工程数学-下学期复习

第七章 多元数量值函数积分学
7．1 多元数量值函数积分的概念与性质
一、多元数量值函数积分的概念
n
f (M )d ＝I＝ lim d 0
i 1
f (Mi)
i
可积的必要条件 若函数 f(M)在几何形体 上可积，则 f(M)在 上闭有界。 可积的充分条件 若函数 f(M)在有界闭几何形体 上连续，则 f(M)在 上必可积。
n
f (x, y, z)dS ＝ lim 0
i 1
f (i ,i , i )Si ,
7.2 二重积分
计算方法：“画线定限” 累次积分积之。
说明： 1 方法：“画线”定限（切点 D）
1
2 选择积分次序要合适，若先 y 后 x I dx
x sin y dx 不能积出结果。
0x y
3 不可积函数 ex2 , cos x2,sin x2, sin x 等等 x
D
D
例 6 计算 xydxdy，其中 D 是双纽线 (x2 y2 )2 2xy 所围的闭区域。
D
解：双纽线 (x2 y2 )2 2xy 的极坐标方程为 r 2 sin 2
原式= 2 2 d
sin2 r cosr sinrdr 1
0
0
6
例 7 求 x2dxdy D:x 2 y 2 1
15
例 3 求 f (x, y, z)dV ，其中 : x2 y2 z2 4z
(x y z)2 当z
x2 y2
f
(
x,
y,
z)
3
z
当0 z x2 y2 3
解：原式= (x2 y2 z2 2xy 2 yz 2xz)dV zdV
1
2
=
2
d
0
3 sind
z=4
x 0
围成立体。
解: 曲面： x2 y2 2z ，则
4
I dz
(x2 y2 z)dxdy
4
2
dz d
2z (r2 z)rdr 256
0 Dz :x2 y2 2z
0
0
0
3
或 d Dxy :x 2 y 2 8
4 x2 y2
(x2
y2
z)dz
2
2
d
0
8
rdr
0
t f (r2)rdr
0
0
0
tf (t 2 ) t f (r2 )r(t r)dr
所以 F(t) 2
0
t
f
2
(r2 )rdr
0 ，所以 F (t) 在 (0,) 上单调增加。
0
（2） t 0 时，证明： F (t) 2 G(t) ，即： 2
t f (r2)r2dr
0
t f (r2)rdr
0
D
=
D
f
2(y) f
(x)(x
y)dxdy
1
2
D
f
(x) f
( y)( y
x)( f
(x)
f
( y))d
0
例 9 求 | x2 y2 1 | dxdy ， D : x2 y2 9 。
D
解： D1 : x2 y2 1 ， D2 :1 x2 y2 9
原式= (1 x2 y2 )dxdy (x2 y2 1)dxdy 65
解：
x2dxdy
y2dxdy 1
(x2 y2)dxdy 1
2
d
1r3dr
D:x 2 y 2 1
D:x 2 y 2 1
2 D:x2 y 2 1
20
0
4
例 8 函数 f (x) 在 0 x 1上连续且单调诫少， f (x) 0 ，证明：
1xf 2 (x)dx 1 f 2(x)dx
(一)例题
例 1 计算
2
dx
2
e
y
2
d
y
0
x
解
：
2
dx
2e y2 dy
2
e
y
2
dy
y
dx
2ye y2 dy 1 e y2 2 1 (1 e4 )
0
x
0
0
0
2 02
例 2 计算 1 xb xa dx （ a,b 0 ） 0 ln x
解
:
原
式
=
1
dx
bxydy
由
对
称
性
，
x y0
，
zk(x2 y2 (z R)2)dV
2R z2dV
z
k(x2 y2 (z R)2)dV (x2 y2 z2 Rz R2)dV
2R (x2 2 z2)dV
3
2
d
sind
R r2 r2dr R2
dV
8 R6 15 32 R5
R 4
0
0
0
a
y1 ( x)
z1 ( x, y)
截面法
f (x, y, z)dv c2 dz f (x, y, z)dxdy
c1
Dz
