试卷1答案

玉溪师范学院2004—2005学年下学期期末试卷答案及评分标准
《初等几何研究》试卷1
一、 填空题（本题共6小题8个空，每空3分，共24分） 1
2、共线；
3、BC EF =，90︒；
4、100︒； 5
、2 6
、2
，2.
二、计算题（本题共2小题，每小题8分，共16分）
1、解：设A 点与B C 、两点的连线长为51和30，作AH ⊥平面α，则
51,30,:5:2AB AC BH CH ===――――2分
设5,2BH x CH x == 由2222
BH CH AB AC -=- 得2222(5)(2)5130,9x x x -=-=　
于是 18CH =――――————————―4分
在Rt AHC ∆中，2
2
2
2
2
301824AH AC CH AH =-=-⇒=――————―2分. 2、解：延长FE 与BC 交于点D ，根据梅涅劳定理，ECD FBD ∆∆、被直线AGM 所截， 有
1EG DM CA
GD MC AE ⋅⋅= （1）―――2分 1DG FA BM
GF AB MD
⋅⋅= （2）－――2分 由（1）×（2）得
1EG FA CA
GF AE AB ⋅⋅=――――——―2分 即
116
1212
EG GF ⋅⋅=，所以 :3:2.EG GF =―――2分. 三、证明题（本大题共6题，第1、2小题每题8分，第3、4小题每题10分，第5小题
12分，共48分）
1、证明：将ABE ∆绕点B 按顺时针方向旋转90︒ 到CBE '∆的位置上，则ABE CBE '∆≅∆，
D F C
E '、、、四点共线――——————―2分 因为 BE BE '=
231345FBE EBF '∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠ BF 公用
所以 FBE FBE '∆≅∆―――――——————―4分
EF E F E C CF AE FC ''==+=+――—―2分.
2、证明：
,EG CD FH AD ⊥⊥
P H D G ∴、、、四点共圆
于是 12∠=∠――――——―3分
,GE AB HF BC ⊥⊥
P E B F ∴、、、四点共圆
于是 34∠∠＝―――———―3分 又 //AB CD ，1234∴∠=∠=∠=∠
故 //.EF HG ――――————2分
3、已知：AL BM CN 、、是ABC ∆的三中线，其交点为G ，AB AC >. 求证：CN BM <.—————————2分 证明：在ALB ∆与ALC ∆中，
因为 BL LC =，AL 公用，AB AC >， 所以 ALB ALC ∠>∠――――—————3分 在GLB ∆与GLC ∆中，
因为 BL LC =，GL 公用，ALB ALC ∠>∠， 所以 BG GC >――――————————3分
从而 33
.22
BM BG CG CN =>=――――2分
4、证明：因为DA 是O 的切线，所以34∠=∠.————————————2分 又
12∠=∠，524136∴∠=∠+∠=∠+∠=∠，于是AE AF ＝―――――4分
根据角平分线的性质，得
,AE DA AF DA
EB DB FC CD
== ――————―2分 两式乘得
2
DA AE AF EB FC DB CD
⋅=⋅⋅⋅―————―1分
根据切割线定理，2
DA DC DB =⋅―――2分 所以 2
AE AE AF EB FC =⋅=⋅――――――1分
5、证明：1°完备性————————5分
假设点P 合于条件，则,60,AB BC A B AE BD =∠=∠=︒=， 于是 12ABE BCD ∆≅∆⇒∠=∠
从而 180(23)180(13)180120BPC B ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒-∠=︒ 所以点P 在以BC 为弦，内接角为120︒的圆弧∑上.
2°纯粹性———————————5分
在圆弧∑上任取一点P ，则120BPC ∠=︒，连CP 并延长与AB 交于D ，连BP 并延长与AC 交于E ，
1360∠+∠=︒
2318060BPC ∠+∠=︒-∠=︒
12∴∠=∠
又
AB BC =，60A B ∠=∠=︒
ABE BCD AE BD ∴∆≅∆⇒=
说明点P 合于条件.
由1°、2°知，点P 的轨迹是以BC 为弦，内接角为
四、作图题（本大题共1小题，共12分）
分析：假设直线l 已经作出，
l 经过点P ，交AB 边于点Q ，将ABC ∆分成
两个等积形. 取AB 的中点M ，则有
1
2
QBP
ABC ABM S S S ∆∆∆== 于是 QMP QMA S S ∆∆=，三角形同底等积必等高， 从而 //QM AP .—————————————4分
作法：连接AP ，过M 点作AP 的平行MQ ，交AB 边于点Q ，则直线PQ （直线l ）即为所求直线.——————————————————————————3分
证明：由作法知，//QM AP ，三角形同底等高必等积， 所以QMP QMA S S ∆∆=，两端同时加上BQM S ∆，有1
2
QBP ABM ABC S S S ∆∆∆==
. 说明直线PQ 将ABC ∆分成两个等积形.————————————————3分
讨论：本题恒有一解.———————————————————————2分。