关于无穷级数求和的研究及应用
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n
S3n =
k =1
(
1 1 1 + － 4k － 3 4k － 1 2K
)
63
= S' 4n + = S' 4n + = S' 4n + = S' 4n +
1 1 1 + + … + 2n + 2 2n + 4 4n 1 1 1 1 （ + + … + ） 2 n +1 n +2 2n 1 （ C + ln2 n + ε2n － C － lnn － ε n ） 2 1 1 3 （ ln2 + ε2n － ε n ） → ln2 + ln2 = ln2 （ 当 n → ∞ 时） 。 2 2 2 3 ln2 。 2
［5 ］
Baidu Nhomakorabea
： 数列｛ S n ｝ 收敛的充分必要条件是｛ S n ｝ 的任一子列都收敛， 且有相同的极限。
特别地， 由引理 1 ， 可得 引理 2 ： 数列｛ S n ｝ 收敛于 S 的充分必要条件是｛ S n ｝ 的两个子列｛ S2n ｝ 和｛ S2n －1 ｝ 都收敛于同一极限。 此时， 称两个子列｛ S2n ｝ 和｛ S2n －1 ｝ 为互补子序列。 可将引理 2 推广到一般情形。 ｛ S pn －1 ｝ ， 定理 1 ： 数列｛ S n ｝ 收敛于 S 的充分必要条件是 ｛ S n ｝ 的 p （ p 是某个正整数） 个子列 ｛ S pn ｝ ， …｛ S pn － （ p －1） ｝ 都收敛于同一极限 S 。 p = 2 时， 证明 当 p = 1 ， 结论显然成立； 下面证明当 p = 3 时结论成立， 其他情形类似可证。由引理 1 “必要性” “充分性” 。 ｛ S n ｝ 的 3 个子列｛ S3n ｝ ， ｛ S3 n －1 ｝ ， ｛ S3n －2 ｝ 都收敛于同一极 可知 显然， 只要证明 由条件， “ε － N” 于是， 由数列收敛的 定义可得， 对任意的 ε ＞ 0 ， 存在一个充分大的正数 N ＞ 0 ， 当 n ＞ N 时， 限 S， 此时 n = 3 k 或 n = 3 k － 1 或 n = 3 k － 2 ， 从而有 | S － Sn | ＜ ε， 故证得数列｛ S n ｝ 收敛于 S 。
= C + ln3 n + ε3n － （ C + ln （ n + 1 ） + ε n － 1 ） → ln3 + 1 （ 当 n → ∞ 时） 。 所以， 由定理 3 知， 原级数收敛， 其和为 S = ln3 + 1 。 例 3 ： 在例 1 的基础上， 求证将级数 （ － 1 ）
n =1 ∞ n －1
1 = ln2 重排后的新级数 n
1 +
1 1 1 1 1 1 1 1 － + + － + + － + … 3 2 5 7 4 9 6 11 3 ln2 。 2
的和为
证明： 易知重排后的新级数通项 a n → （ 当 n → ∞ 时） ， 并考察其部分和数列的子列｛ S3n ｝ 的极限。方 ∞ 1 n －1 S' 4n → ln2 。 便起见， 记级数 （ － 1 ） 的部分和为 S' n ， 显然， 当 n → ∞ 时， 观察新级数， 并由（ 1 ） 式可得 n =1 n
｛ S （ p +q） n ｝ （ n = 1 ， 2， …） 即可证明， 3］ ）。 具体证明见文献［ 例 4 ： 证明调和级数
∞ n =1
1 1 1 1 + + … + = 1 + + … 发散。 2 3 n n
证明： 考察调和级数的部分和数列｛ S n ｝ （ 此时 p = 1 ） ， 并由（ 1 ） 式知 1 1 1 Sn = 1 + + + … + 2 3 n = C + lnn + ε n → + ∞ （ 当 n → ∞ 时， 并注意到 lnnn → + ∞ ） 故调和级数发散。 例 5 ： 证明级数 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 － + + － + + － + … 发散。 2 3 4 5 6 7 8 9
解： 易知此级数通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 观察原级数后， 考察部分和数列的子列｛ S3n ｝ 的极限。 对于 原级数， 并由（ 1 ） 式可知 S3n = 1 + = 1 + 1 1 1 1 1 1 －－ （ + + … + － － … － ） 3n n +1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 + + … + + + … + － 1） － （1 + 3n n +1 2 3 2 3
