随机过程Ch2随机过程的概念与基本类型

• 例：X(t)=tV,-∞<t< ∞,其中V为随机变量。 P(V=1)=0.6,P(V=-1)=0.4,
• 求F1.5 (x), F2 (x), F1.5,2 (x1,x2),
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 有限维分布函数族的性质
(1)对称性
F t 1 , ,tn ( x 1 ,x 2 , ,x n ) F ti 1 , ,ti n ( x i 1 ,x i 2 , ,x i n )
• 对固定的e，X(t, e) 是定义在T上的普通函数， 称为随机过程的一个样本函数或样本轨道。
• 按参数T和状态空间I分类 （1）T和I都是离散的 （2）T是连续的，I是离散的 （3）T是离散的，I是连续的 （4）T和I都是连续的
2.1 随机过程的基本概念
• 按Xt 的概率特性分类 正交增量过程 独立增量过程 马尔可夫过程 平稳随机过程
R X (t1 ,t2 ) E [X (t1 )X (t2 )]自相关函数
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 设X(t)=Ycos(t)+Zsin(t), t>0，Y, Z相 互独立，EY=EZ=0，DY=DZ=2。求 {X(t), t>0}的均值函数和协方差函数。
解 m X(t)E(tX )E [Yco t)sZ (sin t)]( co t)s E ( Y sin t)E ( Z 0
BX(s,t)E[(X(s)EX (s))X ((t)EX (t))] E[X(s)X(t)]EX (s)EX (t) E[X(s)X(t)]
E [(cos( s ) cos( t )Y 2 cos( s ) sin( t )YZ )
ccEEEEccoooo[[s[[sss((ss((sssi(i(scnciiYn((iYnnoino((n((s(scs(cs((ssoo))sss))ssscss)c()s(cc)oi)cs)ocns)oocscoc)so(co)(ssosos(csoss((c(ss)o((s)o((sst(st())ttt()ttE)))ZsttE)Z)tDEiE))YtnE()sYtE()YZYYs(((i)YYZn(iYYZY(nY2(ZY22(Zt)22Z))))ssD)ss)i)csincs)nZ)coico()inc(osno(ssYo(s(((sisYssn(((isc(in(snsoc)s(ss(os)ss)s))(sssis)s)nss(2ts))iissii(n.sn)2n)nssiti)((nEi(in(s随)nnts(Yi(t)(i(n机)nEttt(tZ过())Z)tZ)tYtZt)E程)ZZ2)Z)YtsE)tE的2(E)Zi]2)snY))E分()i(E](Z(nY])ZY布((Z(Z)Z律2tZ)))和)2t)2]))数))]字特征
2.2 随机过程的分布律和数字特征
• 相关函数 R X ( s ,t) E [ X ( s ) X ( t),] s ,t T
☆显然有关系式
B X ( s , t ) R X ( s , t ) m X ( s ) m X ( t ) ,s , t T
随机过程数字特征之间的关系
EX 2(t)RX[t,t]
设已给参数集T及满足对称、相容的有 限维分布函数族F
则必存在概率空间(, F,P)及定义在其上 的随机过程{X(t)，t T }，它的有限维 分布函数族就是F
• 有限维特征函数族
gt1, ,tn(1,2, ,n),t1,t2,
分布函数族F
,tnT,n1
其中gt1, ,tn(1,2,
,n)Eexpi n kX(tk)
第二章
随机过程的 概念与基本类型
2.1 随机过程的一般概念
• 设(, F,P)为概率空间，T是参数集。若 对任意 t T ，有随机变量X(t, e)与之对 应，则称随机变量族{X(t, e)， t T }是 (, F,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t T }或{Xt，t T }。
• X(t)的所有可能的取值的集合称为状态
其中 ti1,ti2, 是,tin 的t1,任t2,意,排tn列 (2)相容性
F t 1 , , t m ( x 1 ,x 2 , m , <x nm ) F t 1 , , t m , , t n ( x 1 ,x 2 , ,x m , , , )
定理 ：2.2 随机过程的分布律和数字特征 （柯尔莫பைடு நூலகம்洛夫，Kolmogorov)
空间或相空间，记为I。
随机过程的例子
• 以X(t)表示某电话交换台在时间段[0,t]内接到 的呼叫次数，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随机过程；
• 以X(t)表示某地区第t天的最高气温，则{X(t)， t=0,1,…} 是随机过程；
• 以X(t)表示某固定点处在时刻t的海面相对于 平均海平面的高度，则{X(t)，t∈[0,∞)}是随 机过程；
• X(t)=acos(ωt+Θ)， t∈（- ∞,∞)，其中a，ω是 常数，Θ是随机变量。则{X(t)，t∈ （- ∞,∞)} 是随机过程
2.1 随机过程的基本概念
• 从数学上看，随机过程{X(t, e)， t T }是定义 在T上的二元函数。
• 对固定的t，X(t, e) 是(, F,P)上的随机变量；
k1
2.2 随机过程的分布和数字特征
定义2.3 设{X(t)，t T }是随机过程，定义
• 均值函数
m X (t)E(tX ),t T
若对tT,EX2(t)存在，则称该过程为二阶矩过程。
• 方差函数
D X ( t) E [ (X ( t) E X ( t) ) 2 ],t T
• 协方差函数
B X (s,t)E [X ((s)E(s X ))X ((t)E(tX ))] s,t T
B X ( t 1 ,t 2 ) R X ( t 1 ,t 2 ) X ( t 1 )X ( t 2 )
当 t1t2t时 ,
D X ( t ) X 2 ( t ) B X ( t ,t ) R X ( t ,t ) m X 2 ( t )
最主要的数字特征
mX(t)E[X(t)] 均值函数
2.2 随机过程的分布和数字特征
• 随机过程{X(t)，t T }的有限维分布函 数族
F F t 1 , , t n ( x 1 , x 2 , , x n ) t 1 , t 2 , , , t n T , n 1
其中F t1, ,tn(x1,x2, ,xn)是n维随机变量
(X(t1), X (t2), , X (tn))的联合分布函数