3-随机过程基本概念讲解

6
3.1 随机过程的定义
定义1 设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。
X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于
任意固定的t ∊T， X(t,ω)是(Ω,ℱ,P)上的随机变量，则称
随机变量族{X(t,ω),t ∊T, ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机过程。
t 称为参数，T 称为参数集。
1、按参数集和状态空间是连续还是离散取值分类：
（1）若参数T是可数有限集，即T={tk, k=0, 1, 2, …, n}， 称为有限随机变量序列；若参数T是可数无限集，即T={tk,
k=0, 1, 2, … }或T={tk, k= …, 0, 1, 2, … } ，称为无限随机变量 序列；统称离散参数随机过程，简称随机序列。
x1(t)
做一次试验，可得到一
条表示t 时刻前接收到的 0
t
呼唤次数的非降阶梯曲 x2(t)
线（样本函数）。各次
试验所得的曲线是随机 0
t
的。所有这些样本函数 xn(t)
组成一随机过程。
0
t
3
3.1 随机过程的定义
例3 热噪声电压。对接收机的噪声电压做多次观测试验， 可得到如图所示的波形。每次试验后得到一条随时间变化的 电压曲线（确定性函数，样本函数） ，这样变化的波形在试 验前是不确定的，即任意一时刻的取值是不确定的；不同次 试验得到的结果是不同的，每一次试验所得到的波形是随机 的；所有这些可能的波形的集合，就构成了一个随机过程。
当t=t1时,各次试验取值 是不确定的，固定t时， 热噪声电压是一个随机变 量；t 变化时是一族随机 变量，表示一个随机过程。
4
3.1 随机过程的定义
❖ 依赖于一个变动参量(时间)的一族随机变量。它虽 然不能用一个确定的函数来描述，但也是有规律的。
❖ 关注对象：一族随时间或地点变化的随机变量; ❖ 随机过程：需要研究这一族随机变量的整体或局部
其中，每一个函数称为样本函数，或该随机过程的一个 实现。
8
3.1 随机过程的定义
随机过程X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)在不同情况下的含义：
（1）当t 和ω都是变量时，是一个时间函数族，或依赖 与t 的随机变量族；
（2）当t 是变量、ω固定时，是一个确定的时间函数 （样本函数）；
（3）当t固定、ω是变量时，是一个随机变量； （4）当t 和ω固定时，是一个确定的值。 为简便起见，书写时常省略随机因素ω，将随机过程X(t,ω) （t ∊T, ω∊Ω)简记为X(t)（t ∊T）。
对于每一个固定的t=ti , X (ti ) a cos(ti ) 是一个随 机变量；
若在（0,2)内随机地取一个数=i，就有 xi (t) a cos(t i ) ，表示一个样本函数；
若t和均给定时，取t=ti, =i，有 xi (ti ) a cos(ti i ) ，是一个实数。
11
3.2 随机过程的分类
0}
P{X i
X1
1}
1 2
枚硬币，各次的结果随 着抛的次数（时间）是 随机变化的，即表示每 次试验结果的随机变量 是随次数变化的，所有
1 i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 …… X2 1
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
这些结果就形成了一个
Xm
1
随机过程，可用一族随
把随机过程X(t,ω)在t 时刻的取值称为该随机过程在t
时刻所处的状态；一个随机过程所有状态构成的集合称为状
态空间（或值域），记为
。
E {x : X (t,) x,t T, }
7
3.1 随机过程的定义
定义2 设(Ω,ℱ,P)是一个概率空间，T是一个实数集。 X(t,ω)（t ∊T, ω∊Ω)是定义在T和Ω上的二元函数。若对于 任意固定的ω∊Ω ，总有一个t 的函数X(t,ω)（t ∊T）与之对 应,对于所有的ω∊Ω ，就得到一族确知的t的函数，则称这一 族 t 的函数的集合{X(t,ω),t ∊T, ω∊Ω}是(Ω,ℱ,P)上的随机 过程。
i
机变量{Xi}表示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ……
2
3.1 随机过程的定义
例2 电话问题。当t(t≥0)固定时，电话交换站在[0，t] 时间内接到的呼唤次数是个随机变量，它可以取非负整数值0， 1，2，…。如果t 从0变到∞， t 时刻前接收到的呼唤次数就 需要用一族随机变量表示，是一个随机过程。
9
3.1 随机过程的定义
函数、随机变量、随机过程有何不同？
函数：实数→实数 随机变量 随机试验结果→实数
随机过程：随机变量→实数 随机试验结果→时间函数 随机性、函数性
10
3.1 随机过程的定义
例：随机相位正弦波 X (t) a cos(t ) ，其中a, 为常数， 是在（0,2)内服从均匀分布的随机变量。
随机过程的基本 概念
随机过程的定义 随机过程的分类 随机过程的概率分布 随机过程的数字特征 随机过程的特征函数
复随机过程
1
3.1 随机过程的定义
例1 贝努里序列。掷一枚硬币，记出现正面为1，出现反
面为0。每一次掷的结果是一个随机变量，第i次结果的随机
变量记为Xi，由概率论知，其概率分布为
P{Xi 如果无限多次的抛一
统计规律性;
5
3.1 随机过程的定义
❖ 现实世界中的许多现象是随时间的进展而变化与发 展的，这些现象通常称为过程。
❖ 如何描述这样的变化过程：
❖ 1. 如果对其变化过程的全过程做一次观察,得到一个位置 与时间关系的函数x1(t ),若再次观察，又得到函数 x2(t ),… ,因而得到一族函数.
❖ 2. 如果在时刻t观察质点的位置x(t ),则x(t )是一个随机 变量,这样对于每个时刻t便得到一个随机变量X(t ),于是 我们就得到一族随机变量{X(t),t≥0},（最初始时刻为 t=0）,它描述了此随机的运动过程.
若参数T是不可数有限集，即T={t, a≤t ≤b}或 T={t, t ≥t0} , 或者若参数T是不可数无限集，即T={-∞<t<+ ∞},或 T={0 ≤
t<+ ∞}； 称为连续参数随机过程。
（2）若随机过程X(t)在任意时刻的状态X(ti)是离散型的， 称为离散型随机过程；若X(ti)是连续型的，称为连续型随机 过程。