高中数学集合的概念课件人教版必修一.ppt1.1.1

如果a是集A的元素，记作: a ∈ A 如果a不是集A的元素，记作： a ∉A
例如，用A表示“ 1~20以内所有的整数”组成的集合，则有
4.常见的数集有哪些？分别要怎样来表示？
数集 自然数集(非负整数集) 正整数集 符号
N N* 或N+ Z Q R
整数集
有理数集 实数集
知识探究（一）集合的表示方法 问题1：通过我们对课本的预习，我们知道，课本为我们提供了 哪几种集合表示方法？
Ｂ＝｛ x Z 10 x 20 ｝
用列举法表示为 Ｂ＝ { 11,12,13,14,15,16,17,18,19｝
课堂练习 用适当的方法表示下列集合： （1）绝对值小于3的所有整数组成的集合；
（2）在平面直角坐标系中以原点为圆心，横坐标上的点 组成的集合；
（3）所有奇数组成的集合； （4）由数字1，2，3组成的所有三位数构成的集合.
知识探究（三）
思考1：a 与{a }的含义是否相同？ 思考2：集合{1，2}与集合{（1，2）}相同吗？ 思考3：集合{ y | y x 2 , x R} 与集合 { y x 2 } 相同吗？ 思考4:集合 {( x, y) | y x 2 , x R}11，13，17，19}.
2.互异性
3.无序性
问题4:考察下列集合： （1）不等式2 x 7 3 的解组成的集合； （2）绝对值小于2的实数组成的集合.
思考1：这两个集合能不能用列举法表示? 思考2：如何用数学式子描述上述两个集合的元素特征？ 思考3：上述两个集合还可以怎么表示？ 思考4：这种表示集合的方法叫什么？ 描述法 思考5：描述法表示集合的基本模式是什么？ 用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。 康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1 月6日病逝于哈雷。 康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年 入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获 博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教 授，1879年任教授。 集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的 兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较 完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。
19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的， 是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各 种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和 哲学家的批评与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文 里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到 戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已 成为数学的基础理论。
例2试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1） 方程 x 2 2 0 的所有根组成的集合 ; （2）由大于１０小于２０的所有整数组成的集合
解：（１）设所求集合为Ａ，用描述法表示为
2 x R x 2 0 Ａ＝｛ ｝
用列举法表示为 Ａ＝｛ 2, 2 ｝ （２）设所求集合为Ｂ，用描述法表示为
问题2：用自然语言描述一个集合往往是不简明的，如 “在平面直角坐标系中，抛物线y=x^2上的点”组成的集 合，那么，我们可以用什么方式表示集合呢？
问题 3：(1) 如何表示“地球上的四大洋”组成的集合?
(2) 如何表示“方程(x-1)(x+2)=0的所有实数根”组成的集合?
思考1：这两个集合的元素分别是什么？
2. 若-3 ∈ {a-3, 2a+1, a2+1},求实数a的值.
回顾交流
今天我们学习了哪些内容？
集合的含义
集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
元素与集合的关系： ∊， ∉ 常用数集及其表示 集合的表示法：列举法、描述法
格奥尔格· 康托尔 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德） 德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡 （今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄 国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年 17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于 E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾 去格丁根学习一学期。 1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲 师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。
2
x o
课堂小结
这节课你有什么收获？还有哪些不理解？ 集合的含义 集合的含义 元素的三要素：确定性、互异 性、无序性 自然语言 集合的表示： 字母表示 列举法 描述法
知识结构：
集合的分类
⑴有限集：含有有限个元素的集合．
⑵无限集：含有无限个元素的集合．
⑶空 集：不含任何元素的集合.
1. 求集合{3 ，x , x2-2x}中，元素x应满足的条件。
（第二课时）
2009.9.25
知识回顾：集合的含义 1.我们怎样来理解集合？
我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集).
2.集合中的元素必须具备什么样的特征？
集合中的元素具有三个特征：（1）确定性（2）互异性（3）无序性
3.元素与集合的关系是怎样的？
元素与集合的关系有两种: ∈或 ∉
大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和 数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871 、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列 （即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为 对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴 趣和要求。 1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。 1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数 似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的 估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数 是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分 类的准则。
例1 用列举法表示下列集合：
(1)小于10的所有自然数组成的集合；
一个集合中的元素 的书写一般不考虑 (3)由1~20以内的所有素数组成的集合. 顺序(集合中元素 的无序性). 解：(1)A={0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}. 1.确定性 (2)B={0，1}. (2)方程 x 2 x 的所有实数根组成的集合；
（1）太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋 （2）1,-2
思考2：这两个集合可以分别怎么表示？ （1）｛太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋｝ （2）｛1,-2｝
思考3：上述两种表示集合的方法是什么？
列举法
思考4：列举法表示集合的基本模式是怎么样的？ 把集合中的元素一一列举出来,并用大括号｛｝括起来表示.
（注意：元素与元素之间用逗号隔开）
在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起, 康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877
说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发 表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在 1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连 续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。 康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身 的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。 康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在 1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分 为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。 他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少 的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证 明。 在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数 较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将 连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始 终未能给出。