第十三章函数列和函数项级数

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n n1
1. 2
所以 { xn } 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 .
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定理 13.1 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列 { fn } 在 D 上一致收敛于 f 的充要条件是: 对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 n, m > N 时, 对任何 x∈D , 都有
(9)
称为定义在 E 上的函数项级数,简记为 un ( x) 或 un( x) n1 n
称Sn ( x) uk ( x) 为函数项级数 (9) 的部分和函数列. k 1
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若 x0 ∈E 时,数项级数 u1( x0 ) u2 ( x0 ) un ( x0 )
收敛,则称 x0 为函数项级数 (9) 的收敛点,若此级数 发散,则称函数项级数 (9) 在 x0 发散.函数项级数 (9) 在数集 D⊂E 上每一点都收敛,则称函数项级数 (9)在 D 上收敛.级数 (9)全体收敛点构成的集合 D 称为级数
| fn(x) – fm (x) | <ε.
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定理 13.2 函数列 { fn } 在 D 上一致收敛于 f 的
充要条件是:
lim sup |
n xD
fn(x)
f
( x) |
0.
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二、函数项级数及其一致收敛性
设 { un(x) } 是定义在数集 E 上的一个函数列,表达式
u1( x) u2( x) un( x) x E
对任何 x∈D , 都有
| Sm(x) – Sn (x) | <ε.

| un1( x) un2 ( x) um ( x) | .
m
| uk ( x) | .
k n1
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推论 函数项级数∑un(x) 在 D 上一致收敛的必要 条件是:函数列 { un(x) } 在 D 上一致收敛于零.
第十三章函数列与函数项级数
§1 一致收敛性 §2一致收敛函数列与函数项级 数的性质
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§1 一致收敛性
一、函数列及其一致收敛性 二、函数项级数及其一致收敛性 三、函数项级数的一致收敛性判别

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一、函数列及其一致收敛性

f1, f2, , fn,
(1)
是一列定义在同一数集 E 上的函数,称为定义在 E
上的函数列,简记为 { fn } 或 fn , n = 1, 2, . . . 设 x0 ∈E , 将 x0 代入上述函数列,可得数列
f1( x0 ), f2 ( x0 ), , fn ( x0 ), . 若此数列收敛,则称 x0 为函数列 (1) 的收敛点,若此
数列发散,则称函数列 (1) 在 x0 发散.
| fn0(x0) – f (x0) | ≥ε0 则称 { fn } 在 D 上不一致收敛于 f .
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例 证明函数列 { xn } 在 ( 0, 1 ) 上不一致收敛于 0 .
证 取 0 1 2 , 对任何正整数 N , 当 n > N 时,

x0
(
n
1
)n
n1
(0, 1) ,
则有
| ( x0 )n 0 |
|vn(x)|≤M , n = 1, 2, . . . 则函数项级数∑un(x)vn(x) 在数集 I 上一致收敛.
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定理 13.7 (狄利克雷判别法) 设