2） 柱面坐标 f (x, y, z)dxdydz＝ f ( cos , sin , z)d d dz
球面坐标 f (x, y, z)dxdydz f (r sin cos , r sin sin , r cos)r2 sindrdd
b
dy
1 xydx
b x y1 1 dy
b dy
ln b 1
0a
a0
a y 1
a y 1 a 1
0
例 3
计算二重积分
D
x x2
y y2
dxdy, D : x2
y2
1, x
y 1。
解 D 如图所示的阴影部分。
D
x x2
y y2
dxdy
2 d
0
1 1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
cos sin
r(cos sin ) r2
2
t f (r2)rdr
0
t f (r2)dr
0
0
只需证(t) t f (r2)r2dr t f (r2)dr t f (r2)rdr2 0 ，
0
0
0
(t) f (t 2 ) t f (r 2 )(t r)2 dr 0 0
又(0) 0 ，所以(t) 0 。
(二)习题
， G(t)
D:x2 y 2 t 2
t f (x2)dx
t
（1）讨论 F (t) 在区间 (0,) 上的单调性；
（2）证明当 t 0 》时， F (t) 2 G(t) 。
2
d
sind
t f (r2)r2dr
2 t f (r2)r2dr
证：（1） F(t) 0
0
0
2
d
t f (r2)rdr
2 x 2 y 2 4t 2
f (t) 。
f (t) e4t2 (4t2 1)
7.3 三重积分 ********************
7.3.1 概念与形式
1．性质：与二重积分相同
2．计算方法： 1）直角坐标：
投影法
f (x, y, z)dv
b
dx
dy dz y2 (x)
z2 (x, y)
（（C））
2.计算 f (x, y, z)dV ， : x2 y2 (z a)2 a2 ，
f
(
x,
y,
z)
x2 y2
,当z x2 y2
x2 y2 z2 ,当0 z x2 y2
（ 2 a4 1 ）
5
86
7.4 第一型曲线积分
物理解释：视 f 为密度函数，则积分为曲线质量。
5 设 M , m 分别是 f(M)在闭几何形体 上的最大值和最小值，则
m f (M )d M
6 积分中值定理 设函数 f(M)在闭几何形体 上连续，则在 上至少存在一点 M 0 ，使
得
f (M )d f (M0 )
三、多元数量值函数积分的分类
n
1． 二重积分
f (x, y)d
= lim 0 i 1
0
4 r2 2
(r 2
z)dz
256 3
例 2 设有一半径为 R 的球体， P0 是该球的表面上的一个定点，球体上任一点密度与该
点刭 P0 距离平方成正比(比例常数 k >0)，求球体质心位置。
解:设球体为Ω,球心为原点，P0 (0,0, R) ，面球方程：x2 y2 z2 R2 ，设质心坐标 (x, y, z) ，
f
(i ,i
) i
。
D
n
2． 三重积分
f
(x,
y, z)dv = lim 0
i 1
f
(i ,i
,i
)
vi
(1)
n
3． 对弧长的曲线积分
L
f (x, y)ds ＝ lim 0 i1
f (i ,i )si
n
或
f (x, y, z)ds lim 0 i1
f (i ,i , i )si
4． 对面积的曲面积分
几何解释：1. 取 f 1，积分为曲线弧长。
2. 第一型曲线积分 f (x, y)ds ，当 f (x, y) 0 时，表示以 xOy 平面上的曲线段 L 为 L
准线。母线平行于 z 轴，高度为 f (x, y)的柱面面积。
一、计算方法：设参数，化定积分
D
所围成的平面区域。
（4 ） 2
2. 计箅二重积分 | y x2 | dxdy，其中 D {(x, y) || x | 1,0 y 1}
D
（ 11 ） 15
3.设 D={(x, y) | x2 y2 2, x 0, y 0},[1 x2 y2 ] 表示不超过1 x2 y2 的最大整
