极限运算法则

极限运算法则 定理1 设 lim f (x) = A, lim g(x) = B, 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x) lim g( x) A B;
例: lim( x 2 ln x ) lim x 2 lim ln x 4 ln 2
h( x )
A
f ( x)
g( x )
O
x
夹逼准则 sin x 例:试用夹逼准则证明 lim 0 x x 1 sin x 1 1 sin x 1 x x x 1 1 sin x lim lim 0 lim 0 x x x x x x
5x 4x 1 例求: lim x 2 x 10 5 x 2
10 2
mn mn mn
5x 4x 2 例求: lim x x 1
3 2
极限运算法则
2x 3x 1 例求: lim x (2 x 1)2
3
3 x4 3 例求: lim x (2 x 2)4 (2 x 1)30 (3 x 2) 20 思考: lim x (2 x 1)50
lim g( x ) u0 , lim f ( u) A,
u u0
且在 x0 的某去心邻域内有 g(x) ≠ u0 , 则
x x0
lim f [ g( x )] lim f ( u) A.
u u0
复合函数求极限法则
例: lim e
x
1 x
求 解 顺 序
eu 1 u x
例: lim(2 x ln x 1) lim 2 x lim ln x 1 3
2 2 x 1 x 1 x 1
例:求 lim(2 x 3e 3)
2 x x2
例:求 lim(2 x 3 3 x 2 3 x 4 x )
x2
极限运算法则 若有 lim h(x) = C, 则
x
极限运算法则
2x x 5 例:求 lim 2 x 3x 1
2
x2 3 x 1 例:求 lim 3 x 2x 1 x 2x 1 例:求 lim x 2x 1
3
极限运算法则
am b n m m 1 am x am 1 x ... a0 lim 0 n n 1 x b x b ... b0 n n 1 x 注意极限条件: x 或 x
连续复利 设初始本金为 P (元),年利率为 r , 按复利付息, 若 一年分 m 次付息, 则第 t 年末的本利和为
r mt St P (1 ) m
当每年付息次数越多,本利和越大.当 m 时
r mt St lim P (1 ) Pe r t m m
以上公式常用于资产定价: P St e
例:求 lim
极限运算法则 3x 2
x
x2 1
例:求 lim
x
x 2x 3 x
2
例:求 lim ( x 2 x x )
x
极限运算法则
x 2 2 ) 例:求 lim( x 1 x 1 x 1 x 4 2 ) 例:求 lim( x 2x x2 x 2
e .
例:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ lim 1 x
x0 1 x
例: lim 1 ln x
x 1
1 ln x
e
重要极限II lim 1
xu
1
e
2 x 例:求 lim x 0 2
1 x
例:求 lim(1 4 x )
x 0
1 x
1 3cos x 思考: lim
limcos x 1 cos x 例: lim( x ) x 0 x 1 x 0 e lim e 1
x 0
注:运算前后极限过程保持一致;
定理的前提是 lim f (x), lim g(x)必须存在;
在除法运算中,还要求分母的极限不为零.
极限运算法则 推论1 lim C C .
x
4 例:求 lim 1 x x
2x
1 重要极限II lim 1 e x u