∑un(x)
的部分和函数列 n
Un ( x) uk ( x)
k 1
在 I 上一致有界;
n 1, 2,
⑵ 对每一个 x∈I ,{ Un(x) } 是单调的; ⑶ { vn(x) } 在 I 上一致收敛于 0 , 则函数项级数∑un(x)vn(x) 在数集 I 上一致收敛.
设函数项级数∑un(x) 在 D 上的和函数为 S(x), 称
Rn(x) = S(x) – Sn (x) 为函数项级数∑un(x) 的余项.
定理 13.4 函数项级数∑un(x) 在 D 上一致收敛于
S(x) 的充要条件是
limHale Waihona Puke nsupxD
|
S(
x)
Sn
(
x)
|
0
.
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例 4 函数项级数
1 x x2 xn xn ,
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使函数列 (1) 收敛的全体收敛点构成的集合,称为函数
列 (1) 的收敛域. 若函数列 (1) 在数集 D⊂E 上每一点都收敛,则称函数 列 (1) 在数集 D 上收敛.
记极限函数为 f , 则有
lim
n
fn(x)
f (x) ,
xD
此极限的ε– N 的定义是:对任何 x∈D , 任给的ε> 0 ,
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在 (– ∞, +∞) 上一致收敛.
证 对任给的ε> 0 , 取 N = 1/ε , 当 n > N 时,
对任何 x∈(– ∞, +∞) , 都有
| sinnx 0 | 1 1 ,
n
nN
所以函数列 { sinnx } 在 (– ∞, +∞) 上一致收敛于 0 .
n
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函数列 { fn } 在 D 上不一致收敛于 f 的定义: 若存在ε0 > 0 , 对任何 N > 0 , 都存在 n0 > N , 且存在 x0∈D , 使得
存在 N > 0 , 使得当 n > N 时,总有
| fn(x) – f (x) | <ε
其中 N 既与ε有关也与 x 有关.
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对于函数列,我们不仅要研究它在哪些点上收敛, 而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质:即 连续性、可微性、可积性. 为此讨论函数列的一致收敛性.
定义 1 设函数列 { fn } 与函数 f 都在数集 D 上有 定义, 若对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 n > N 时, 对任何 x∈D , 都有
| fn(x) – f (x) | <ε 则称 { fn } 在 D 上一致收敛于 f ,记为
fn ( x) f ( x) (n ), x D .
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若函数列 { fn } 在 D 上一致收敛,则必在 D 上每 一点都收敛,反之,不一定成立.
例2 证明函数列
sinnx
fn( x) n , n 1, 2,
( n )n n1 1 n
n1
n1
由此可知级数∑xn 在 (-1 , 1) 上不一致收敛.
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三、函数项级数的一致收敛性判别法 定理 13.5 (魏尔斯特拉斯判别法)
设函数项级数∑un(x) 定义在数集 D 上,若对一切 x∈D ,有
|un(x)|≤Mn , n = 1, 2, . . . 且正项级数 ∑Mn 收敛,则函数项级数∑un(x)在数集 D 上一致收敛.
(9) 的收敛域.级数 (9)在收敛域 D 上的和 S(x) 称为级
数 (9) 的和函数.记为 S( x) un( x) x D . n1
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lim
n
Sn
(
x)
S(
x)
.
函数项级数 (9) 的一致收敛性定义如下:
定义 2 设 { Sn(x) } 是函数项级数∑un(x) 的部分 和函数列 .若 { Sn(x) } 在数集 D 上一致收敛于函数 S(x) ,则称函数项级数∑un(x)在数集 D 上一致收敛 于函数 S(x),或称∑un(x)在 D 上一致收敛.
此判别法也称为 M 判别法或优级数判别法.称级数 ∑Mn 为级数∑un(x)的优级数.
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定理 13.6 (阿贝尔判别法) 设 ⑴ ∑un(x) 在区间 I 上一致收敛; ⑵ 对每一个 x∈I ,{ vn(x) } 是单调的; ⑶ { vn(x) } 在 I 上一致有界,即存在 M > 0, 使得对 任何 x∈I ,
由于函数项级数的一致收敛性是由其部分和函数
列的一致收敛性来定义的,所以由函数列一致收敛的 定理可推出相应的函数项级数的定理:
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定理 13.3 (一致收敛的柯西准则)
函数项级数∑un(x) 在 D 上一致收敛的充要条件是: 对任给的ε> 0 , 存在 N > 0 , 使得当 m > n > N 时,
x[ a ,a ]
sup | x[a,a] 1 x
|
an
0 (n ) .
1a
由此可得级数∑xn 在 [-a , a] 上一致收敛.
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但在 (-1, 1) 上
sup | S( x) Sn ( x) |
x( 1,1)
n( n )n1
sup | xn | x(1,1) 1 x
(n ) .
的收敛域为 (-1, 1),其和函数为
n0
S(x) 1 .
1 x
级数在 [-a , 而在 (-1, 1)
a] ( a < 1 ) 上一致收敛于
上不一致收敛于 S( x)
S(
1
x)
.
1
1
x
;
1 x
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证 级数的部分和函数为
Sn(x) 1 x x2
xn1
1 xn 1 x
,
xn
sup | S( x) Sn ( x) |
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