高等数学(下)第1章 多元函数微分法及其应用

所表示的曲面称为椭球面，其中a,b,c为椭球面的.5
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②当A，B，C中有一个为零时，平面的一般方 程表示平行于某条坐标轴的平面．如当A=0时，方 程变为By+Cz+D=0，表示平行于x轴的平面，如图 1.6所示．
图1.6
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③当A，B，C中有两个为零时，平面的一般方 程表示平行于某坐标平面的平面．如当A=B=0时， 平面的一般方程变为Cz+D=0，该方程所表示的平 面既平行于x轴又平行于y轴，因此，方程Cz+D=0 表示平行于xOy面的平面，如图1.7所示
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x,y,z满足如下方程
显然不在曲面上的点M(x,y,z)，其坐标一 定不满足方程，故该方程就是曲线C绕z轴旋转而 由方程可知，yOz平面上的曲线C：
绕z轴旋转而形成的旋转曲面，其方程是在C 的平面坐标方程中z保持不变，而将y换成 即 可．
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例1.6 求yOz平面上的抛物线y2=z绕z轴旋转 而成的旋转曲面的方程 解 在方程y2=z中，保持z不变，将y换作， 故旋转曲面的方程为 x2+y2=z 称其为旋转抛物面（见图1.15）
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如图1.14所示，当曲线C绕z轴旋转时，C上每 一点的轨迹都是一个圆，这些圆的圆心都在z轴上 其全体就构成旋转曲面．在旋转曲面上任取一点 M(x,y,z)，则M必定在某一个圆周上.假设M所在的 圆为曲线C上的点N(0,y1,z1)所留下的几何轨迹，则 M与N之间的坐标有关系：竖坐标相等：z=z1；它 们到z轴的距离相等：
图1.15
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例1.7 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周 所得的旋转曲面称为圆锥面．两直线的交点称为圆 锥面的顶点，两直线的夹角α 称圆锥面的半 顶角。试建立顶点在坐标原点，旋转轴为z轴，半 顶角为α的圆锥面方程．
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图1.16
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1.1.4 二次曲面 在空间解析几何中，三元方程F(x,y,z)=0表示 一张空间曲面.若方程是一次的，它表示的是一次 曲面也称平面；若方程是二次的，则它表示的曲面 为二次曲面.这里介绍几种常见的二次曲面. (1)椭球面 方程
图1.7
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例1.3 求过点(2,3,1)与y轴的平面方程． 解 因为所求平面通过y轴,设其方程为 Ax+Cz=0 又点(2,3,1)在平面上，因此2A+C=0即 C=-2A 代入所设方程并化简,得所求平面方程为(见图1.8)
图1.8
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例1.4 设平面与x轴、y轴、z轴分别相交于点 P(a,0,0)，Q(0,b,0)和R(0,0,c)，其中a,b,c全不为零 解 设所求平面的方程为 Ax+By+Cz+D=0 将P，Q及R点的坐标代入方程,此方程称为平面的 截距式方程，而a，b，c分别称为平面在x轴、y轴 、z轴上的截距，如图1.9所示
图1.9
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图1.9
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（2）柱面 定义2 设有动直线5 沿定曲线0 作平行于 定直线d移动而形成的曲面称为柱面,动直线L称 为柱面的母线，，定曲线C称为柱面的准线。 显然，柱面由它的准线和母线完全确定。 选择适当的坐标系，使柱面的母线平行于 坐标轴．如果柱面的母线平行于z轴，准线是 xOy面上的曲线C，其方程为F(x,y)=0，则该曲 面如图1.10所示，且该曲面方程为（注意其中 不含z坐标）
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图 1.4
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例1.1 建立球心在点M0(x0,y0,z0)，半径为R的 球面的方程 解 设M(x,y,z)是球面上任意一点，则|MM0|=R ，代入点的坐标，依题意可得
两边平方得 令
则
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1.1.3
几种常见曲面及其方程
(1) 一般地，三元一次方程Ax+By+Cz+D=0表示 空间中的一个平面，称为平面的一般方程. ①当D=0时,平面的一般方程变为 Ax+By+Cz=0,表示通过原点的平面，如图1.5所示.
图1.2
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（2）空间两点间的距离 空间上任意两点之间的距离为（见图1.3)
图1.3
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1.1.2 曲面与方程 定义1 如果曲面∑与方程F(x,y,z)=0之间存在如 下关系： ①曲面∑ 上的点的坐标都满足方程F(x,y,z)=0 ②不在曲面 ∑上的点的坐标都不满足方 F(x,y,z)=0. F(x,y,z)=0是曲面∑的方程， 而曲面∑称为方程F(x,y,z)=0的图形（见图1.4）
第1章 多元函数微分法及其应用
在上册中讨论的函数都只含有一个自变量， 这种函数称为一元函数. 但是，自然界的客观事 物之间总是相互依赖、相互制约的．这种依赖关 系反映到数量上，则表现为一个变量依赖于多个 变量的关系，涉及多个自变量的函数称为多元函 数．
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1.1 空间直角坐标系与曲面方程 1.1.1 空间直角坐标系 (1)空间直角坐标系的建立 空间直角坐标是确定点在空间位置的一种形 式，它是依据空间的点与一组有序的数组x,y,z之 间存在一一对应关系而给出的．
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由两条坐标轴所决定的平面称为坐标面，它们 两两相互垂直，分别简称为xOy面、yOz面、zOx 面．3张坐标面把空间分为8个部分，每个部分称为 卦限，分别用大写罗马数字Ⅰ，Ⅱ，…，Ⅷ表示， 如图1.1所示．
图1.1
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设M是空间任意一点，过M点分别作3张与x轴 、y轴、z轴垂直的平面，这3张平面与x轴、y轴和 z轴的交点分别为P，Q，R（见图1.2）．
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图1.13
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(3) 定义3 平面曲线C绕该平面内的一条定 直线l旋转而生成的曲面称为旋转曲面，平面曲线C 称为旋转曲面的母线，定直线l称为旋转曲面的轴 ． 设C是yOz平面内的一条曲线，其方程为
将曲线C绕z轴旋转一周得到一张旋转曲面(见图 1.14），求这个旋转曲面的方程．
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图1.14
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图1.10
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例1.5 下面的方程表示怎样的曲面？
解（１）x2+y2=a2 缺z坐标，该方程表示母线平行于z轴 的圆柱面，如图1.11所示
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图1.11
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（2）x2=2y 缺z坐标，该方程表示母线平行于z轴的 抛物柱面，如图1.12所示
图1.12
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（３） 缺z坐标，该方程表示母线平行于z轴的椭圆柱 面. （4） 缺y，z坐标，该方程表示母线平行于y轴的双 曲柱面，如图1.13所示