结构力学课件 动力计算

M AC 3i A 3i 3i(1 A ) M AB i i i 3 A 3 3 ( A 1) 2 2 2
l
l
M 1 2
M AB 6i M AB , FQBA 1 2 2l 12i k k11 r11l m 1 2
弹簧反力 FRC 5m 2a,
2k FRC 5m 2 a 2 , 弹簧变形 2a 5m k k
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例3：求图示体系的 自振频率。 ⑶间接应用公式
A
l/2
B m B θ
EI＝∞ l/2
C k C
l/2
D m D
A
设梁绕A点转角为θ, 2 2 2 l 3l 5ml •则梁绕A点转动的惯性 JA m m 2 2 2 为其对A点的转动惯量. A k B C D 11 •与其相应的刚度为梁 l θ=1 绕A点转动刚度k11 。 kl k11 kl 2 •用转动刚度k11代替刚 度系数k，转动惯量JA k11 k kl 2 2k 2 代替质量m代入公式 m J 5ml / 2 5m
1 192 EI m 5ml 3 192 90 105 1 134.16 s 5 300 43
结束放映
EI
F sin t
m
1
l/2
l/2
k
δ
k 1/2
上一页
下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
结束放映
上一页
下一页
l
EI
ma 2
郑州大学土木工程学院 樊友景
例4：求图示刚架的自振频率。 ⑶间接用公式： k / m
θ
A
2l
O
θ =1
l
以体系绕其瞬心O的转角θ为位移参数。 m •体系对O点的转动惯量
JO ml m
2
EI C
m r11
l

2l
2
3ml 2
B
EI
•求刚度系数k11
力求位移
1 4 EI 3 f11 J o ml 1 2
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
三、阻尼对振动的影响
⑴ 考虑阻尼时体系的自振频率减小，周期增大。
r 1 2 , Tr
T 1 2
当ξ<0.2, 可近似取,
r ,
Tr T
⑵ 阻尼对自由振动的振幅影响较大。 自由振动的振幅 aet 随时间单调衰减，最后停止。 ⑶ 阻尼对β的影响与θ/ω有关。共振区对β的影响显著。 在共振区之外阻尼对β的影响较小，可按无阻尼计算。 ⑷ 试验测定阻尼比
郑州大学土木工程学院 樊友景
一、动力计算中体系的自由度：确定变形体系上全部
质量位置所需独立参数的个数。仍假设受弯直杆两端 距离在振动过程中不变。运用附加支杆法确定。
两个质 点一个 自由度
EI=∞
一个质点 两个自由度
都有一个自由度 一个质 点两个 自由度
几点注意： 三个质点一个自由度 ⑴对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于 集中质量数，可能比它多，也可能比它少。 ⑵体系的自由度与其超静定次数无关。 ⑶链杆要考虑轴向变形。
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
B C D 例2：求图示体系的 A m m EI＝∞ k 或者由位移幅值位置 自振频率。 l/2 l/2 l/2 2 2 解：设B点振幅为a， FIA m a , F m 3D a B max B ID max C 则C，D点振幅分 FRC 2ak , 列平衡方程 : 2a a 3a 别为2a，3a。 M A aF 2 0 IB max 23aF 1aFRC 2 1 2 1 2 2 2 2 ID max ⑴能量法： Tmax ma m(3a) 5ma , U max k (2a) 2k 2 2 2 2 2 2 2 2k 4a k 10a m . 由 Tmax U max 2 5m 5m FIBmax FIDmax ⑵幅值方程法： A B C D 惯性力幅值为 a 2a 3a 2 2 FIB max m a, FID max m 3a FRC
y
2 0 2 v0

初始相位角: tan 1
y0 v0
质体动位移y(t)是以静力平衡位置为位移零点来确定的， 质体的重力对y(t)没有影响, 但质体的最大竖向位移应包含位 移幅值和自重下的静位移yst=Wδ两部分在内.
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
结构的自振频率ω (自振周期T )
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例5:已知图示梁中质量 m=300kg，EI=90×105N· m2， l=4m，k=48EI/l3，F=20kN，θ=80s-1。
求： ⑴无阻尼时梁中点的动位移幅值；
⑵当ξ=0.05时，梁中点的动位移幅值和最大动力弯矩。 解 ：①求自振频率
1 1 l3 5l 3 2 2k 48EI 192 EI
M
FQBA 2 2l r11l 0
k11 4 EI 3 Jo ml 1 2
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例4：求图示刚架的自振频率。 ⑶间接用公式： •体系对O点的转动惯量 JO 3ml 2 •在体系上加单位力偶求柔度 1 系数 f11 1 EI
2l
1 侧移
12 EI J 3 l 刚度
结束放映 上一页
1J
3EI 3 l
下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
⑵对于各质点惯性力不共线的多质点单自由度体系， 可利用下述的能量法和幅值方程法计算频率。 ①能量法：无阻尼自由振动过程能量要守恒. 当质点的位移y(t)为零时速度达到最大aω，此时， Tmax ma22 / 2 弹性势能为零，动能最大为： 当质点的位移y(t)达到最大a时速度为零，此时， 弹性能为零，动能最大为： Umax ka2 / 2 由机械能守恒 Tmax U max 可得可求得频率。 ②幅值方程法：质点位移和惯性力同频同相同时达最 大值。将质点的最大位移 a 看成是惯性力的最大值 mω2a产生的静位移，按静力法求解。由此也可求 得频率。 (t ) a cos t , FI my m2 y(t ) y(t ) a sin t , y
2l 3 2 l 2 ma l 2 2 3 2 1 2 m 2 al 3 4 EI
4 EI 由a 0, 得: 3 1 2 mal
2
MP
3 ma 2 l 2
求反力 3 ma 2
2
1
l 2 虚拟单位
M
结束放映
力求位移
上一页 下一页
l
EI
ma 2
k 1 圆频率 m m
2π 单位:T—秒； ω—弧度/每秒，即2π秒内振动次数；
工程频率 f