= C + ln2 n + ε2n － C － CLNN － ε n = ln2 + ε2n － ε n → n2 （ 当 n → ∞ 时） 。 所以， 由定理 3 知， 原级数收敛， 其和为 S = ln2 。 例 2 ： 计算 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + （ － ） + + + （ － ） + + + （ － ） + …。 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9 4
给出了一种判断级数敛散性的方法， 并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断 转化为数列极限的计算问题， 级数敛散性中的某些应用 。 关键词： 无穷级数； 极限； 部分和序列； 子序列方法； 敛散性 作者简介： 陈文生（ 1978 － ） ， 男， 江苏宿迁人， 宿迁高等师范学校数学系讲师， 从事基础数学的教学与研究 。 中图分类号： O173 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0063 （ 2010 ） 06 － 0062 － 03 收稿日期： 2010 － 05 － 16
［ 参 考 文 献］
［ 1］ Bart Braden． Calculating sums of infinite series［ J］ ． Amer． Math． Monthly， 1992 ， 99 （ 7 ） ： 649 － 655． ［ 2］ Boas R． P． ． Partial sums of infinite series and how they grow［J］． Amer． Math． Monthly， 1977 ， 84 ： 237 － 258． ［ 3］ 孙珍， J］ ． 数学杂志， 2009 ， 29 （ 4 ） ： 490 － 292． 李寿贵， 张爱丽． 关于无穷级数求和的研究［ ［ 4］ 朱文辉， J］ ． 大学数学， 2005 ， 21 （ 3 ） ： 114 － 116． 张亭． P 级数的求和［ ［ 5］ 华东师范大学数学系 ． 数学分析： 上册［ M］ ． 2 版． 北京： 高等教育出版社， 1991 ： 43． ［ 6］ 裴礼文． 数学分析中的典型问题与方法［M］． 北京： 高等教育出版社， 1993 ： 19 － 20 ， 338 － 340．
= C + ln3 n + ε3n － =
1 1 C + ln3 + lnn + ε3n － ε n → + ∞ （ 当 n → ∞ 时， 并注意到 lnn → + ∞ ） 3 3
故原级数发散。 通过上述几例我们可以看到， 本文所给的子序列方法不仅能够判定级数敛散性， 而且能进一步求出一 些特殊无穷级数的和 。与现有常用的级数敛散判别法相比， 在某些情况下这种方法则更具有优越性。这 是因为， 子序列方法是从收敛级数的部分和数列的角度， 把级数求和的问题转化为我们所熟知的数列极限 的计算问题的。应该说它是对现有方法的一个很好的补充 。
： 1 + （ 1）
且 ε n → 0 （ 当 n → ∞ 时） 。 其中 C = 0 ． 577216 … 称为 Euler 常数， 对于原级数， 并由（ 1 ） 式可知 1 1 1 1 1 1 S2n = 1 + + + … + － 2（ + + … + ） 2n 2n 2 3 2 4 = 1 + 1 1 1 1 1 1 － （ + + … + + + … + ） n 2n 2 3 1 2
n =1 n =1 ∞ ∞ ∞
2， …） 收敛于 S 。此时， m S = S。 的子列｛ S2n ｝ （ n = 1 ， a n = S lin→ ∞ 2n
n =1
∞
进一步， 可将定理 2 推广到一般情形： 定理 3 ： 若级数 a n 的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 则 a n 收敛于 S 的充分必要条件是部分和数列｛ S n ｝
n =1 n =1 ∞ ∞
62
