关于矩阵的秩的一些理论及应用
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r ( A) r ( A) n
r ( A) n
r (A r ( A )
r 矩阵 A 是方程组的系数矩阵，( A ) 表示矩阵A 秩。
则方程组有唯一解； 则方程组有无穷多解。
若 r ( A)
3 矩阵的秩在解决直线平面间位置关系时的应用 设空间中直线和平面的方程分别是
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一 眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可 以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢 所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能
b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
a 1 x b1 y c1 z d 1 0 L : a 2 x b2 y c 2 z d 2 0
: ax by cz d 0
记
a1 A a2 a
b1 b2 b
c1 a1 c 2 , A a 2 a c
4 用矩阵的秩判定二次型正定问题
设二次型
f
，其中
A A ，我们有以下结论
的正惯性指数与秩都等于 n 正定
f 的负惯性指数与秩都等于 n 正定
f
的正惯性指数与秩相等 半正定
5 用矩阵的秩解决线性空间问题
在 n 维的线性空间中， 个线性无关向量 1 , 2 , 3 , ..., n 称为 n 空间的一组基，设 为空间中任一向量，于是 1 , 2 , 3 , ..., n 线性相关，因此， a1 1 a 2 2 a 3 3 ... a n n 其中系数 是被向量 和 1 , 2 , 3 , ..., n 唯一确定的，这组数就称为 在基 1 , 2 , 3 , ..., n 上的坐标，记为 a
等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。另外矩阵的秩等
于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列 式定义。
矩阵秩的应用
1 矩阵的秩在判定向量组线性相关性的应用
m 维向量组
a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1 是否线性相关相当于判断
对应的齐次线性方程组
是等于 n。
a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1 a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师， 感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的 个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容， 矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
关于矩阵的秩的一些理论及应用
学生： 指导教师：
LOGO
目录
1 2 3 4 5 研究现状 矩阵的秩的定义和性质 矩阵秩的应用 小结 致谢
研究的背景及意义
现状及意义 高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理
论又是其主要内容, 并且在数学以及其它科学领域
中有着非常广泛的应用。矩阵的秩又是矩阵的一个 非常重要的特征，他具有很多性质，运用它可以解
决很多的问题,目前虽然有很多的数学工作者对于
矩阵的秩做了大量研究，但是由于他是整个矩阵理 论中最重要的性质之一，所以仍然有着很大的研究 价值。
矩阵秩的定义和性质
定义 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这 个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的 秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
源自文库
R A n
线性无关
R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用 齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数 矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是 若
r ( A) n
r (A r ( A )
r 矩阵 A 是方程组的系数矩阵，( A ) 表示矩阵A 秩。
则方程组有唯一解； 则方程组有无穷多解。
若 r ( A)
3 矩阵的秩在解决直线平面间位置关系时的应用 设空间中直线和平面的方程分别是
候，把复杂的表示问题，等价成求矩阵的秩，一 眼就能看出我们想要的结果。矩阵的秩还在一些
几何问题上得到巧妙的应用，将复杂的图形问题
变成了代数问题，只简单的求出方程组的解就可 以判断直线平面的位置关系。
致谢
大学本科的学习生活即将结束。在此，我要感谢 所有曾经教导过我的老师和关心过我的同学，他
们在我成长过程中给予了我很大的帮助。本文能
b1 b2 b
c1 c2 c
d1 d2 d
则有如下结论
（1）直线和平面相交 r ( A ) （2）直线和平面平行 r ( A ) （3）直线在平面上
r ( A) 3
2, r ( A ) 3
r ( A ) r ( A ) 2
a 1 x b1 y c1 z d 1 0 L : a 2 x b2 y c 2 z d 2 0
: ax by cz d 0
记
a1 A a2 a
b1 b2 b
c1 a1 c 2 , A a 2 a c
4 用矩阵的秩判定二次型正定问题
设二次型
f
，其中
A A ，我们有以下结论
的正惯性指数与秩都等于 n 正定
f 的负惯性指数与秩都等于 n 正定
f
的正惯性指数与秩相等 半正定
5 用矩阵的秩解决线性空间问题
在 n 维的线性空间中， 个线性无关向量 1 , 2 , 3 , ..., n 称为 n 空间的一组基，设 为空间中任一向量，于是 1 , 2 , 3 , ..., n 线性相关，因此， a1 1 a 2 2 a 3 3 ... a n n 其中系数 是被向量 和 1 , 2 , 3 , ..., n 唯一确定的，这组数就称为 在基 1 , 2 , 3 , ..., n 上的坐标，记为 a
等于矩阵的列秩，并统称为矩阵的秩。另外矩阵的秩等
于它的不为零的子式的最高阶数，这是矩阵的秩的行列 式定义。
矩阵秩的应用
1 矩阵的秩在判定向量组线性相关性的应用
m 维向量组
a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1 是否线性相关相当于判断
对应的齐次线性方程组
是等于 n。
a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1 a1 , a 2 , a 3 ...a n n 1
够顺利完成，要特别感谢我的导师高学亮老师， 感谢各位系里老师的关心和帮助。
最后向所有关心和帮助过我的人表示我最真心的
感谢。
1
, a 2 , a 3 , ..., a n
。
可以看出线性空间的维数和他的一组基所含向量的个数
是相等的，这样就把解决维数问题简化到了讨论向量的 个数，也就是讨论向量组的秩。
小结
矩阵的秩是高等代数中很重要的一个内容， 矩阵秩的应用也是非常广泛的，并且解决问题时
也简单明了，比如在判断向量组线性相关性的时
关于矩阵的秩的一些理论及应用
学生： 指导教师：
LOGO
目录
1 2 3 4 5 研究现状 矩阵的秩的定义和性质 矩阵秩的应用 小结 致谢
研究的背景及意义
现状及意义 高等代数作为数学专业基础课程之一，矩阵理
论又是其主要内容, 并且在数学以及其它科学领域
中有着非常广泛的应用。矩阵的秩又是矩阵的一个 非常重要的特征，他具有很多性质，运用它可以解
决很多的问题,目前虽然有很多的数学工作者对于
矩阵的秩做了大量研究，但是由于他是整个矩阵理 论中最重要的性质之一，所以仍然有着很大的研究 价值。
矩阵秩的定义和性质
定义 一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这 个向量组的秩。所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的 秩，矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩。矩阵的行秩
k 1 a1 k 2 a 2 ... k n a n 0
是否存在非
零解，又相当于判断其对应的系数矩阵 A 的秩是小于还
线性相关
源自文库
R A n
线性无关
R A n
2 矩阵的秩在解方程组问题时的应用 齐次方程组解的判定
齐次方程组有非零解的充要条件是他的系数 矩阵的秩小于 n 非齐次线性方程组有解的充要条件是 若