一类连续正交投影算子的表示定理

一类连续正交投影算子的表示定理

摘要: 本文首先给出单一正交投影算子使用矩阵或线性变换的表示方法，然后在此基础上给出一类连续正交投影算子的表示定理.

关键词: 投影算子；投影矩阵；正交投影算子；正交投影矩阵；幂等矩阵

The representation theorem of a class of continuous orthogonal projection operator

Han Jiping (051114308)

（Xiaogan College School of Mathematics and Statistics ，Hubei Xiaogan 432000） Abstract: The paper first gives a single operator using the orthogonal projection matrix or linear transformation method ，and then on this basis is given for a class of continuous orthogonal projection operator of the representation theorem.．

Keywords: Projection operator; Projection matrix; Orthogonal projection operator; Orthogonal projection matrix; Idempotent matrix

0 引言

投影算子及投影矩阵有着广泛的应用，如在实际问题中出现的求最小平方偏差，一些规划问题中的理论也涉及到投影方法.因此对投影算子尤其是正交投影算子的描述和刻画显得由为重要，对它的研究具有理论上的意义.

考虑实数域上的一个n 维线性空间W ，W L M =⊕.x W ∀∈有分解式

x y z =+，其中,y L z M ∈∈则称y 叫做x 沿M 到L 的投影.如果用δ表示由W 到L 上的映射，则δ称为W 在L 上的投影变换或投影算子.若W 是内积空间，且

M L ⊥=，则δ称为W 在L 上的正交投影变换或正交投影算子.

对于W 的一组标准正交基12,,n e e e …，，这里我们设

1(1,0,,0)T ε=，2(0,1,,0)T ε=，…，(0,0,,1)T n ε=

取L 的一组标准正交基1r e e L ,,，L ⊥的一组标准正交基1,,r n e e +L .令

11()r V e e =,,，21(,)r n V e e +=…，

我们设V 为基12,,n e e e …，到基12,,n e e e …，的过渡矩阵，则有12(,)V V V =.δ在基

12,,n e e e …， 下的矩阵为000r I 骣÷

ç÷ç÷

ç÷桫

，于是δ在标准正交基12,,n e e e …，下的矩阵为 1112112

00(,)0

00

0T

r

r T

T V I

I P V V V V VV V -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝⎭

另一方面，由于12(,)V V V =为正交矩阵，故有1122T T

I VV V V =+，于是又有

22T P I V V =- .由此本文首先给出单一正交投影子的表示方法,如用矩阵或线性变换表示.然后探讨和分析了一类特殊的由有限个正交投影算子(连续正交投影算子)的表示方法.

1 基本概念

定义 1[1] 矩阵A 称为正交投影矩阵，如果它是对称幂等阵，即A 满足

T A A =，2A A =.

定义 2 设V 是n 维欧氏空间，η为V 中某一单位向量，定义线性变换

()(,)δαααηη=-，我们称δ为V 在子空间η⊥上的正交投影算子.

定义 3 V 是n 维欧氏空间，其子空间有12,,(),k S S S k N +∈…，i V S δi 为在上的正交投影变换，称12k δδδδ=…为连续正交投影算子或连续正交投影变换.

定义 4[2] 设F 是一个数域，m n A F ⨯∈ ，若有矩阵n m X F ⨯∈使AXA A =，则

X 称为A 的一个{1}-逆，记为A -.

2 定理及证明

定理 1 V 是n 维欧氏空间，1,ααn …，为V 的任意一组标准正交基. （1）若n n A R ⨯∈为正交投影矩阵，则存在唯一线性变换σ在上述基下对应的矩阵为A ，且

Im V =(σ)Ker ⊕(σ)

σ是V 在Im()σ上的正交投影变换；

（2）若,V S T T S ⊥=⊕=，σ是V 在S 上的正交投影变换，它在上述基下矩阵为A ，则A 为正交投影矩阵.

证明 （1）对于给定实矩阵A ，存在唯一线性变换σ在上述基下对应的矩阵为A .

V ξ∀∈，令1ησξ=，2ηξσξ=-A 是幂等的知2σσ=，于是

1Im()ησ∈，2()Ker ησ∈

且由12ξσξξσξηη=+-=+，故有Im()ker()V σσ=+，σ是V 在Im()σ上的投影变换.

Im()

(),0Ker V ασσβσβασα∀∈∃∈==则有和．于是有20σασβσβα====，

即0α=，故{}Im()ker()0σσ=.故Im()ker()V σσ=⊕.

下证σ是正交投影变换，即证ker()Im()σσ⊥=.记T A 对应线性变换记为τ，易知T A 为幂等的，由上述证明知τ为V 在Im(),τ上的投影变换Im()()V Ker ττ=⊕且.

由A 是对称的有τσ=，于是有()er()Ker K τσ=.由已知我们有

11(,)(,)A σαααα=n n …，…，，11(,)(,)T A ταααα=n n …，…，

设()1T y V ηαα∀∈１n m ＝（，…，），…，y ，则有 ()T

A σηαα=１n 1n （，…，）y ，…，y 对11(,)(,)()T n x Ker ξαατ∀=∈n ……，x ，10(,)0T T A x τξ==n 即，…，x ， 于是()(,)()T

T A σηξ=1n y ，…，y 1(,)T x n …，x ()T A =1n y ，…，y 1(,)0T x =n …，x .

Im()ξσ⊥∈故，因此有()Im()Ker τσ⊥⊂.

11(,)(,)Im()T n x ξαασ⊥∀=∈n 若……，x ，则有

110(,)((,,))(,

,)T T T n n A y y x x σηξ==

11(,

,)(,)T T n n y y A x x =…，

知1(,)0T T A x =n …，x .故有0(),Ker τξξτ=∈，即 Im()()Ker στ⊥⊂故． 于是 Im()()()Ker Ker στσ⊥== . 故σ是正交投影变换. （2）若,V S T T S ⊥=⊕=，σ是V 在S 上的正交投影变换，则有 [4]Im(),()S T Ker σσ==

在S 中取一组基1,ββm …， T 1,m n ββ+中取一组基…，.则1,m ββ…,，

1,m n ββ+…，构成V 的一组基，于是有