达朗贝尔原理(动静法)

求:
v, FT .
解:
FI
n
m
a
n
m
l
v2 sin
mg FT FI 0
Fb 0, F1 cos mg 0
Fn 0, FT sin FIn 0
解得
FT
mg
cos
1.96N
v
FT l sin 2
m
2.1m s
§ 14-2 质点系的达朗贝尔原理
Fi FNi FIi 0
M Ix J xz J yz 2 0 M Iy J yz J xz 2 0
必有 aC 0
J xz J yz 0
称满足 J xz J yz 0 的轴z为惯性主轴
通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴
因此,避免出现轴承动约束力的条件是: 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴.
例14-8 如图所示,轮盘(连同轴)的质量 m 20kg,
mi ain
mi ri 2
MIx
M x FIi
Mx
Fi Ii
Mx
Fn Ii
miri cosi zi (miri2 sin i zi )
由
cos
i
xi ri
,
sin
i
yi ri
有 MI x m ix iz i2 m i y iz i
记 J yz m i y iz i, Jxz m i x i z i
因
Fii 0,
M0 Fii 0,
有
Fie FIi 0
M 0 Fi e M 0 FIi 0
也称为质点系的达朗贝尔原理:作用在质点系上的外
力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系.
例14-2 如图所示,定滑轮的半径为r,质量为m均匀分布
在轮缘上,绕水平轴Ｏ转动.垮过滑轮的无重绳的两端挂有质
为对于z 轴的惯性积.
M Ix J xz J yz 2
同理 M Iy J yz J xz 2
M Iz M z FIti M z FIni
因
M z FIin 0, 有
M Iz M z FIti miri ri
miri2
J z
M IO M Ixi M Iy j Mizk
i 1,2,,n
质点系的达朗贝尔原理:质点系中每个质点上作用的主动
力,约束和它的惯性力在形式上组成平衡力系.
记 Fi(e) 为作用于第i个质点上外力的合力.
F (i) i
为作用于第i个质点上内力的合力.
则有
Fie
Fi i
FIi 0
M0 Fie M0 Fii
M 0 FIi 0
转轴AB与轮盘的质量对称面垂直,但轮盘的质心C不在转轴上,偏心
距
e
0.1mm.当轮盘以均转速
n
12000
r 转动时. min
求:轴承A,B的约束力
解:
an
e 2
0.1 1000
m 12000π 30
1 s
2
158 m s2
FIn man 3160N
FNA
FNB
1 2
mg FIn
1 AB
M y FRxOA M Ix FIxOA
FBy
1 AB
M x FRyOA M Ix FIyOA
FBz FRz
由 FIR , M IO引起的轴承约束力称动约束力,
动约束力为零的条件为:
FIx FIy 0, M Ix M Iy 0
即: FIx maCx 0 FIy maCy 0
动的角速度为 ,角加速度为 .
求:惯性力系向点Ｏ简化的结果
(方向在图上画出).
解:
FItO
m
l
2
FIOn
m
l 2
2
M IO
1 3
ml 2
例14-5如图所示,电动机定子及其外壳总质量为m1,质心
位于O 处.转子的质量为m2 ,质心位于Ｃ 处,偏心矩ＯＣ＝e ,
图示平面为转子的质量对称面.电动机用地角螺钉固定于水平
例14-3飞轮质量为m,半径为Ｒ,以匀角速度 定轴转动，
设轮辐质量不计,质量均布在较薄的轮缘上,不考虑重力的影 响.
求:轮缘横载面的张力.
解:
FIi
miain
m
2R
Ri R 2
Fx 0, FIi cos FA 0
Fy 0, FIi sin FB 0
令 i 0,
FA
2
量为m1和m2的重物(m１>m2),绳与轮间不打滑,轴承摩擦忽略 不计,求重物的加速度.
解: FI1 m1a, FI 2 m2a
FIti mir mia ,
FIin
mi
v2 r
MO 0, m1g m1a m2g m2ar miar 0
由 miar mi ar mar
解得 a m1 m2 g m1 m2 m
1 209.8 3160N 1680N
2
Pl3
a
ml2
J R
FB
l1
1 l2
mgl1
Pl1
l2
l3
a
ml1
J R
上式中前两项为静约束力,附加约束力为
FA
l1
a l2
ml2
J R
FB
l1
a l2
ml1
J R
例14-7 已知,均质圆盘 m1, R, 均质杆 l 2R, m2,
纯滚动. 求:F 多大,能使杆B 端刚好离开地面?纯滚动的条件?
的重物,其它尺寸如图.
已知: P, R, J , a, m.
求:支座A,B受到的附加约束力.
解 : FI ma
MI0
J
J
a R
M B 0 mgl2 F2l Pl3 M IO FAl1 l2 0
Fy 0 FA FB mg P FI 0
解得:
FA
l1
1 l2
mgl2
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直,简化中
心取此平面与转轴的交点,则
Jxz mi xizi 0, J yz mi yi zi 0
有 M IO M Iz J z
３ 刚体作平面运动
（平行于质量对称面）
M Ic JC
FIR maC
例14-4 如图所示均质杆的质量为m,长为l,绕定轴O转
因 t,得
Fx m2e 2 sin t
Fy m1 m2 g m2e 2 cost
M m2gesin t m2e 2hsin t
例14-6 如图所示,电动绞车安装在梁上,梁的两端搁在 支座上,绞车与梁共重为P.绞盘半径为R,与电机转子固结在一
起,转动惯量为J ,质心位于O 处.绞车以加速度a提升质量为m
得
Fs
3 2 m1g
由 Fs fs FN fs m1 m2 g
解得
fs
Fs FN
3m1
2m1 m2
§ 14-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
Fx 0 FAx FBx FRx FI x 0 Fy 0 FAy FB y FR y FI y 0
Fz 0 FBz FRz 0
§ 14-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理
ma F FN
F FN ma 0
令
FI ma
惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ力
有 F FN FI 0
质点的达朗贝尔原理:作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性在形式上组成平衡力系.
例14-1 用达朗贝尔原理求解例10-3
已知: m 0.1kg, l 0.3m, 60
M x 0 FB yOB FAyOA M x M I x 0 M y 0 FAxOA FBxOB M y M I y 0
解得
FAx
1 AB
M y FRxOB M Ix M IxOB
FAy
1 AB
M x FRyOB M Ix FIyOB
FBx
基础上,转O与水平基础间的距离为h.运动开始时,转子质心Ｃ
位于最低位置,转子以匀角速度 转动.
求:基础与地角螺钉给电动机总的约束力.
解: FI me 2
Fx 0, Fx FI sin 0
Fy 0, Fy (m1 m2 )g F1 cos 0 M A 0, M m2gesin F1hsin 0
m
R 2 cos
0 2
d
mR 2 2
FB
2
m R 2 sin
0 2
d
mR 2 2
§
FIR
14-3
Fi
e
刚体惯性力系的简化
maC
１ 刚体平移
惯性力系向质心简化.
由
M IC
d dt
LC
0
只简化为一个力 FIR maC
2 刚体定轴转动
大小为:
Ft Ii
mi ait
mi ri
Fn Ii
解:刚好离开地面时,地面约束力为零.
M A 0 m2aRsin 30 m2gR cos30 0
a 3g
得
FIA m1a,
M IA
1 2
m1 R 2
a R
MD 0 FR FIAR MIA FICRsin 30 m2gRcos30 0
解得
F
3 2
m1
m2
3g
Fx 0 F Fs m1 m2 a 0