换元法在三角函数中的应用

- 1 - 换元法在三角函数中的应用

江苏省盐城市龙冈中学（224011） 陈建权

换元法又称变量替换法，即根据所要求解的式子的结构特征，巧妙地设置新的变量来替代原来表达式中的某些式子或变量，对新的变量求出结果后,返回去再求出原变量的结果。换元法通过引入新的变量，将分散的条件联系起来，使超越式化为有理式、高次式化为低次式、隐性关系式化为显性关系式，从而达到化繁为简、变未知为已知的目的。

高中数学中换元法的类型有：三角代换、整体代换、对偶代换、几何代换、均值代换及“1”的代换等。其中以三角代换最为常用，尤其是在三角函数这一章，由于三角换元本身与三角函数不可割舍的联系，使得换元法在这一章显得特别活跃，在解题中常常有意想不到的收获。

一、三角代换

例1．设三角形三边a 、b 、c 满足a 2 + b 2 = c 2。

求证：当n ≥3且n ∈N 时，a n + b n < c n 。

证明：设a = ccos θ，b = csin θ，0 < θ< 2

π，∵0< cos θ<1且 n ≥3，∴ cos n θ≤cos 3θ< cos 2θ，同理sin n θ< sin 2θ，则a n + b n = c n (cos n θ+sin n θ)< c n (cos 2θ+sin 2θ)= c n 。

一般地，对条件a 2± b 2= r 2，a ±b = 1，常可考虑三角代换。

例2．判断函数f(x)=111

122+++-++x x x x 的奇偶性。

此题在函数奇偶性判断中非常常见，但由于f(x)的表达式较为复杂，化简又相当不便，因而不少学生易作出错误的判断。

解：由条件知x ∈R ，故可设x = tg α，α∈（-

2

π，2π），则

- 2 -

f(x)=111

122+α+α+-α+α+tg tg tg tg = 1|sec |1|sec |+α+α-α+αtg tg ，∵α∈（-2π，2

π）， ∴ sec α= αcos 1> 0，∴ f(x)= α+α+α-α+cos sin 1cos sin 1=)2sin 2(cos 2cos )2cos 2(sin 2sin

α+ααα+αα = tg 2

α = tg 2arctgx ，∴ f(-x)= tg 2)(x arctg - = tg 2arctgx -= - tg 2arctgx = -f(x)，故f(x)为奇函数。

通过三角代换将较复杂的f(x)的表达式用三角函数来表示，形式上简单明了，再利用反正切函数。正切函数的奇偶性很快得出f(-x)= -f(x)，这对于培养学生数学学习的兴趣也有极好的作用。

二、整体代换

例3．求sin 2180 + cos 2360的值。

解：设sin 2180 =x ，cos 2360 =y,则x = (2cos 2360–1)2=(2y-1)2，① y =(1-2sin 2180) 2 =(1-2x) 2 …… ②，① - ②得

x –y = 4(x-y)[1-(x+y)]，∵ x-y = cos 2720 - cos 2360≠0

∴ 1-(x+y)= 4

1 ∴x+y = 43，即sin 2180 + cos 2360 = 43。 运用换元法体现了整体化归的思想，较正常采用三角公式进行化简大大减少了运算量。

三、对偶代换

例4．求sin 2200+cos 2800+3sin200cos800的值。

解：设M = sin 2200+cos 2800+3sin200cos800，则有

M ′= cos 2200+sin 2800+3cos200sin800，∵M ′+ M = 2 +3sin1000，

M - M ′= -

23 -3sin1000，∴ M = 41，∴ 原式 = 4

1。 解法二：

- 3 - 四、几何代换

例5．求sin 2200+cos 2500+ sin200cos500的值。

解：构造△ABC ，由正弦定理得

a = 2RsinA ，

b = 2RsinB ，

c = 2RsinC ，代入c 2 = a 2 + b 2–2abcosc 得余弦定理的三角形式：sin 2C = sin 2A + sin 2B –2sinAsinBsinC

令式中A = 200，B = 400，则sin 2200 + cos 2500 + sin200cos500 = sin 2200 + sin 2400 -2sin200sin400cos1200 = sin 21200 =

4

3。 五、“1”的代换

例7．

六、均值代换

例8．