2 例:求 lim 1 x x
x2
5 例:求 lim 1 x x
x 1
1 例:求 lim 1 x x
sin lim 1 xu
sin(ln x ) 1 例: lim x 1 ln x 1 例:求 lim x sin x x sin 5 x 例:求 lim x0 x tan 3 x 例:求 lim x 0 x
sin 重要极限I: lim 1 xu
sin 6 x 例:求 lim x 0 sin 5 x
x0 x0
1 重要极限II: lim 1 e x x
x
幂指函数
注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,
可将这个极限变形, 当 x u 若 , 则
1 lim 1 e x u
1 例: lim 1 tan x x 2
e
v ( x )ln u( x )
x 例:化简 y x
y x e
x
ln x x
e
x ln x
一般幂指函数的极限 将下列幂指函数化为复合函数:
y x sin x
幂指函数的极限:
例:求 lim x
x 1 sin x
y (5 x)ln x
例:求 lim(5 x )
x 4
ln x
x 1
x lim x sin x
2
lim[( x 2)cos x ]
x0
lim(e
x 4
x
xx )
2
e lim ( 2) x0 x
x
极限运算法则 若有 lim h(x) = C, 则
lim[ f ( x ) g( x ) h( x )] A B C;
y
O
1 y x 1 y x
x
sin x 1 证明: lim x 0 x 1. sin x CB, x AB,tan x AD
2. S AOB S扇形AOB S AOD
D B 1
1 1 1 sin x x tan x 2 2 2 sin x x tan x sin x cos x 1 x 3. lim cos x 1
3 x2
x2 思考： lim x x 2
x
重要极限 II 重要极限II的变形: lim 1 x e
x0 1 x
注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则,
0,则 可将这个极限变形, 当 x u 若
lim 1
xu
1
x
0 极限运算法则 0 x 1 例:求 lim 2 x 1 x 1
x 5x 6 例:求 lim x2 x2
2
x 1 1 例:求 lim x 0 x
例:求 lim
x 4
例:求 lim
x 0
2x 1 1 x
x4 x53
思考： lim ( x 2 1 x )
x2 x2 x2
(2) lim[ f ( x ) g( x )] lim f ( x ) lim g( x ) A B;
2 x 2 x 1 lim( x e ) lim x lim e 1 e e 例: x 1 x 1 x 1
极限运算法则
f ( x ) lim f ( x ) A (3) lim , 其中 B 0. g( x ) lim g( x ) B
x2 x2 x2 x2 x2
极限运算法则
x 例:求 lim[e cos x( x 2)] x 0
x 3x 2 例:求 lim x 0 x 2 x 1
3
1 1 例:求 lim (2 )(3 2 ) x x x
cos x (2 xe ) 思考: lim x0 x
tan x

e
2 例:求 lim 1 x x
x
1 重要极限II lim 1 e x u

3 例:求 lim 1 x 2x
x
3 例:求 lim 1 x x
2x
2 例:求 lim 1 x x
x sin 1 x
例: lim cos ln
x 1
x
极限存在准则
准则 I (夹逼准则) 如果函数 f (x), g(x), h(x), 在同一变化过程中满足 g(x) ≤ f (x) ≤ h(x), 且
lim h(x) = lim g(x) = A , 那么 lim f (x) = A.
y
x 2
sec x
a( x 1) 例:求 a 为何值时, 函数 f ( x ) 1 x (1 2 x ) 在 x 0 时有极限.
x0 x0
一般幂指函数的化简 幂指函数是由指数函数和幂函数复合而的函数.
y u( x )
幂指函数的化简方法:
v( x)
ye
ln u( x )v ( x )
x 0
O
x
C
A
sin x 1 重要极限I: lim x 0 x
tan x 例:求 lim x0 x sin x 例:求 lim ln x0 x x 例:求 lim x 0 sin x
注:在实际应用中,利用复合函数的极限运算法则, 可将这个极限变形, 当 x u 若 0 ,则
lim[ f ( x ) g( x ) h( x )] A B C;
例: lim( x e sin x ) lim x lim e lim sin x
2 x 2 x x 1 x 1 x 1 x 1
1 e sin1
推论3 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n . 例: lim x 3 lim x lim x lim x (lim x )3 8
1 x x
u0
1 0
x
结果: lim e
1
例: lim sin(arctan x )
x
例: lim cos ln x
x 1
复合函数求极限法则
e 例: lim
x0
1 x
1 arctan 例: lim x0 x
1 例: lim ln cos x x
例: lim e
r t
1 3 例:求 lim( ) 3 x 1 1 x 1 x
x x 思考：lim ( 2 ) x 2x 1 2x 1
3
2
复合函数的极限
定理2(复合函数的极限运算法则)
设函数 y = f [g(x)] 是由函数 y = f (u) 与函数
u = g(x) 复合而成, 若
x x0
x sin x 例:求 lim x 0 x sin 2 x
sin x 3 思考：lim x 0 sin 3 x
sin 重要极限I: lim 1 xu
a x2 例:求 a 为何值时,函数 f ( x ) sin 3 x x
在 x 0 时有极限.
推论2 lim[C f ( x )] C lim f ( x ).
例: lim 2 2
x 1
lim 2 2
x
例: lim 2 x 2 lim x 2 1 2
2 2 x 1 x 1
极限运算法则
例:求下列极限
lim(cos x 2e x )
x 0
lim(2 x ln x )