3） 一般方法 f (x, y, z)dxdydz F(u,v, w) | J | dudvdw
V
V
（2.6）
其中 F (u, v, w) f (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) 。
(一)例题
例 1 求
(x2
y2
z)dV
，
:由曲线
y
2
2z
绕
z
轴旋转一周而成的曲面和
rdr
2
(cos
sin
1)d
4
0
2
例 4 求 (| x | y)dxdy D:|x|| y|1
解：原式= 4
| x | dxdy 4
1
dx
1 x
xdy
2
D1
00
3
例 5 求 (x y)dxdy ，其中 D 是圆心 (a,b) 半径为 R 的圆域。
D
解： (x y)dxdy ((x a) ( y b) (a b))dxdy (a b)R2
解： F(t)
2
d
t f (r2 )rdr 2
t f (r2 )rdr ， F(t) 2f (t2 )t
0
0
0
F(0) lim F(t) F(0) lim2f (t2) 2f (0) 2
t 0
t
t 0
(二)习题
1.计算二重积分 ydxdy，其中 D 由直线 x 2 ，y 0 ，y 2 及曲线 x 2y y2
数,计箅二重积分 xy[1 x2 y2 ]dxdy .
D
3
()
8
b
b
⒋ 设 f (x) 在[a,b] 连续且 f (x) 0 ，证明 f (x)dx
1
dx (b a)2
a
a f (x)
⒌ 设函数 f (x) 在 (0,) 连续且满足方程 f (t) e4t2
f 1 x2 y2 dxdy ，求
D
解: 直线 x y j( j 1,2,3,4) 将 D 分为 Dk (k 1,2,3,4) ，
则[x y] k 1, k 1,2,3,4 ，因而
3 31
[x
D
y]dxdy
D1
0dxdy
D2
dxdy
D3
2dxdy
3dxdy
D4
2
2
2
3
2
6
例 12 f (x) 连续, f (0) 1, F(t) f (x2 y2)dxdy ( t 0)，求 F(0) x2 y2 t 2
0
4 cos r 4dr
0
2
d
0
2sind
3
4cos r3 cosdr 336 1013
0
5 3 15
例 4 设函数 f (x) 连续且恒大于零，
f (x2 y2 z2)dV
f (x2 y2 )d
F (t) :x2 y 2 z 2 t 2
f (x2 y2)d
D:x2 y 2 t 2
0 1
0 1
0 xf (x)dx 0 f (x)dx
证明：只须证明
1
f
2 ( x)dx
1
xf (x)dx
1xf 2(x)dx
1
f (x)dx
0
0
0
0
=
1 f 2(x)dx
1
yf (y)dy
1xf 2(x)dx
1
f (y)dx
f 2(x) f ( y)(y x)dxdy
0
0
0
二、多元数量值函数积分的性质
1 1d d . 2 [f (M ) g(M )]d f (M )d g(M )d .
3 f (M )d f (M )d f (M )d 4 f (M ) g(M ) ，则
1
2
f (M )d g(M )d | f (M )d | | f (M ) | d
1 . 设 1 : x2 y2 z2 R2 ， z 0 及 2 ： 1 : x2 y2 z2 R2 ，
x 0, y 0, z 0 ，则
(A) xdV 4 xdV
1
2
(B) ydV 4 ydV
1
2
（C） zdV 4 zdV
1
2
（D） xyzdV 4 xyzdV
1
2
D1
D1
2
例 10 求 e d max{x2 , y2 } 0 x1 0 y 1
解：
e d max{x2 , y 2 }
ex2 d
e y2 d
1ex2 dx
x
dy
1
e
y
2
d
y
y
dx e 1
0
0
0
0
0 x1
D1
D2
0 y 1
例 11 计算二重积分 [x y]dxdy ，这里 D {(x, y) | 0 x 2,0 y 2}