n = 1， 2， …） 收敛于 S 。 的一个子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数， p = 2 时， 证明： 当 p = 1 ， 结论显然成立； 只证当 p = 3 时结论成立，其他情形类似可证。由引理 1 可 “必要性”显然。由条件 S3n → S 及 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， S3 n －2 = S3 n － a3 n － a3 n －2 ， 知 注意到 S3n －1 = S3n － a3n ， S3n －2 → S （ 当 n → ∞ 时） ， 从而 S3n －1 → S ， 于是， 由定理 1 可知 S n → S ， 再由级数收敛的定义 a n 知收敛于 S 。 n =1 充分性得证。 定理 3 给出了判断无穷级数收敛以及求和的一种方法 。对于一般级数， 由极限有关知识易验证通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， n = 1， 2， …） ， 因此只要能找到其部分和的某一个收敛子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数，
第 30 卷
第6 期
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY
Vol． 30
No． 6
2010 年 11 月
November， 2010
关于无穷级数求和的研究及应用
陈 文 生
（ 宿迁高等师范学校 数学系， 江苏 宿迁 223800 ）
摘
要： 无穷级数是高等数学教学中的一个重要概念 。通过从无穷级数部分和的子序列的角度， 把级数求和的问题
∞ n －1 n =1
故由定理 3 ， 重排后的新级数的和为
注： 可将例 3 推广到一般情形， 重排级数 （ － 1 ） 项， 然后如此 交 替， 可 证 所 得 新 级 数 的 和 为 ln2 +
1 的各项， 使先依次出现 p 个正项， 再出现 q 个负 n
1 p ln 。 （ 只要考察新级数的部分和数列的 子列 2 q
1
引言及预备知识
无穷级数的敛散性以及求和是高等数学中一个重要而有趣的研究课题， 长期以来备受人们的关注。
很多学者做了大量工作， 对某些具有特殊通项表达式的无穷级数的敛散性或求和总结出一些规律性的解 1］－ ［ 4］ ） 。本文从无穷级数部分和的子序列的角度， 法（ 见文献［ 把级数求和的问题转化数列极限的计算 给出了一种判断级数敛散性的方法， 并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的 问题， 某些应用。 数列 ｛ S n ｝ 的敛散性可由其子列来研究， 并且有一个重要的结论 。 引理 1
［6 ］ 并求出极限 S ， 即可求得级数 a n 的和为 S 。已有文献中， 把这种方法称为子序列方法 。另一方面， 我们 n =1 ∞ ∞
则原级数必 还可从相反角度用子序列方法来判定无穷级数发散 。若能找到级数部分和的一个发散子列， 由定理 3 ， 采用反证法可证得。 发散。于是， n = 1， 2， …） ， 推论 4 ： 若级数 a n 的部分和数列｛ S n ｝ 中存在一个发散子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数， 则
2
主要结果
若 a n 收敛， 则其通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） 。此时， 若部分和数列｛ S n ｝ 的子序列｛ S2n ｝ 收敛于 S ， 注 n =1
∞
S2 n －1 → S － 0 = S ， 意到 S2n －1 = S2n － a2n ， 则当 n → ∞ 时， 这意味着｛ S2n －1 ｝ 也收敛于 S 。再由引理 2 ， 可得 S n 即 a n 收敛， 且其和为 S 。于是有下面定理。 → S， n =1 定理 2 ： 若级数 a n 的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 则 a n 收敛于 S 的充分必要条件是部分和数列｛ S n ｝
n =1 ∞
原级数发散。
3
结论应用
本小节我们给出子序列方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的某些应用 。 例 1 ： 求交错级数 （ － 1 ）
n =1 ∞ n －1
1 的和。 n
解： 原级数 = 1 － 出一个重要的公式
［6 ］
1 1 1 1 1 + － + － + …， 观察后， 考察部分和数列的子列｛ S2n ｝ 的极限。 首先给 2 3 4 5 6 1 1 1 = C + lnn + ε n + + … + n 2 3
