高中含参不等式的恒成立问题整理版

高中数学不等式的恒成立问题

一、用一元二次方程根的判别式

有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决。 基本结论总结

例1 对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

例2：已知不等式04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，求参数a 的取值范围． 解：要使04)2(2)2(2

<--+-x a x a 对于x ∈Ｒ恒成立，则只须满足：

（1）⎩⎨⎧<-+-<-0)2(16)2(4022

a a a 或 （2）⎪⎩

⎪

⎨⎧<-=-=-0

40)2(20

2a a 解（1）得⎩⎨

⎧<<-<2

22

a a ，解（2）a ＝２

∴参数a 的取值范围是－２＜a ≤２．

练习1. 已知函数])1(lg[2

2

a x a x y +-+=的定义域为R ，求实数a 的取值范围。

2.若对于x ∈R ，不等式恒成立，求实数m 的取值范围。

3.若不等式的解集是R ，求m 的范围。

4.x 取一切实数时，使3

47

2+++kx kx kx 恒有意义，求实数k 的取值范围．

例3．设22)(2

+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。 关键点拨：为了使

在

恒成立，构造一个新函数

是解题的关键，再利用二次

函数的图象性质进行分类讨论，使问题得到圆满解决。若二次不等式中x 的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。 解：m mx x x F -+-=22)(2

，则当),1[+∞-∈x 时，0)(≥x F 恒成立 当120)2)(1(4<<-<+-=∆m m m 即时，0)(>x F 显然成立；

当0≥∆时，如图，0)(≥x F 恒成立的充要条件为：

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨⎧

-≤--≥-≥∆1

220)1(0m F 解得23-≤≤-m 。综上可得实数m 的取值范围为)1,3[-。 例4 。已知1ax x )x (f 2+-=，求使不等式0)x (f <对任意]2,1[x ∈恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合

结合函数)x (f 的草图可知]2,1[x ,0)x (f ∈<时恒成立⇔

25a 0

a 25)2(f 0a 2)1(f >⎩⎨

⎧<-=<-=得。所以a 的取值范围是),25

(+∞。 解法2：转化为最值研究

4a 1)2a x ()x (f 22-

+-= 1. 若]2,1[)x (f ,3a 232a 在时即≤≤上的最大值,25a ,0a 25)2(f )x (f max ><-==得3a 25

≤<所以。

2. 若0a 2)1(f )x (f ]2,1[)x (f ,3a 2

3

2a max <-==>>上的最大值在时即，得2a >，所以3a >。

综上：a 的取值范围是),2

5

(+∞。

注：1. 此处是对参a 进行分类讨论，每一类中求得的a 的范围均合题意，故对每一类中所求得的a 的范围求并集。

2. I x ,m )x (f ∈<恒成立)m (m )x (f max 为常数<⇔； )m (m )x (f I x ,m )x (f min 为常数恒成立>⇔∈> 解法3：分离参数

]2,1[x ,x 1x a ]2,1[x ,01ax x 2∈+

>⇐∈<+-。设x

1

x )x (g +=，

注：1. 运用此法最终仍归结为求函数)x (g 的最值，但由于将参数a 与变量x 分离，因此在求最值时避免了分类讨论，使问题相对简化。

2. 本题若将“]2,1[x ∈”改为“)2,1(x ∈”可类似上述三种方法完成。

仿解法1：⇔∈<)2,1(x ,0)x (f 25a 0

)2(f 0)1(f ≥⎩⎨

⎧≤≤得即),25

[:a +∞的范围是 读者可仿解法2，解法3类似完成，但应注意等号问题，即此处2

5

a =

也合题。 O

x

y x

-1

例5. 已知：1ax x )x (f 2+-=求使]1,1[x 0)x (f -∈>对任意恒成立的a 的取值范围。 解法1：数形结合结合)x (f 的草图可得：

⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--<≥-=∆<-=∆0)1(f 1

2a 04a 04a 22

或或⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧>>≥-=∆0)1(f 12a 04a 2得：)2,2(:a 2a 2-<<-的取值范围是即。 解法2：转化为最值研究

4a 1)2a x ()x (f 2

2-

+-= 1. 2a 204a 1)x (f ,2a 212a 12

min <<->-=≤≤-≤≤-得时即，所以2a 2<<-。

2. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12a

min -<->>+=-=-<-<与得时即矛盾。

3. 若2a ,2a 0a 2)1(f )x (f ,2a 12

a

min ><>-==>>与得则时即矛盾。综上：a 的取值范围是)2,2(-。

解法3：分离参数

1. 0x =时，不等式显然成立，即此时a 可为任意实数；

2. )0,1[x -∈时，x 1x a 01ax x 2+>⇔>+-。因为)0,1[x 1

x )x (g -+=在上单调递减，所以

2)1(g )x (g a max -=-=>；

3. ]1,0(x ∈时，x 1x a 01ax x 2+

<⇔>+-。因为x

1

x )x (g +=在（0，1）上单调递减，所以 2)1(g )x (g a min ==<。综上：a 的范围是：)2,2(-。

注：本题中由于x 的取值可正可负，不便对参数a 直接分离，故采取了先对x 分类，再分离参数a ，最后对各类中

求得a 的范围求交集，这与例1方法三中对各类中求得的a 的范围求并集是不同的，应引起注意！

例6. 已知：1ax x )x (f 2+-=，求使0)x (f >对任意]3,3[a -∈恒成立的x 的取值范围。

解：01ax x 0)x (f 2>+->即习惯上视x 为主元而a 为辅元，但本题中是a 在]3,3[-上任意变化时不等式恒成立，故可将a 视为主元。

变更主元法：设1x a x )a (g 2++⋅-=，则)a (g 的图像为一直线，则]3,3[a ,0)a (g -∈>时恒成立⇔

⎪⎩

⎪⎨⎧>+-=>++=-01x 3x )3(g 0

1x 3x )3(g 22

即x 的范围是：),253()253,(+∞+⋃---∞ 总之，处理不等式恒成立问题首先应分清谁是主元（哪一个变量在给定区间上任意变化，则该变量即为主元

相当于函数自变量），然后可数形结合或转化为最值研究。若易于将参变量分离的可先分离参变量再求最值，若需分类讨论则应注意分类标准和最后的小结（分清是求交集，还是求并集）。 二、 利用函数的最值（或值域） （1）对任意x 都成立

（2）

对任意x 都成立

。简单计作：大的大于最大的，小的小于最小的。由此看出，本

类问题实质上是一类求函数的最值问题。