二项分布和泊松分布的剖析

概率是 ｔ 的高阶无穷小。则 Ｘ 的概率函数为：
ｋ
Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝
! Ｋ！
－!
ｅ ，ｋ＝０，１，２，．．．
其 中 Ｅ（ Ｘ） ＝!．!＞０，称 Ｘ 服 从 泊 松 分 布 Ｐ（!）， 这 里 的
条件下文中称为泊松条件。一般随机过程著作中使用母
函数工具推导泊松分布的概率函数 。
（ 三） 对定义的剖析
泊松分布和二项分布都是对应于 “一 定 范 围 内 事 件
我 们 看 一 个 实 例： 二 战 期 间 伦 敦 南 部 的 ５７６ 个 小 区
的公式近似计算二项分布的概率。
域 被 ５３５ 枚 Ｖ－ １ 飞 弹 击 中， 计 算 随 机 的 一 个 小 区 域 恰 好
（ 二） 启发式数学表述
被击中 ２ 次的概率。
前面泊松分布的概率函数从一个满足泊松条件的计
一般都不假思索， 设为随机的一个小区域被击中的
Ａ 发生的次数”的问题， 二项分布指的“一 定 范 围 ”是 次 贝
努 里 试 验 。 泊 松 分 布 中 的 “时 间 段 ”的 概 念 引 申 为 空 间
（用体积 度 量）， 区 域（用 面 积 度 量）等， 泊 松 分 布 中 的 “一 定
范围”指的是诸如体积面积长度重量时间的范围， 下文中
称为区间， 故一般教材中这样表述： 在一定条件下， 单位
二项分布的理论概率 泊松分布的理论概率 二项分布的理论频数 泊松分布的理论频数 实际频数 二项分布的百分比误差 泊松分布的百分比误差
０．３９４７０
０．３９５０２
２２７．３５
２２７．５３
２２９
０．００７２６７
０．００６４５５
０．３６７２４
０．３６６９０
２１１．５３
２１１．３４
２１１
－ ０．００２５２
－ ０．００１５９
参考文献： ［１］ 严颖、成世学、程侃． 运筹学随机模型［Ｍ］． 中国人民大
学出版社． １９９５／ ６， Ｐ３１－ ３２ ［２］ Ｍａｒｉｏ Ｆ． Ｔｒｉｏｌａ． Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ［Ｍ］ 清华大学出版
社． ２００３／ １２， Ｐ２１２
（ 作者单位： 上海外国语大学国际工商管理学院）
＝０．００１７， Ｘ 服 从 Ｂ（５３５， ０．００１７），
Ｐ（Ｘ＝２）＝Ｃ５３５２×０．００１７２×（１－ ０．００１７）５３３≈０．１７０５。 概率几乎相等。下面是用 Ｅｘｃｅｌ 计算的一些概率和拟
合百分比误差， 根据实际数据得到两个分布的拟合均方
百分比误差。
表１
二项分布与泊松分布的理论概率与频数与百分比误差
区 域（ｒｅｇｉｏｎ）或 间 隔（ｉｎｔｅｒｖａｌ）内 事 件 Ａ 发 生 的 次 数 服 从 泊
松分布 Ｐ（!）， 其中 ! 为单位 区 域 或 间 隔 事 件 Ａ 发 生 的 平
均次数， 一定的条件就是指泊松条件。二项分布指的“一
定范围”是用离散变量度量的， 泊松分布指的“一定范围”
是用连续变量度量的， 当离散和连续互相近似转化， 可以
· １０ ·
统计教育
２００６ 年第 １０ 期
二项分布和泊松分布的剖析
文／ 傅军和
摘要：本文从二项分布和泊松分布的数学导出过程出 发， 结合应用进行剖析， 并对两个分布之间的联系给出启 发式的数学表述， 文章最后对一个实例继续探讨有关这 两个分布的问题。
关键字： 二项分布； 泊松分布； 概率函数； 泊松条件
０．１７０５３
０．１７０３９
９８．２２
９８．１５
９３
－ ０．０５３１９
－ ０．０５２４３
０．０５２６９
０．０５２７５
３０．３５
３０．３９
３５
０．１５３２１４
０．１５１８１９
０．０１２１９
０．０１２２５
７．０２
７．０６
７
－ ０．００２８６
－ ０．００７９３
０．００２２５
０．００２２８
１．３０
１．３１
１
数过程导出， 用到母函数工具． 下面分析泊松分布从二项
分布中产生， 从而由泊松定理根据二项分布的概率函数
导出泊松分布的概率函数公式。
