估计量的评价标准

设 (X1,, Xn ) 为取自总体 X 的样本，
E( X ) E( X ) ，
说明 X 是总体均值E( X ) 的无偏估计；
样本方差
S
2

n
1
1
n i 1
(
Xi

X
)2
，
E( S
2
)

D(
X
)，
说明 S 2 是总体方差D( X ) 的无偏估计.
样本均值 X 是EX的无偏估计，
样本方差 S2 是DX的无偏估计。
X1

1 3
X2

1 3
X3
.
ˆ1

1 5
X
1

3 10
X2

1 2
X3
,
ˆ2
Байду номын сангаас
2 3
X1
1 2
X2
1 6
X3
,
ˆ3

1 3
X1

1 3
X2

1 3
X3
.
证
E(ˆ1 )

E(
1 5
X1

3 10
X2

1 2
X3
)
(1 3 1 )EX EX , 5 10 2
E(ˆ2 )
E(ˆ) ，
则称ˆ 为 的无偏估计量。
E(ˆ)
无偏估计量的含义是：ˆ 作为样本的函数 是一个随机变量，它在 的真值附近波动，但其 平均值恰好是 的真值。比如用一台秤去称物
品 ，误差有两个来源 ：一是秤本身制作结构上的 问题 ，这属于系统误差 ；另一种是操作上或其它 随机因素的干扰 ，这属于随机误差 。无偏性即要 求没有系统误差。
P{ ˆn


} 0，
则称ˆn 是 的相合估计量。
直观上看,当n增大时,样本信息增多,当然希望估计 量越来越靠近真值的概率也越来越大, 这种想法就 引出了上面的一致性概念. 一致估计量一般地是当 样本容量很大时,才能显示其优点.
由切比雪夫大数定律,对 0 ,有
lim
n
一、无偏性
估计量是随机变量, 对于不同的样本值就会得到 不同的估计值, 希望估计值在未知参数真值左右徘徊, 最好它的数学期望等于未知参数的真值, 这就导致了 无偏性这个标准。
定义 设( X1,, X n ) 是总体X 的一个样本,ˆ ˆ( X1,, X n )
是未知参数 的估计量,如果有

(2 3

1 2

1 )EX 6

EX
,
所 以ˆ1 ,ˆ2 ,ˆ3
均为 EX 的无偏
E(ˆ3 )

(1 3

1 3

1 )EX 3

EX
,
估计量。
ˆ1

1 5
X1

3 10
X2

1 2
X3
,
ˆ2

2 3
X1

1 2
X2

1 6
X3
,
ˆ3

1 3
X1

1 3
X2

1 3
X3
.
D(ˆ1 )
例1 设总体 X 服从均匀分布U (0, ) ，试证 的矩法估计量ˆ 2X 是 的无偏估计量。
证 E(ˆ) E(2X ) 2E( X ) 2E( X ) 2 .
2
例2 设 D( X ) 0 , E( X ) ,试问 X 2 是否为2
的无偏估计？

D( 1 5
X1

3 10
X2

1 2
X
3
)
( 1
9

1 )DX

0.38DX
,
25 100 4
D(ˆ2 )

(4 9

1 4

1 )DX 36

0.72DX
,
D(ˆ3 )

(1 9

1 9

1 )DX 9

0.33DX
.
3最有效
三、相合性
定义 如果对 0 ,有
lim
n
样本二阶中心矩
S2n
1 n
n i1
2
Xi X
E(Sn2 )

n 1 n
DX
lim
n
E
(Sn2
)

lim
n
n 1 DX n

DX
如果 E ˆ
但，lim E( ) n
则称 是 的渐进无偏估计量
S2n 不是DX的无偏估计， 但它是DX的渐进无偏估计.
P
1 n
n i 1
Xi
EX
0，
可知 X 是 EX 的一个一致估计量。
由辛钦大数定理可以证明，
S 2

1 n1
n i 1
(Xi

X )2
是DX的一致估计量。
样本均值是总体均值的相合估计.
样本方差是总体方差的相合估计.
证 E( X 2 ) D( X ) [E( X )]2
1 D( X ) 2 2 ,
n
故 X 2 不是2 的无偏估计。
二、有效性
一般来说,一个参数往往有多个无偏估计量.
若 有两个无偏估计量: ˆ1 ,ˆ2 , 则 ˆ aˆ1 bˆ2 当a+b=1时都是 的无偏估计量。
估计量的无偏性只保证了估计量的取值在参数 真值周围波动,但是波动的幅度有多大呢?自然的, 我们希望估计量波动的幅度越小越好,幅度越小,则 估计量取值与参数真值有较大偏差的可能性越小, 而衡量随机变量波动幅度的量就是方差.这样就有 了我们下面要介绍的有效性的概念.
定义 设总体有一未知参数 ,样本( X1 ,, X n ) ，ˆ1 ,ˆ2 均为 的无偏估计，如果
D(ˆ1 ) D(ˆ2 ) 则称ˆ1 比ˆ2 有效。
例3 设( X1, X 2 , X 3 ) 为取自总体 X 的样本, 试证明下列 三个统计量均为 EX 的无偏估计量，并比较有效性.
ˆ1

1 5
X1

3 10
X2

1 2
X3
,
ˆ2

2 3
X1

1 2
X2

1 6
X3
,
ˆ3

1 3