直线与圆锥曲线的位置关系课件.ppt

(2)依题意，c＝1，|PF1|＝73，可得 xp＝23，
5
75
∴|PF2|＝3，又由椭圆定义得 2a＝|PF1|＋|PF2|＝3＋3＝4，a＝2.
∴b2＝a2－c2＝3，所以曲线 E 的标准方程为x42＋y32＝1；
(3)在(1)、(2)的条件下，直线 l 与椭圆 E 相交于 A、B 两点，若 AB 的中点 M 在曲线 C 上，求直线 l 的斜率 k 的取值范围．
(2)设曲线 C 与曲线 E 相交于第一象限点 P，且|PF1|＝73，求曲线 E 的标准方程；
解:(1)设动圆圆心的坐标为(x，y)(x＞0).因为动圆在 y 轴右侧与 y 轴相
切，同时与圆 F2 相外切，所以|CF2|－x＝1，∴ x－12＋y2＝x＋1，化 简整理得 y2＝4x，曲线 C 的方程为 y2＝4x(x＞0)；
M－3＋4km4k2，3＋3m4k2代入 y2＝4x，
16k3＋4k2
整理得 m＝－ 9 ，
②
将②代入①得 162k2(3＋4k2)＜81，令 t＝4k2(t＞0)，则 64t2＋192t－81 ＜0，∴0＜t＜38.∴－ 86＜k＜ 86且 k≠0.
(方法二)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 的中 点 M 的坐标为(x0，y0)，
规律方法 1 1.在第(2)问方法一中，根据 Δ＞0 求 t 的范 围，进而去求 k 的取值范围，这是求解的关键．
2．涉及弦的中点与直线的斜率问题，可考虑“点差法”， 构造出 kAB＝yx11－－yx22和 x1＋x2，y1＋y2，整体代换，求出中点或 斜率，体现“设而不求”的思想．
对点训练 设抛物线过定点 A(－1,0)，且以直线 x＝1 为准线． (1)求抛物线顶点的轨迹 C 的方程； (2)若直线 l 与轨迹 C 交于不同的两点 M，N，且线段 MN 恰被
两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝_1_＋__k_2_|x_2_－__x_1|_＝ 1＋k12
|y2－y1|.
1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
韦达定理
2p
抛物线的焦点弦长：
AB
x1
x2
p
sin2
,或者
AB
y1
y2
p
2p cos2
弦的倾斜角
1．直线 y＝kx－k＋1 与椭圆x92＋y42＝1 的位置关系为( A ) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定
3x21＋4y12－12＝0，
将 A，B 的坐标代入椭圆方程中，得
两式相
3x22＋4y22－12＝0，
减得 3(x1－x2)(x1＋x2)＋4(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴yx11－－yx22＝－34xy00，
∵y20＝4x0，∴直线 AB 的斜率 k＝yx11－ －yx22＝－136y0， 由(2)知 xp＝23，∴y2p＝4xp＝83，∴yP＝±236， 由题设－236＜y0＜236(y0≠0)，∴－ 86＜－136y0＜ 86， 即－ 86＜k＜ 86(k≠0)．
3
3
23
43
A.16 B. 8
C. 3
D. 3
6．(2014·课标全国卷Ⅱ改编)设 F 为抛物线 C：y2＝3x 的
焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C 于OAB 的面积为
．
考向一 [156] 中点弦、弦长问题 已知 F1(－1,0)、F2(1,0)，圆 F2：(x－1)2＋y2＝1，一动圆 在 y 轴右侧与 y 轴相切，同时与圆 F2 相外切，此动圆的圆心轨迹为 曲线 C，曲线 E 是以 F1，F2 为焦点的椭圆． (1)求曲线 C 的方程；
一、直线与圆锥曲线的位置关系的判这里断指椭圆，双曲线，
抛物线，一般不包括
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一圆个变量得到关 于 x(或 y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或 ay2＋by＋c＝0)．
1．当 a≠0，可考虑一元二次方程的判别式 Δ，有 ①Δ＞0⇔直线与圆锥曲线 相交 ； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 相切 ； ③Δ＜0⇔直线与圆锥曲线 相离．
(3)解:(方法一)设直线 l 与椭圆 E 交点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B 的中点
M 的坐标为(x0，y0)，
设直线 l 方程为 y＝kx＋m(k≠0，m≠0)，
与x42＋y32＝1 联立得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
由 Δ＞0 得 4k2－m2＋3＞0，
①
由韦达定理得 x1＋x2＝－3＋8km4k2，∴x0＝－3＋4km4k2，y0＝3＋3m4k2，将
2．当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一元一次方程，则直线 l 与圆锥 曲线 E 相交，且只有一个交点，
①若 E 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是 平行； ②若 E 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系 是 平行或重合．
二、圆锥曲线的弦长
设斜率为 k(k≠0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A、B
直线与椭圆的另一个交点为 M，与 y 轴的交点为 B，若|AM|
＝|MB|，则该椭圆的离心率为
．
5．(2013·山东高考)抛物线 C1：y＝21px2(p＞0)的焦点与双曲线 C2：x32－
y2＝1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处的切线
平行于 C2 的一条渐近线，则 p＝( D )
2．若直线 y＝kx 与双曲线x92－y42＝1 相交，则 k 的取值范围是( C )
A.0，23
B.－23，0 C.－23，23 D.－∞，－23∪23，＋∞
3．已知倾斜角为 60°的直线 l 通过抛物线 x2＝4y 的焦点，
且与抛物线相交于 A、B 两点，则弦 AB 的长为
．
4．过椭圆ax22＋by22＝1(a＞b＞0)的左顶点 A 且斜率为 1 的
8.9直线与圆锥曲线的位置关系
[考情展望] 1.考查直线与圆锥曲线方程的联立，根与系数的关系，整体代 入和设而不求的思想. 2.通过研究直线与圆锥曲线的位置关系，考查圆锥曲线中的弦 长、中点弦问题，最值与范围问题，定点与定值等问题. 3.高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函 数、方程、不等式、平面向量等知识在解决问题中的综合应用．