证明： 虽然此级数的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 但它的部分和数列的一个子列｛ S3n ｝ 是发散的。 1 1 1 1 1 1 S3n = 1 + + + … + + + … + ） － 2（ 3n 3n 2 3 3 6 = 1 + 1 1 1 2 1 1 + + … + － （1 + + … + ） 2 3 3n 3 2 n 2 （ C + lnn + ε n ） 3
S3n =
k =1
(
1 1 1 + － 4k － 3 4k － 1 2K
)
63
= S' 4n + = S' 4n + = S' 4n + = S' 4n +
1 1 1 + + … + 2n + 2 2n + 4 4n 1 1 1 1 （ + + … + ） 2 n +1 n +2 2n 1 （ C + ln2 n + ε2n － C － lnn － ε n ） 2 1 1 3 （ ln2 + ε2n － ε n ） → ln2 + ln2 = ln2 （ 当 n → ∞ 时） 。 2 2 2 3 ln2 。 2
［5 ］
Baidu Nhomakorabea
： 数列｛ S n ｝ 收敛的充分必要条件是｛ S n ｝ 的任一子列都收敛， 且有相同的极限。
特别地， 由引理 1 ， 可得 引理 2 ： 数列｛ S n ｝ 收敛于 S 的充分必要条件是｛ S n ｝ 的两个子列｛ S2n ｝ 和｛ S2n －1 ｝ 都收敛于同一极限。 此时， 称两个子列｛ S2n ｝ 和｛ S2n －1 ｝ 为互补子序列。 可将引理 2 推广到一般情形。 ｛ S pn －1 ｝ ， 定理 1 ： 数列｛ S n ｝ 收敛于 S 的充分必要条件是 ｛ S n ｝ 的 p （ p 是某个正整数） 个子列 ｛ S pn ｝ ， …｛ S pn － （ p －1） ｝ 都收敛于同一极限 S 。 p = 2 时， 证明 当 p = 1 ， 结论显然成立； 下面证明当 p = 3 时结论成立， 其他情形类似可证。由引理 1 “必要性” “充分性” 。 ｛ S n ｝ 的 3 个子列｛ S3n ｝ ， ｛ S3 n －1 ｝ ， ｛ S3n －2 ｝ 都收敛于同一极 可知 显然， 只要证明 由条件， “ε － N” 于是， 由数列收敛的 定义可得， 对任意的 ε ＞ 0 ， 存在一个充分大的正数 N ＞ 0 ， 当 n ＞ N 时， 限 S， 此时 n = 3 k 或 n = 3 k － 1 或 n = 3 k － 2 ， 从而有 | S － Sn | ＜ ε， 故证得数列｛ S n ｝ 收敛于 S 。
= C + ln3 n + ε3n － （ C + ln （ n + 1 ） + ε n － 1 ） → ln3 + 1 （ 当 n → ∞ 时） 。 所以， 由定理 3 知， 原级数收敛， 其和为 S = ln3 + 1 。 例 3 ： 在例 1 的基础上， 求证将级数 （ － 1 ）
n =1 ∞ n －1
1 = ln2 重排后的新级数 n
1 +
1 1 1 1 1 1 1 1 － + + － + + － + … 3 2 5 7 4 9 6 11 3 ln2 。 2
的和为
证明： 易知重排后的新级数通项 a n → （ 当 n → ∞ 时） ， 并考察其部分和数列的子列｛ S3n ｝ 的极限。方 ∞ 1 n －1 S' 4n → ln2 。 便起见， 记级数 （ － 1 ） 的部分和为 S' n ， 显然， 当 n → ∞ 时， 观察新级数， 并由（ 1 ） 式可得 n =1 n
｛ S （ p +q） n ｝ （ n = 1 ， 2， …） 即可证明， 3］ ）。 具体证明见文献［ 例 4 ： 证明调和级数
∞ n =1
1 1 1 1 + + … + = 1 + + … 发散。 2 3 n n
证明： 考察调和级数的部分和数列｛ S n ｝ （ 此时 p = 1 ） ， 并由（ 1 ） 式知 1 1 1 Sn = 1 + + + … + 2 3 n = C + lnn + ε n → + ∞ （ 当 n → ∞ 时， 并注意到 lnnn → + ∞ ） 故调和级数发散。 例 5 ： 证明级数 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 － + + － + + － + … 发散。 2 3 4 5 6 7 8 9
解： 易知此级数通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 观察原级数后， 考察部分和数列的子列｛ S3n ｝ 的极限。 对于 原级数， 并由（ 1 ） 式可知 S3n = 1 + = 1 + 1 1 1 1 1 1 －－ （ + + … + － － … － ） 3n n +1 2 3 2 3 1 1 1 1 1 1 + + … + + + … + － 1） － （1 + 3n n +1 2 3 2 3
