大学物理下-- 稳恒磁场

I4
电流元在磁场中受力： df Idl B 一段载流导线受力： f m Idl B L 线圈所受的磁力矩： M mB 磁力的功：A Id I ( 2 1 ) 1 洛伦兹力：f L qv B IB 霍耳效应：U H RH b
第十、十一章
稳恒磁场习题课
一 基本要求
1. 掌握毕奥—萨伐尔定律， 并会用该定律计算载流导 体的磁场
2. 掌握用安培环路定理计算磁场强度的 条件和方法 3. 掌握安培定律和洛仑兹力公式，会计 算简单形状截流导体的磁力 4. 了解磁介质中的安培环路定理，了解 磁场强度的概念
二.基本内容
1、磁感应强度 B
b
d
ad
f
c
n
B
o

bc
B
3 2a B sindl 0 4 n 2 2 3a B sin 3a B sin t a 方向： b c o b ad 导线 B 2a 1 d ad 2a B sindl o c 0 4 2 a B sin t 方向 d a
,H u
1）电磁波是横波E n
E
2）E 和 H 同相位 ; 3）E 和 H 数值成比例 H E ；
; H
u
4）电磁波传播速度 等于光速
uc 1
u1

, 真空中波速
S EH
0 0 2.998 108 m/s
具体方法：
设线圈中通以电流 I
计算电流在空间的磁场B
求出通过线圈回路的磁通量
由定义式求出 L 和 M
3、磁场能量 载流自感线圈的磁场能量
1 2 W LI 2 2 1 1B 1 2 磁场能量密度 wm BH H 2 2 2
磁场的能量
1 Wm wm dV BH dV V 2
a 、 首先选定回路的饶行方向 , 规定回路
绕行方向与回路所围面积的正法向满足右 手螺旋关系
b、根据感应电动势的正负来确定方向
若是正，则与饶行方向一致 若是负，则与饶行方向相反
dI 自感电动势 L L dt dI 互感电动势 M M dt 2、自感和互感的计算 L L I 或 L dI dt 21 12 M I1 I2 21 12 或 M dI1 dI 2 dt dt
C

B
APC AC 0 1 2 APC AC B ( 2 R)
2
A
p
2、边长为 2a 的正方形导体线 框，在均匀磁场 B 中，线框绕 eb 3ea ，求线 轴oo以 转动， o 框的感应电动势 a e 解：用动生电动势表示式计算
可知： ab 和cd导线的动生电 动势为零（为什么） （设 t 0，时 0 ） 而 bc 导线上的感应电动势
r oR
R2
1
解：应用磁介质中的安培 环路定理求解 取图示半径为 的圆形 闭合回路，在圆周上 的大小分别为常 数， 方向沿圆周切线方向，则
r
R2
o R1
rr
oR
1 1
R2
和 的分布图
电磁感应 复习课
一、基本要求
1、掌握电磁感应定律和 楞次定律及其应用。 2、理解自感和互感现象，并会计算简 单线圈的 L 和 M。 3、理解磁场能量的计算 4、了解位移电流概念和麦克斯韦方程 的积分形式
S
l
麦 克 斯 韦 电 磁 场
方 程 的 积 分 形 式

