纳米电子学-纳米电子器件输运理论

第7章纳米电子器件输运理论

7.1 引言

7.2 隧穿理论

7.2.1 隧穿的波函数描述方法

7.2.2 隧穿时间

7.2.3 隧穿电流

7.2.4 量子化电荷隧穿

7.1 引言

电子器件的性能决定于其中电子的输运特性，而电子输运特性与材料的能带结构密切相关。在一个特定的能带结构中，载流子运动可能包括多种复杂的物理过程。为了计算器件的IV特性，需要建立器件的输运模型。模型应当包括两个方面信息。

(1)特定器件材料的能带结构与参数

能带结构决定于组成器件的特定材料以及特定的材料界面和结构。例如，在异质界面处，能带会产生偏移和变化(如弯曲)。载流子的输运模型需要尽量精确的载流子有效质量等由能带结构所决定的材料参数。

(2)适当形式的输运理论

该理论必须能够模拟器件的主要输运过程。在模型中总是要进行简化、近似和数值离散化，但是，这些处理不能违反基本的物理规律和量子力学原理。可是，在实际上，有些简化和近似常常危及某一原理。按照第一性原理的观点，纳米器件一般来说是一个开放量子系统，在其中电子起码可以在某一维方向运动。而且是与时间相关的。同时，输运具有时间不可逆性和耗散性。输运过程中还存在多体作用。器件与周围的环境既存在粒子交换也存在能量交换。所以电子器件作为一个物理系统与简单的孤立量子系统有很大的区别，后者可以具有守恒的哈密顿量，对薛定谔方程加上适当的边界条件，相对较容易求解。而适用于这种开放器件系统的易子计算的通用多体形式的量子理论尚没有建立起来。对于特定器件的某些性质的计算可以不用通用的多体理论。实际应用中广泛采用各种近似和简化的模型口针对主要输运过程的模型，可以使计算简化。最近，共振隧穿器件（Resonant Tunneing Device，RTD）模拟工作已取得明显进展，模拟结果在估计RTD的量子效应方面和应用于器件设计方面均获

得丰硕的成果〕。

量子器件的全面模拟问题需要用高级的量子输运理论，可能包括相当复杂的多带有效质量理论的形式，它应该是建立在密度矩阵基础上的量子统计理论。本书仅在量子输运的简化概念性框架下，给出各种简单纳米结构量子输运描述方法。这样的理论框架可以解释大多数纳米结构巾的介观输运现象。如共振隧穿，单电子现象。但是，这些现象的一些细微特征，如，普适电导涨落电导峰幅值和间距则需要更高级的动力学理沦，如非平衡格林函数方法予以计算。

人们已发展了各种不同层次的量子器件输运模型并已取得一定的成功。建立精确的量子器件模型源于一个基本的动机—探索介观输运规律并对器件优化设计提供指导。这一点对于构思新型器件和促使实用器件的发展是必不可少的。另外，与纳米制造技术相比，量子输运的理论模拟相对滞后二量子器件的模拟尚没有达到像传统的MOS 场效应管和双极晶体管那样的模拟能力。在这个意义上，在推进纳米电子学进步的时候，量子器件模型可以作为输运理论模拟能力的检验媒介。另一方面，纳米器件的量于输运问题，由于器件具有复杂的材料和结构，其模拟对计算机模拟工具依赖性很强。所以在研究理论模型的同时，还需要加强计算机模型和数值求解方法以及相应软件的研究。

7.2.1 隧穿的波函数描述方法

在波动力学中，概率密度定义为

()()()

,,,r t r t r t

ρ*=ψψ

ψ是与时间相关的薛定谔方程的解。从薛定谔方程出发可以得到概率密度的连续性方程

()()()()()

,-,,,,2e r t r t r t r t r t t

m i ρ**∂⎡⎤

=

∇ψ∇ψ-ψ∇ψ⎣

⎦∂

概率流密度，或者“流”可以写做

()()()()

,,,,2e J r t r t r t r t m i **

⎡⎤

=ψ∇ψ-ψ∇ψ⎣

⎦

1.单矩形对称势垒

如图7. 1所示，包含一个宽度为W=2a 的，嵌人GaAs 中的一层Al x Ga 1-x As ，平面型势垒结构。

只要能带的非抛物线效应可以忽略，就可以采用单一能带有效质量模型系统的波函数，且可以分为相对于势垒的平行部分和垂直部分。所需要求解的包络函数方程为

()()()()

2221,z ,z 22r

eff V z r E r z m z z m *

⎡⎤∂∂--∇+ψ=ψ⎢⎥∂∂⎣⎦

图7.1 单矩形隧穿势垒

其中，z （垂直于势垒）方向的定态方程为

()()()()21z z 2eff V z E z m z z ϕϕ*

⎡⎤

∂∂-+=⎢⎥∂∂⎣⎦

对于图7. 1所示结构.在每个区域可以写出分片连续的解

()---,,,ikz ikz

z z ikz ikz Ae Be z a

z Ce De a z a

Ge Fe z a γγϕ⎧+<-⎪

+-<<⎨⎪+>⎩

式中

()22,m V E m E

k γ**-==

由波函数的标准条件，可得到

()()

121211a a a a z

z

m m ϕϕϕϕ*

*

-

+

-+---+-=-∂∂=

∂∂

式中包括了势垒两边的有效质量，如果进一步假设两边材料的有效质量相等，在x=-a 处，应用边界条件，可以得到

------==ika ika a a

ika ika a a

Ae Be Ce De

ik Ae Be Ce De γγγγγ++⎡⎤⎡⎤--⎣⎦⎣⎦

解出系数之间的关系

()()()()2222ik a

ik a ik a

ik a ik ik e

e A C ik ik B D ik ik e e ik ik γγγγγγγγ------⎡⎤

+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎝⎭⎝⎭⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-⎛⎫⎛⎫⎣⎦⎣⎦ ⎪

⎪⎢⎥⎝

⎭⎝⎭⎣⎦

在z=a 处，可以得到

a a ika ika

a a ika ika

Ce De Ge Fe Ce De ik Ge Fe γγγγγ----+=+⎡⎤⎡⎤-=-⎣⎦⎣⎦

类似的，可以写成如下矩阵方程