛网模型的动态分析

传统的蛛网模型是建立在均衡理论基础上，文[1]、[2]对蛛网模型的基本假定：价格调节是完全有效地，即商品的本期产量t S 决定于前一期的价格1-t P ，商品本期需求量t D 决定于本期的价格t P ，而每一期的供给量与需求量相等。即均衡蛛网模型的一般形式如下：

)(1-=t t P s S （1.1） )(t t P d D = （1.2） t t D S = （1.3） 将（1.1）式与（1.2）式分别代入（1.3）式，得

)()(1t t P d P s =- （1.4） 由文献[1]知，)(P d 关于P 严格递减，则有

)(11

--=t t P s d P （1.5）

式（1.5）为价格演化方程。当由（1.5）生成的价格序列{}t P 收敛于*

P >0时，可得

)()(**=P d P s ，称*P 为均衡价格。在均衡价格条件下，不仅供给量与需求量相等，而且价

格不再有变动的趋势，经济系统处于稳定状态。

显然，由（1.5）生成的价格序列{}t P 能否收敛，取决于s ,d 的具体形式，从下节开始将从线性与非线性形式加以论述。

1.2线性均衡蛛网模型的动态分析

假定s ，d 具有线性形式，即

=)(P s P b a ⋅+ (1.6) P d c P d ⋅-=)( (1.7) 其中b ，d >0, 则式（1.5）化成 d

a

c P

d b P t t -+

-

=-1 (1.8) 利用待定系数法或迭代法可得到上式所决定的价格序列{}t P 的敛散性，即 （1）当d b <时，{}t P 收敛，即当∞→t 时，d

b a

c P P +-=

→*

； （2）当d b >时，价格序列{}t P 发散；

（3）当d b =时，价格序列{}t P 呈现2周期运动，即不会收敛于*

P 。

以上三种情形于文献[1]相关的图像更形象地说明，在线性均衡条件下，会出现收敛型蛛网，发散型蛛网和封闭型蛛网三种情形。

2、非均衡蛛网模型

2.1 非均衡蛛网模型

非均衡理论假定市场不完善，单一的价格调节不能将每一期的供给量与需求量都调至相等，需要通过价格与数量的共同的调节，来实现双方的彼此相适应的市场交换。显然，非均衡理论比均衡理论更符合大多数市场的实际运行情况。

非均衡蛛网模型的一般式如下：

)(1-=t t P s S （2.1）

)(t t P d D = （2.2）

),m in(t t t D S Q ≤ （2.3）

)(1t t t t S D r P P -+=- （2.4）

式（2.3）市场交易量方程，表示本期的市场交易量不大于本期供给量与需求量中的较小者，当市场上不同时存在受供给限制的需求者和受需求限制的供给者时，式（2.3）取等号，否则，取小于号。式（2.4）为价格调节方程，表本期价格依据前期价格和本期供求关系进行调节，其中r 为价格调节参数，且0>r ，表示价格调节方向与本期过度需求的方向一致。在这种价格调节方式下，本期价格并没有将本期的供求调至平衡，因此，价格调节是不完全有效的，这显然适合于描述大多数市场的供求状况。

将式（2.1）和（2.2）代入式（2.4）得：

)()(11--⋅-=⋅-t t t t P s r P P d r P （2.5） 记)()(P d r P P g ⋅-=，)()(P s r P P f ⋅-=，式（2.5）化为

=)(t P g )(1-t P f （2.6） 文献[2]假定)(P g 关于P 严格递增（这是比需求函数)(P d 关于P 递减要弱的条件）。式（2.6）化为

)(11

--=t t P f g P （2.7）

记)()(1

P f g

P h -=,式（2.7）化为

)(1-=t t P h P （2.8） 式（2.8）为非均衡蛛网模型的价格演化方程，它描述了该模型的动态行为。

2.2非均衡的蛛网模型的动态分析

本节证明：由（2.8）生成的价格序列{}t P 可以描述收敛、发散、各种周期运动及混沌现象。与由式（1.5）生成的价格序列{}t P 相比，能反映更广泛的动态经济行为。 1．线性分析

在线性条件下，供给函数=)(P s P b a ⋅+， 需求函数P d c P d ⋅-=)(，其中b ，d >0,代入（2.8），得

d

r a c r P d r b r P t t ⋅+-+

⋅+⋅-=

-1)

(111 （2.9） 由1.2的分析方法知：

（1）、当2)(<-d b r 时，式（2.9）生成的价格序列{}t P 收敛，且均衡价格d

b a

c P +-=*

； （2）、当2)(>-d b r 时，价格序列{}t P 发散；

（3）、当2)(=-d b r 时，价格序列{}t P 呈现2周期运动。

价格序列{}t P 收敛意味着供求的不平衡最终会趋于平衡，而发散，各种周期运动及混沌行为