V
dV q
S
E dl
D l H dl S ( d t ) ds
B ds 0
S
B ds t
6、电磁波的特性
x H H 0 cos (t ) H 0 cos(t kx) u 2π x E E0 cos (t ) E0 cos(t kx) k u
r
N N B dS R2 R2 NI 0 N Bhdr N hdr R1 R1 2r 2 0 N hI R2 ln 2 R1
注意体积元 dV 的选取
4、位移电流的定义：
D d D I d d ds ds S S t dt
通过电场中某截面的电流等于通过该截 面的电位移通量对时间的变化率
5、反映电磁场基本性质和规律的麦克 斯韦方程组的积分形式
D ds
.
5）电磁波的能流密度（坡印廷）矢量
四、计算 一根细导线弯曲成直径为 2R 的半圆形AC，均匀磁场 B 垂直 于半圆平面。当导线绕 A点在半圆平面内 逆时针 转动时，求 AC间的感应电动势大 小 用动生电动势表达式计算 解：
i Ek dl v B dl AC 在半圆上取一线元 dl 该线元速度
真空中电流元 在径 Id l
几种典型的电流磁场大小 长直截流导线外的磁场 0 I B (cos 1 cos 2 ) 4r0 0 I 半无限长截流直导线外的磁场 B
4r 0 I 无限长截流直导线外的磁场 B 2r 2 0 R I
圆形截流导线轴线上的磁场 B
2.图示一通以电流 I1的无 限长直导线一侧放置一通 有电流 I 2的等腰直角三角 形线圈，且与直导线共面，已知一直角 边与导线平行，相距为b，直角边长为a， 求线圈中各导线受力 A 解：用安培定律 分别计算各导线 受力， dF Idl B
I1
I2
Idl
dF
B方向：
可见，通常情况下，在磁场中运动的 闭合导线回路时，用电磁感应定律较为方 便！
3、一矩形截面的螺绕环的尺寸 如图，总匝数为 N ，求其自感 L 解：设螺线环中通以电流 I ， 则环内磁场
N B 0 nI 0 I 2r
o o
R1 R2
dr
h
穿过螺线环整个线圈的 磁通链数
N N B dS
解：分析 运动电荷（电 流）激发磁场的计算
（1）取图示坐标 在线段上取一电荷 元
其相应的电流
圆形电流在 点的磁场
（2）圆电流
的磁矩
5.长直圆柱形铜导线半径为 , 外面这一 层相对磁导率为 的圆桶形磁介质外半径 为 ，设导线内有均匀分布电流 通过， 铜的相对磁导率 ，求导线和磁介质 内外的磁场强度 和磁感应强度的分布
M max B m
第一部分 稳恒磁场
方向：试验线圈平衡后，其磁矩的方向 2、磁矩：
m I S n
3.毕奥—萨伐尔定律
矢 r 处的磁感应强度 Id l 0 Idl r0 dB r0 r 2 4 r 方向的确定：Idl r0 由磁场叠加原理得稳恒截流导体的磁场 0 Idl r0 B dB 2 4 r
o B b x
a
x C
Ａ，Ｂ导线处于相同的 磁场 B中，则
方向：垂直导线，与 直导线相吸
I1
A
I2
Idl
dF
BＣ导线（处于 不均匀磁场中），则
o B b x
a
x C
方向：垂直于CB
AC导线处于不均匀磁场中
由dF Idl B得
方向：图示
dx 因为 dl o cos 45
二、基本内容 1、感应电动势的计算 电磁感应定律
说明
d N d 或i i dt dt
（1）这是计算感应电动势的普遍适用公式， 但必须在闭合回路情况下计算 （2）公式中“ ”号表示电动势的方向， 是楞次定律的数学表示，它表明 i 总是与 磁通量的变化率的符号相反
Hale Waihona Puke Baidu
（3）电动势方向可采用电磁感 应定律中负号规定法则来确定，也可以 由楞次定律直接确定
2
第二部分 电流在磁场中所受的作用
四 计算
1 计算下面各点的有关物理量 （1）载流导线在o点的磁感强度 1 0 I
B0 B直线 B圆弧 B 0 2 2R 方向：
I
R o
I
（2）P，Q点的磁感强度 0 I Bp 0，方向： 4a BQ B1 B2 0 I B1 B2 (cos 1 cos 2 ) 4a Q a 0 I 2 (1 ) a 4a 2 0 I 2 BQ (1 )，方向： 2a 2
5. 描述稳恒磁场的两条基 本定律 （1）磁场的高斯定理
s
磁场是无源场（涡旋场） B d s 0
（2）安培环路定理 n
L i 1
L
I1
B d l I 0 i
I2
I3
用安培环路定理计算磁场的条件和方法 I i 正负的确定：规定回路环形方向，由 右手螺旋法则定出
I1
A
I2
dl dF
Idl
o B b x
a
x C
方向： AC
4、+q以速度 沿x轴运动，求使+q不偏 转需加多大的 E
f m qv B qvBi j qvBk
v
fm fe
qvB qE
方向沿－Z方向
5 有一长为 ，电荷线密度 为 的带电线段 ，绕垂 直轴 在水平面内匀角速 转动，如图，设 点距轴为 ，角速度 求带电线段在 点产生的磁感强度和磁矩
动生电动势 i Ek dl v B dl l l 方向：v B 的方向
感生电动势 i E感 dl l t
B SB ds S t ds
方向：左手定则 解析法
C

dl

2
v AP 2 R sin 2
B
A

d
v
p vB
v B 2 RB sin 2 方向沿 AP 延长线 v B dl


2 RB sin dl cos 2 2 2R B 2 R d sin cos
2
2


C

dl

2

2
2B
A
BR sind

d
v
p vB
i
AC
v B dl
2
BR


0
sind
2 BR
2
讨论 本题可用补偿法求解
在AC间加一假想直导线，则 构成半圆形闭合回路，其感应 电动势为零（为什么），即
I
p
a
N
（3）半径为R的半圆形载流 线圈，通以电流I，在均匀磁场 B 中，若 以 oo 为轴，线圈受到的磁力矩为多少？
o
I
o
B
1 2 M m B，m IR n 2 M mB sin (

2
)
1 IR 2 B 2 方向：沿oo轴向上
（4）边长为 a 的等边三角形 载流线圈，通以电流 I ，位 于均匀磁场 B 中，若以 oo' B 为轴线圈受到的磁力矩如何？
o
I
o
B
M m B 1 M mB sin I ( ha ) B 2 3 2 a IB ( ) 4 2 方向：沿oo轴向下
2( R x ) I 0 圆形截流导线圆心处的磁场 B 2R
2
2 32
载流长直螺旋管轴线上的磁场 B 0 nI
无限长的载流圆柱体 内 B 0 Ir 2
2R
外
0 I B 2r
i 0 无限大的均匀带电的平板 B 2
4、运动电荷的磁场（注意电荷的正负）
0 qv r0 B 4 r 2
bc
bc 2a
v B dl
所以，线框的感应电动势为
i bc ad 4a B sin t
2
方向：顺时针
讨论：直接由电磁感应定律
d d i BS cos t dt dt 2 BS sin t 4a B sin t