周期 T
1 2π f
f—HZ（赫芝）即每秒振动次数。 柔度系数δ—在质点上沿振动方向加单位 荷载使质点沿振动方向所产生的位移。 刚度系数k—使质点发生单位位移时，须 在质点上施加的力。 1/ k
1 2
郑州大学土木工程学院 樊友景
例4：求图示刚架的自振频率。 ⑵能量法： 最大动能
Tmax 1 m 2 2a 2 3 m 2 a 2 2
a
m
2a
EI
m


2
1 m 2 a 2 2
l
l
2
最大弹性势能
U max 3 m 2 4 a 2 l 3 1 2 8 EI
m 2a


k/m
k/m
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
例4：求图示刚架的自振频率。 质点惯性力不共线
a
m
2a
EI
m
⑴幅值方程法：在质点上加
惯性力的幅值求出质点位 移，令其等于位移幅值。
EI 2 2 3 2
l
l
加惯性力 2 m 2 a 1 l 3 2 l 2 a ma l 的幅值
求： ⑴无阻尼时梁中点的动位移幅值；
⑵当ξ=0.05时，梁中点的动位移幅值和最大动力弯矩。 解 ：②求无阻尼时的跨中 动位移幅值
3
EI
F sin t
5Fl Fl yst F , M st 192 EI 4 1 1 1.552 2 2 2 2 1 / 1 80 /134.16 yd max
由Tmax U max
得:
2
4 EI 3 1 2 ml
MP
3 ma 2 l 2
3 ma 2 2
2 2 2 MP 1 1 1 l 3 2 2 l 3 2 2 2 2 2 U d tm al al cos 速度幅值为： m m a a , a , 惯性力幅值为： m y(max t位移幅值为： ) a sin t ,x y (t ) a , F my a sin t I 2 EI 2 EI 2 2 3 3 2 2
1 2
1 2l
m
A
θ
O
θ f11
EI C Δ
2l
MP
B
1 2 2l
1 2 l2l
l
l
1
1 1l 1l 1 ( l 2l ) EI 2 2 2 2 3 (1 2)l 2 12 EI (1 2)l 1 f11 l 12 EI m
l 2 虚拟单位
M
1 2
yk 1 ln 2πn yk n
yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅。
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
四、单自由度体系简谐荷载下的强迫振动
无阻尼 有阻尼
y 2 y P / m sin t
运动微分方程 稳态解
动位移幅值 动力系数 共振时
2 y P / m sin t y 2 y
y yd max sin( t )
y yd max sin t
1 2 2
yd max yst
1
2

1 /
2
2

2
4 /
2 2 2
12

1 2
阻尼作用很大
对于简谐荷载下的无阻尼受迫振动，其质点位移（加速度和 惯性力）与干扰力作同步简谐振动； 对于简谐荷载下的有阻尼受迫振动其质点位移（加速度和惯 性力）与干扰力之间存在一个相位差α，两者总是不同时达 到最大值。
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
二、单自由度体系的自由振动
自由振动(固有振动)：无干扰力作用，振动是由初始位移 或初始速度(瞬时冲量) 影响下所引起的。 建立振动微分方程：在质点上加惯性力，按动静法处理。 刚度法：列质点平衡方程； my ky 0 初位移引 柔度法：求体系中质点位移： y (my ) 起的振幅 v0 质点位移 y (t ) sin t y0 cos t a sin t 初速度引起的振幅 无阻尼自由振动是简谐振动 振幅: a
δ
k 1
F=1
k
自振周期（频率）与 且只与结构的质 量和结构的刚度有关，与荷载和初始 干扰因素无关。是结构的固有特性。 要改变结构的自振周期，只有改变结构的质量或刚度。 增大质量或降低刚度可降低频率或提高周期，反之亦然。
结束放映 上一页 下一页
郑州大学土木工程学院 樊友景
单自由度体系自振频率的计算方法小结： k 1 ⑴各质点惯性力共线时，可直接利用 m m k k 例1：求图示梁的自 m 3EI 振频率。不计 EI l3 k1 k1 梁的质量。 l 解：求刚度系数 3EI 3EI / l 2 k1 k k k1 3 m m l 对于静定结构一般计算柔度系数方便。 如果振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节 点都不发生转动(如刚性横梁的刚架)计算刚度系数方便。 1