正态分布

2014-3-28
(1) ( 4) 0.8413
11
（ 3）
a3 a 3 由 P ( a ) F (a ) 0, 0.2 知 2 2
于是由
a 3 a 3 1 0.2 2 2
1 2
e
y2 2
dy 0
2 2
D(Y ) E (Y ) [ E (Y )] E (Y )
14
续
D(Y ) E (Y )
2
y 2 f ( y)dy
2 y
2 0



y
2
1 2
y2 e 2 dy
1 2
y2 e 2 dy
y2 换元，令 t 2 2 2t 0
20
例:
设某地区成年女子的身高 X ~ N (1.58,0.052 ) 在这一地区随机选100名成年女子， 求100名女子平均身高超过1.60的概率.
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21
解：
X ~ N (1.58,0.05 )
2
设100名女子的身高为 X 1 , X 2 ,..., X 100 ，则 它们独立同分布于 N (1.58,0.052 )，平均身高
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r表示X与Y的相关系数
R( X , Y ) Cov( X , Y ) E ( X Y )
* * * *
X 1 Y 2 E ( )( ) 2 1 x 1 y 2 ( )( ) f ( x , y )dxdy
C1 , C 2 ,..., C n为常数，则
Z C i X i ~ N ( C i i , C )
i 1 i 1 i 1 2 i 2 i
n
n
n
即：独立的正态分布线性组合仍然服从 正态分布．
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Z C i X i ~ N ( C i i , C i2 i2 )
1 Z X k 由正态分布可加性，有 100 k 1 2 0.05 Z ~ N (1.58, ) 100
只须计算P（Z>1.6）=?
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100
=0
22
§4.3二维正态分布
定义4.3: 设二维随机变量（X，Y）有 如下页的密度函数表达式,
记为
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( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; , ; r )
i 1 i 1 i 1
n
n
n
独立同分布情形的一般结论

随机变量 X 1 , X 2 ,..., X n 相互独立 2 且 X i ~ N ( , ), i 1,2,..., n 则
1 Z X i ~ N ( , ) n i 1 n
n 2
事实上 n 1 1 n E ( Z ) E ( X i ) EX i n n i 1 i 1 2 n n 1 1 D( Z ) 2 D( X i ) 2 DX i n n n i 1 i 1 2014-3-28
得
查表得
3 a 0.8 2
3a 0.84, 2
a 1.32
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例3：设某项竞赛成绩 ~ N(65，100) ，若按参赛
人数的10％发奖，问获奖分数线应定为多少？
解：
设获奖分数线为 x 0 ， 则求使 P { x0 } 0.1 成立的 x0 .
P ( x 0 ) 1 P ( x 0 ) 1 F ( x0 ) x0 65 1 0.1 10 x0 65 0.9 (1.28) 10
即
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x 0 65 1.28, 10

1 2
e t (2t )

1 2 dt

2


1 t 2 e t dt 0
3 ( ) 1 2
15
2
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因为
X Y
从而
E ( X ) E (Y ) D( X ) D(Y )
2 2
可见，正态分布中两个参数的统计意义。
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正态分布的线性性质
X ~ N ( , ), 定理4.3：设随机变量
2
当
b 0 时有，
2 2
Y a bX ~ N (a b , b )
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正态分布的可加性
定理4.4： X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , ),
2 0.975 1 0.95
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例2： 设 ~ N(3，22 ) ，求
(1) P ( 4); (2) P (| | 5); (3) 已知P ( a) 0.2, 求a. 解： (1) P ( 4) 1 P ( 4) 1 F (4)
x 0 77.8
13
故分数线可定为78分.
§4.2 正态分布的数字特征
定理5.2: 设随机变量 X ~ N ( , ), 则X
2
的期望与方差分别为：
E ( X ) , D( X )
证：设 Y
2百度文库
~ N (0,1) ，则有

E (Y )
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y
2
2 1 2 2
且 X与Y相互独立，则
Z X Y ~ N ( 1 2 , )
2 1 2 2
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推广
定理4.5：设随机变量 X 1 , X 2 ,..., X n 相互 独立，且 X i ~ N ( i , i2 ), i 1,2,..., n
ya F ( ) b y a 1 f ( y ) F( y ) f ( ) b b
1 e 2 b ( y a b ) 2 2 2 b 2
b
,
y R
31
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（2）当b<0时， ya } F ( y ) P { y } P{a b y } P {
)
2

