正定矩阵概念及例题-PPT课件
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r ( 1 ) 0 ,( r 1 ,2 , ,n ).
a r 1 a rr 这个定理称为霍尔维兹定理。
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为 正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式 均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
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3 例16 判定对称矩阵 A 1 0
1 3 0
0 0 正定性。 3
解
a 11 a 21
方法一
因为 a 3 0 , 11
3 1 0 a 3 1 12 80 , | A| 1 3 0 24 0, a 1 3 22 0 0 3
所以A 是正定的。
2 f(x )f( Cy ) ky i. i 1 n
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先证充分性 1 设 k 0 ( i 1 , 2 , , n ). 任 x 给 0 , 则 Cx 0 , 故 i
n 2 f ( x ) k 0 . iy i
i 1
再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则 f ( C e ) k 0 , ( 单位坐标向量 ) 时， 当 y e 时 , s s s 故 ki 0 . 这与假设 f 正定矛盾， 显 C 然 e 0 . s 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
它的秩是 r ，有两个实的可逆变换x C y 与 x P z ,
使 及
2 2 2 k y k y k y k ) 1 1 2 2 r r, ( i 0 2 1 1 2 2 2 2 r r
T xA x , 定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型 f
所以 f 是负定的。
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问 取何值时 ,f 为正定二次型 .
解
1 f 的矩阵是 A 4 1 2 1 2 , 4
例18 设二次型 2 2 2 f x 4 x 4 x 2 x x 2 x x 4 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。
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方法二：A 的特征多项式为
|A E | 1 3 0 ( 2 )( 3 )( 4 ), 0 0 3 3 1 0
故 A 的特 征 2 , 值 3 , 为 4 . 从而 A 是 1 2 3 正定 . 的
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Байду номын сангаас
定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即
a 11 a 0 , 11 a 21 a 11 a 1 n a 12 0 , , 0 ; a 22 a n 1 a nn
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为 负，而偶数阶主子式为正。即 a 11 a 1 r
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判别二次型 2 2 2 f 5 x 6 y 4 z 4 xy 4 xz 的正定性。 例17
解
2 5 2 f 的矩阵是 A 2 6 0 , 2 0 4
A 的各阶主子式为：
a 5 2 11 a 12 a 5 0 , 26 0 , 11 a 2 6 21 a 22 A 80 0 ,
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 T 定理12 实二次型 f x A x 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 y 使 证 设可逆变换 xC
z z z , ( ) i 0 则 k ,k 中正数的个数与 , 中正数的 1,k 2, r 1, 2, r
个数相等 . 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
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T xA x , 如果对于任何 定义9 设有实二次型 f
A 的各阶主子式为：
a 1 11 a 12 2 a 0 , 4 0 , 11 a 4 21 a 22
解得 21 时 ,二次型为正定的 .
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A 4 ( 1 )( 2 )0 ,
2 2 x 2 x x 4 x x x Ex.11 判别二次型 f 1 12 13 3 的正定性。 1 1 2 解 f 的矩阵是 A 1 0 0 , A 的各阶主子式为：
a r 1 a rr 这个定理称为霍尔维兹定理。
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注意：对于二次型，除了有正定和负定以外， 还有半正定和半负定及不定二次型等概念。
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判别矩阵正定的方法
根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A 的正定性有两种方法。 一是求出A 的所有特征值。若A 的特征值均为 正数，则A 是正定的；若A 的特征值均为负数，则A 为负定的。 二是计算A 的各阶主子式。若A 的各阶主子式 均大于零，则A 是正定的；若A 的各阶主子式中， 奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A 为负定的。
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3 例16 判定对称矩阵 A 1 0
1 3 0
0 0 正定性。 3
解
a 11 a 21
方法一
因为 a 3 0 , 11
3 1 0 a 3 1 12 80 , | A| 1 3 0 24 0, a 1 3 22 0 0 3
所以A 是正定的。
2 f(x )f( Cy ) ky i. i 1 n
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先证充分性 1 设 k 0 ( i 1 , 2 , , n ). 任 x 给 0 , 则 Cx 0 , 故 i
n 2 f ( x ) k 0 . iy i
i 1
再证必要性：用反证法。假设有 ks ≤0 , 则 f ( C e ) k 0 , ( 单位坐标向量 ) 时， 当 y e 时 , s s s 故 ki 0 . 这与假设 f 正定矛盾， 显 C 然 e 0 . s 推论 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的特 征值全为正。
它的秩是 r ，有两个实的可逆变换x C y 与 x P z ,
使 及
2 2 2 k y k y k y k ) 1 1 2 2 r r, ( i 0 2 1 1 2 2 2 2 r r
T xA x , 定理11 ( 惯性定理 ) 设有实二次型 f
所以 f 是负定的。
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问 取何值时 ,f 为正定二次型 .