设 Ｘ 为单位区间中事件 Ａ 发生的次数， 满足泊松条
件， " 为单位区间内事件 Ａ 发生的平均次数。将单位区间
等分为个小区间， 取足够大， 根据泊松条件， 每一个小区
）ｎ－ ｋ，
又
因
为
ｌｉｍ
ｎ→∞
Ｃｎｋ（
" ｎ
）ｋ（１－
次数，
１
个
小
区
域
被
击
中
的
平
均
次
数
为
５３５ ５７６
＝０．９２９，
Ｘ服
从
Ｐ（０．９２９），
Ｐ（Ｘ＝２）＝
０．９２９２ ２！
ｅ－ ０．９２９
≈０．１７０４。
但 换 一 角 度 看 ， ５３５ 枚 飞 弹， 每 一 枚 飞 弹 击 中 指 定 一
个小区域的概率为 １ ５７６
常数， 则：
当然将二项分布中的次贝努里试验近似看作泊松分
ｋ
ｌｉｍ
ｎ→∞
ｋ
Ｃｎ
ｋ
ｐ
ｎ－
ｑ
ｋ
＝
" Ｋ！
－"
ｅ
布中的连续区间， 从而二项分布理解成产生于泊松分布， 不过没有必要， 因为二项分布的概率函数是显然的。
其中 "＝ｎｐ， 证明方法只需要简单的极限性质。
三 、实例
一般此定理的应用是： 在一定条件下利用泊松分布
间 内 Ａ 发 生 一 次 以 上 的 概 率 应 视 为 ０， Ａ 恰 好 发 生 一 次
的 概 率 近 似 为 "／ｎ， Ａ 不 发 生 的 概 率 相 应 近 似 为 １－ （"／ｎ），
泊松条件意味贝努里条件成立． 则近似服从 Ｂ［ｎ，（"／ｎ）］。
则
：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｎｋ（
" ｎ
）ｋ（１－
" ｎ
一、二项分布和泊松分布的导出过程的剖析 和应用
二项分布和泊松分布是两类最熟悉不过的重要离散 型分布， 而且这两个分布的概率函数有密切的联系。下面 先给出概率论教材中这两个分布的数学导出过程：
（ 一） 二项分布 设 ｎ 次 贝 努 里 试 验 满 足 条 件：（１） 每 一 次 试 验 中 事 件 Ａ 发生的概率是不变的，等于 ｐ。（２） 事件 Ａ 在各次试验中 是否发生是独立的。则 Ｘ 的概率函数为：Ｐ（Ｘ＝ｋ）＝Ｃｎｋｐｋｑｎ－ｋ， ｋ＝０，１，２，．．．ｎ， 称 Ｘ 服从二项分布 Ｂ（ｎ，ｐ），这里的条件在下文 中称为贝努里条件。 （ 二） 泊松分布 泊松分布可以从一个计数过程导出， 若计数过 程 ｛Ｎｔ，ｔ≥０｝满足： １、独立增量性： 任意 ｓ，ｔ≥０，Ｎｔ＋ｓ－ Ｎｔ 与｛Ｎｕ，ｕ≤ｔ｝独 立 。 即在不重叠的时段内 Ａ 发生的次数之间独立。 ２、增量平稳性： 任意 ｓ，ｔ≥０，Ｎｔ＋ｓ－ Ｎｔ 的 分 布 与 ｔ 无 关， 即在某时段内 Ａ 发生的次数的分布只取决于时段的长 度， 与时段的起点无关。 ３、Ｐ（Ｎｔ≥２）＝ｏ（ｔ）长度为的时段内 Ａ 发 生 不 止 一 次 的
预料两个分布之间可能会有联系。
二、二项分布和泊松分布联系的启发式数学
表述、
总第 ８５ 期
统计新论
· １１ ·
（ 一） 泊松定理指出： 二项分布的概率函数在一定条 件下以泊松分布的概率函数为极限：
ｋ
ｋ
" ｎ
）ｎ－
ｋ＝
" Ｋ！
－"
ｅ，
令 ｎ→∞，
Ｐ
（Ｘ＝ｋ）＝
" Ｋ！
－"
ｅ ， 虽不是完全严
若 Ｘ 服从二项分布 Ｂ（ｎ，ｐ）， 当 ｎ→∞ 时 ｎ→!，!＞０ ，为 格证明， 但颇具启发性。
－ ０．２２８７４
－ ０．２３７０７
表２
拟合均方百分比误差
拟合均方百分比误差
二项分布
泊松分布
０．０７８７
０．０８２１
该实例中可以认为泊松条件和贝努里条件都很好的 满足， 而且二项分布的拟合均方百分比误差小于泊松分 布 。 根 据 对 “一 定 范 围 内 事 件 Ａ 发 生 的 次 数 ”的 理 解， 人 们一般第一反映是泊松分布， 不太想到二项分布， 甚至觉 得二项分布可能不合理， 其实是我们已形成了思维定势： 一个二项分布的问题在一定条件下会考虑用泊松分布去 近似， 而是泊松分布的问题， 就不太容易想到和二项分布 有 什 么 关 系 。这 个 实 例 对 于 理 解 二 项 分 布 和 泊 松 分 布 的 应 用是很有意义的。