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补充习题
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30
2 N ( , ), a b (b 0).求 f ( y ). 练习一 :设 ~
1 解: f ( x ) e 2 设的分布函数F ( y ). ( x )2 2 2
,
x R
（1）当b>0时， ya } F ( y ) P { y } P{a b y } P {
解：(1)由表一知 (1.96)=0.975. 所以 P ( 1.96) (1.96) 0.975 (2) P ( 1.96) (1.96)
1 (1.96) 1 0.975 0.025
(3) P (| | 1.96) 2(1.96) 1
(1) X的分布函数为 F ( x ) (
( 2) P (a X b) ( b
x


)
)

) (
a
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3. 例子
例1： 设 ~ N(0，1 )，求
(1) P ( 1.96); (2) P ( 1.96); (3) P (| | 1.96).
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例4.8
例4.8
Z ~ N (0,1) 现计算 E (| Z |)
E (| Z |) | z | f ( z )dz

|z|


1 2
0
e
z2 2
dz 2 z
0

1 2
e
z2 2
dz

2 2
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d (e
z2 2
dt
几何图形：
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5
标准正态分布: =0，=1的特别情形。
简记为 概率密度： ~ N(0，1 )
1 (x ) e 2
分布函数：
x2 2
, x
(x )
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x

1 e 2
t2 2
dt
6
标准正态分布的常用结果
( x ) 1 ( x )
F ( x)

x

1 e 2
x dt
从而， P (a b) F (b) F (a)
b a
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定理4.1
X ~ N ( , ) ，则
2
R
2
1
2
详见Page 104
换元
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二维正态分布独立与不相关等价
在第3章中讲到，独立→不相关, 但是不相关→独立
对二维正态分布来说，独立与不相关等价。
定理4.7: 若
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; , ; r ) 则X与Y
2 1 2 2
(2)
4 3 1 1 (0.5) 2 1 0.6915 0.3085 P (| | 5) P (5 5) F (5) F ( 5) 5 3 5 3 2 2
ya ya ) 1 P { } 1 F ( b b
( y a b ) 2
• 若 ~ N(0，1 )，则
P (| | x) 2( x) 1 ( x 0)
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2. 标准化 (将一般正态分布化为标准正态分布）
( x)( x 0)的函数值见表一( P.292).
将 F(x) 化成 (•): 设 ~ N(，2 )，则
( t )2 2 2
其中 1 0, 2 0, | | 1.
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二维正态的五个参数的意义
定理4.6: 若
则
( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; , ; r )
2 1 2 2
X ~ N ( 1 , ), Y ~ N ( 2 , )
2 1 2 2
可见，二维正态分布前4个参数分别表 示随机变量X，Y的期望和方差 。下面 说明参数r的统计意义:相关系数。
期中考试
时间：11月5日(星期二)下午1:00 地点：1229教室
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第一部分
第四章 正态分布
4.1 正态分布及其密度函数 和分布函数
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2
1. 一般正态分布 定义: 一般正态分布的概率密度：
( x )2 2 2
1 f ( x) e 2
, x
相互独立的充要条件是r=0.
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1 1 1 ( X , Y ) ~ N ( 2,3;4,9; ), Z X Y 2 2 3 求 E (| Z |) 解:由定理4.6, X ~ N (2,4), Y ~ N (3,9), 1 相关系数 r 于是 2 Cov( X , Y ) r DX DY 3 1 1 E ( Z ) EX EY 0 2 3 1 1 1 1 D( Z ) EX EY 2 Cov( X , Y ) 1 4 9 2 3
其中 ，(>0)为常数，称 服从参数为，2 的
正态分布， 简记为 ~ N(，2 ).
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3
~ N(，2 )的密度函数的几何图形：
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4
~N(，2 )的分布函数：
F ( x)
x 1 e 2 ( t )2 2 2
2 1 2 2
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( X , Y ) ~ N ( 1 , 2 ; , ; r )
2 1 2 2
二维正态分布的概率密度为:
f ( x, y) 1 2 1 2 1 r 2 e


1 x 1 2 ( x 1 )( y 2 ) y 2 2 [( ) 2 ( ) ] -2r 2 2(1 r ) 1 1 2 2