解
1 f 的矩阵是 A 4 1 2 1 2 , 4
例18 设二次型 2 2 2 f x 4 x 4 x 2 x x 2 x x 4 x x 1 2 3 1 2 1 3 2 3
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判别二次型正定的方法
由实二次型的矩阵表示及对称矩阵的正定性判 别法知，判断二次型的正定性也有两种方法。 一是利用对称矩阵A 的正定性。若二次型 f 的 对称矩阵A 是正定的，则f 是正定二次型；若A 是 负定的，则 f 也是负定二次型。 二是将 f 化为标准形。若其标准形的 n 个系数 全为正，则 f 是正定的；若 f 的标准形的 n 个系数 全为负，则 f 是负定的。 由于将 f 化为标准形非常复杂，因此第二种方 法一般不用。
正定二次型
★正定二次型和正定矩阵的概念 ★判别二次型或矩阵正定的方法
正定二次型是二次型中讨论最多的类型，本节 结合二次型的标准型中系数给出正定二次型的概念， 并给出了判定二次型正定及实对称矩阵的几种方法。
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正定二次型和正定矩阵的概念
二次型的标准形不是唯一的。 标准形中所含项数是确定的( 即是二次型的秩 )。 限定变换为实变换时，标准形中正系数的个数是 不变的。
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方法二：A 的特征多项式为
|A E | 1 3 0 ( 2 )( 3 )( 4 ), 0 0 3 3 1 0
故 A 的特 征 2 , 值 3 , 为 4 . 从而 A 是 1 2 3 正定 . 的
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定理13 对称阵 A 为正定的充分必要条件是：A 的各阶主子式都为正。即
a 11 a 0 , 11 a 21 a 11 a 1 n a 12 0 , , 0 ; a 22 a n 1 a nn
对称阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为 负，而偶数阶主子式为正。即 a 11 a 1 r
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判别二次型 2 2 2 f 5 x 6 y 4 z 4 xy 4 xz 的正定性。 例17
解
2 5 2 f 的矩阵是 A 2 6 0 , 2 0 4
A 的各阶主子式为：
a 5 2 11 a 12 a 5 0 , 26 0 , 11 a 2 6 21 a 22 A 80 0 ,
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定 二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型， 并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。 T 定理12 实二次型 f x A x 为正定的充分 必要条件是：它的标准形的 n 个系数全为正。 y 使 证 设可逆变换 xC
z z z , ( ) i 0 则 k ,k 中正数的个数与 , 中正数的 1,k 2, r 1, 2, r
个数相等 . 正数的个数称为正惯性指数，负数的个数
称为负惯性指数
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T xA x , 如果对于任何 定义9 设有实二次型 f
A 的各阶主子式为：
a 1 11 a 12 2 a 0 , 4 0 , 11 a 4 21 a 22
解得 21 时 ,二次型为正定的 .
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A 4 ( 1 )( 2 )0 ,
2 2 x 2 x x 4 x x x Ex.11 判别二次型 f 1 12 13 3 的正定性。 1 1 2 解 f 的矩阵是 A 1 0 0 , A 的各阶主子式为：