北航有限元分析与应用试题库(可编辑修改word版)

1.

证明 3 结点三角形单元的插值函数满足 N i (x i , y j ) = ij ，及 N i + N j + N m = 1 。

2.

图示 3 三结点三角形单元，厚度为 t ，弹性模量为 E ，泊桑比ν＝0。试求：插值函数矩阵 N ，应变矩阵 B ，应力矩阵 S ，单位刚度矩阵 K e 。

3.

以平面问题常应变三角形单元为例，证明单元刚度矩阵的任何一行（或列）元素的总和为零。 4.

试证明面积坐标与直角坐标满足下列转换关系。

x = x i l i + x j l j + x m l m y = y i l i + y j l j + y m l m

5.

写出题 5 图所示三角形单元的插值函数 Ni ，Nj ，Nm 以及应变矩阵 B 。

6.

题 5 图中单元在 jm 边作用有线性分布的面载荷（x 方向），试求结点载荷问题。

7.

证明常应变三角形单元发生在刚体位移时，单元中将不产生应力。

⎢ ⎥ ⎥ 8. 求图示二次三角形单元在 1 4 2 边作用有均布侧压 g 时的等效结点载荷，假设

结点坐标已知，单元厚度为 t 。

9.

验证用面积坐标给出二次（三角形）单元的插值函数的 N 1～N 6 满足 ∑ N i = 1 i =1~6 10. 二维单元在 xy 坐标平面内平移到不同位置，单元刚度矩阵相同吗?在平面内旋

转时怎样？单元旋转 180o 后单元刚度矩阵与原来的相同吗？单元作上述变化时，应力矩阵 S 如阿变化？

11. 图中两个三角形单元组成平行四边形，已知单元○1 按局部编码 i ，j ，m 的单元

刚度矩阵 K ○1 和应力矩阵 S ○1 为

⎡8 0 - 6 - 6 - 2

6 ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ K ○1 = ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡0 S ○1 = ⎢0 ⎢⎣2 16 0 13.5 0 - 3 0 0 0 -1.5 -12 4.5 13.5 0 - 3 -1.5 0 - 7.5 1.5 9.5

3 0 - 0.5 -

4 ⎥ - 4.5⎥ -1.5⎥ -1.5⎥ ⎥ 5.

5 ⎥⎦ 0 ⎤ ⎥ ⎥ 1.5⎥⎦ 按图中单元○2 的局部编码写出 K ○2 ，S ○2 。

12. 图示为二次四边形单元，试计算∂N 1 ∂x 和∂N 2 ∂y 在自然坐标为(1/2,1/2)的点 Q

的数值（因为单元的边是直线，可用 4 个结点定义单元的几何形状）。 ⎢ 1

13.图示为一次三角形单元，试计算∂N4

∂x 和∂N

4

∂y 在点 P(1.5 ,2.0)的数值。

14.垂直悬挂的等截面直杆受自重作用，截面积为 A，长度为 l，质量密度为ρ。

如图一维杆单元求解杆内的应力分布，问应采用多少结点的单元？在什么位置有限元结果可以达到解析解的精度？给出它们的数值。

15.有中心椭球孔的矩形板，两侧边受线性分布的侧压 P，如图所示如何利用对称

面条件减少求解的工作量，并画出计算模型，列出计算步骤。