= C + ln2 n + ε2n － C － CLNN － ε n = ln2 + ε2n － ε n → n2 （ 当 n → ∞ 时） 。 所以， 由定理 3 知， 原级数收敛， 其和为 S = ln2 。 例 2 ： 计算 1 + 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + （ － ） + + + （ － ） + + + （ － ） + …。 2 3 2 4 5 6 3 7 8 9 4
给出了一种判断级数敛散性的方法， 并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断 转化为数列极限的计算问题， 级数敛散性中的某些应用 。 关键词： 无穷级数； 极限； 部分和序列； 子序列方法； 敛散性 作者简介： 陈文生（ 1978 － ） ， 男， 江苏宿迁人， 宿迁高等师范学校数学系讲师， 从事基础数学的教学与研究 。 中图分类号： O173 文献标识码： A 文章编号： 2095 － 0063 （ 2010 ） 06 － 0062 － 03 收稿日期： 2010 － 05 － 16
［ 参 考 文 献］
［ 1］ Bart Braden． Calculating sums of infinite series［ J］ ． Amer． Math． Monthly， 1992 ， 99 （ 7 ） ： 649 － 655． ［ 2］ Boas R． P． ． Partial sums of infinite series and how they grow［J］． Amer． Math． Monthly， 1977 ， 84 ： 237 － 258． ［ 3］ 孙珍， J］ ． 数学杂志， 2009 ， 29 （ 4 ） ： 490 － 292． 李寿贵， 张爱丽． 关于无穷级数求和的研究［ ［ 4］ 朱文辉， J］ ． 大学数学， 2005 ， 21 （ 3 ） ： 114 － 116． 张亭． P 级数的求和［ ［ 5］ 华东师范大学数学系 ． 数学分析： 上册［ M］ ． 2 版． 北京： 高等教育出版社， 1991 ： 43． ［ 6］ 裴礼文． 数学分析中的典型问题与方法［M］． 北京： 高等教育出版社， 1993 ： 19 － 20 ， 338 － 340．
= C + ln3 n + ε3n － =
1 1 C + ln3 + lnn + ε3n － ε n → + ∞ （ 当 n → ∞ 时， 并注意到 lnn → + ∞ ） 3 3
故原级数发散。 通过上述几例我们可以看到， 本文所给的子序列方法不仅能够判定级数敛散性， 而且能进一步求出一 些特殊无穷级数的和 。与现有常用的级数敛散判别法相比， 在某些情况下这种方法则更具有优越性。这 是因为， 子序列方法是从收敛级数的部分和数列的角度， 把级数求和的问题转化为我们所熟知的数列极限 的计算问题的。应该说它是对现有方法的一个很好的补充 。
： 1 + （ 1）
且 ε n → 0 （ 当 n → ∞ 时） 。 其中 C = 0 ． 577216 … 称为 Euler 常数， 对于原级数， 并由（ 1 ） 式可知 1 1 1 1 1 1 S2n = 1 + + + … + － 2（ + + … + ） 2n 2n 2 3 2 4 = 1 + 1 1 1 1 1 1 － （ + + … + + + … + ） n 2n 2 3 1 2
n =1 n =1 ∞ ∞ ∞
2， …） 收敛于 S 。此时， m S = S。 的子列｛ S2n ｝ （ n = 1 ， a n = S lin→ ∞ 2n
n =1
∞
进一步， 可将定理 2 推广到一般情形： 定理 3 ： 若级数 a n 的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 则 a n 收敛于 S 的充分必要条件是部分和数列｛ S n ｝
n =1 n =1 ∞ ∞
62
n = 1， 2， …） 收敛于 S 。 的一个子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数， p = 2 时， 证明： 当 p = 1 ， 结论显然成立； 只证当 p = 3 时结论成立，其他情形类似可证。由引理 1 可 “必要性”显然。由条件 S3n → S 及 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， S3 n －2 = S3 n － a3 n － a3 n －2 ， 知 注意到 S3n －1 = S3n － a3n ， S3n －2 → S （ 当 n → ∞ 时） ， 从而 S3n －1 → S ， 于是， 由定理 1 可知 S n → S ， 再由级数收敛的定义 a n 知收敛于 S 。 n =1 充分性得证。 定理 3 给出了判断无穷级数收敛以及求和的一种方法 。对于一般级数， 由极限有关知识易验证通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， n = 1， 2， …） ， 因此只要能找到其部分和的某一个收敛子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数，
第 30 卷
第6 期
大庆师范学院学报 JOURNAL OF DAQING NORMAL UNIVERSITY
Vol． 30
No． 6
2010 年 11 月
November， 2010
关于无穷级数求和的研究及应用
陈 文 生
（ 宿迁高等师范学校 数学系， 江苏 宿迁 223800 ）
摘
要： 无穷级数是高等数学教学中的一个重要概念 。通过从无穷级数部分和的子序列的角度， 把级数求和的问题
∞ n －1 n =1
故由定理 3 ， 重排后的新级数的和为
注： 可将例 3 推广到一般情形， 重排级数 （ － 1 ） 项， 然后如此 交 替， 可 证 所 得 新 级 数 的 和 为 ln2 +
1 的各项， 使先依次出现 p 个正项， 再出现 q 个负 n
1 p ln 。 （ 只要考察新级数的部分和数列的 子列 2 q
1
引言及预备知识
无穷级数的敛散性以及求和是高等数学中一个重要而有趣的研究课题， 长期以来备受人们的关注。
很多学者做了大量工作， 对某些具有特殊通项表达式的无穷级数的敛散性或求和总结出一些规律性的解 1］－ ［ 4］ ） 。本文从无穷级数部分和的子序列的角度， 法（ 见文献［ 把级数求和的问题转化数列极限的计算 给出了一种判断级数敛散性的方法， 并且给出了这种方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的 问题， 某些应用。 数列 ｛ S n ｝ 的敛散性可由其子列来研究， 并且有一个重要的结论 。 引理 1
［6 ］ 并求出极限 S ， 即可求得级数 a n 的和为 S 。已有文献中， 把这种方法称为子序列方法 。另一方面， 我们 n =1 ∞ ∞
则原级数必 还可从相反角度用子序列方法来判定无穷级数发散 。若能找到级数部分和的一个发散子列， 由定理 3 ， 采用反证法可证得。 发散。于是， n = 1， 2， …） ， 推论 4 ： 若级数 a n 的部分和数列｛ S n ｝ 中存在一个发散子列｛ S pn ｝ （ p 是某个正整数， 则
2
主要结果
若 a n 收敛， 则其通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） 。此时， 若部分和数列｛ S n ｝ 的子序列｛ S2n ｝ 收敛于 S ， 注 n =1
∞
S2 n －1 → S － 0 = S ， 意到 S2n －1 = S2n － a2n ， 则当 n → ∞ 时， 这意味着｛ S2n －1 ｝ 也收敛于 S 。再由引理 2 ， 可得 S n 即 a n 收敛， 且其和为 S 。于是有下面定理。 → S， n =1 定理 2 ： 若级数 a n 的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 则 a n 收敛于 S 的充分必要条件是部分和数列｛ S n ｝
n =1 ∞
原级数发散。
3
结论应用
本小节我们给出子序列方法在无穷级数求和以及判断级数敛散性中的某些应用 。 例 1 ： 求交错级数 （ － 1 ）
n =1 ∞ n －1
1 的和。 n
解： 原级数 = 1 － 出一个重要的公式
［6 ］
1 1 1 1 1 + － + － + …， 观察后， 考察部分和数列的子列｛ S2n ｝ 的极限。 首先给 2 3 4 5 6 1 1 1 = C + lnn + ε n + + … + n 2 3
证明： 虽然此级数的通项 a n → 0 （ 当 n → ∞ 时） ， 但它的部分和数列的一个子列｛ S3n ｝ 是发散的。 1 1 1 1 1 1 S3n = 1 + + + … + + + … + ） － 2（ 3n 3n 2 3 3 6 = 1 + 1 1 1 2 1 1 + + … + － （1 + + … + ） 2 3 3n 3 2 n 2 （ C + lnn + ε n ） 3