2019年高考数学题型全归纳：解三角形考点归纳(含答案)

高考数学精品复习资料
2019.5
解三角形
【考题回放】
1．设,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边，则()2
a b b c =+是2A B =的
（ ）
（A ）充分条件 （B ）充分而不必要条件 （C ）必要而充分条件 （D ）既不充分又不必要条件 2．在ABC ∆中，已知C B
A sin 2
tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A
② 2sin sin 0≤
+<B A
③ 1cos sin 22=+B A
④ C B A 222sin cos cos =+
其中正确的是（ B ） （A ）①③
（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③
3．在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2
tan 2tan 32tan 2tan C
A C A ++的值为__________3.
4．如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（ ） A ．111A B C ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形
C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形
D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形
5．己知A 、C 是锐角△ABC 的两个内角，且tanA, tanC 是方程x 2
-3px+1-p ＝0
(p≠0，且p∈R)，的两个实根，则tan(A+C)=_______，tanA,tanC 的取值范围分别是___ _ 和__ ___，p 的取值范围是__________3；(0，3)；(0，3)；［
3
2
，1) 6．在ΔABC 中，已知6
6
cos ,364=
=
B AB ，A
C 边上的中线BD=5，求sinA. 【专家解答】 设E 为BC 的中点，连接DE ，则DE//AB ，且3
6
221=
=
AB DE ， 设BE=x 在ΔBDE 中可得2222cos BD BE ED BE ED BED =+-⋅∠，
x x 6636223852⨯⨯++
=，解得1=x ，3
7-=x （舍去） 故BC=2，从而3
28
cos 2222=
⋅-+=B BC AB BC AB AC ， 即3212=
AC 又630sin =B ，故247sin 10
A =
，1470
sin =A 【考点透视】本专题主要考查正弦定理和余弦定理．
【热点透析】三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧 学生需要掌握的能力：
(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；
(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘
【范例1】【文】在△ABC 中，若tanA ︰tanB ＝22b a :，试判断△ABC 的形状．
解析 由同角三角函数关系及正弦定理可推得22
sin cos sin cos sin sin A B A
A B B
=， ∵A、B 为三角形的内角，∴sinA≠0，sinB≠0．
∴2A＝2B 或2A ＝π－2B ，∴A＝B 或A ＋B ＝2
π
．
所以△A BC 为等腰三角形或直角三角形．
【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边之间关系或角之间关系式，从而得到诸如a 2
＋b 2
＝c 2
， a 2
＋b 2
>c 2
（锐角三角形），a 2
＋b 2
＜c 2
（钝
角三角形）或sin(A －B)＝0，sinA ＝sinB ，sinC ＝1或cosC ＝0等一些等式，进而判定其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索．
【范例2】 【文】在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，227
4sin cos 22
B C A +-=. (1)求角A 的度数；
(2)若a=3，b+c=3，求b 和c 的值. 解析 2
7
(1)4sin cos 2180,:22
B C A A B C +-=++=︒由及得
2227
2[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5
2
1
4cos 4cos 10,cos ,
2
0180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒
即
222
22222(2):cos 211
cos ()3.
222
312
3: 2 :.
221
b c a A bc
b c a A b c a bc bc b c b b a b c bc bc c c +-=
+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得代入上式得由得或 【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛. 【范例3】已知△ABC 的周长为6，,,BC CA AB 成等比数列，求 （1）△ABC 的面积S 的最大值； （2）BA BC 的取值范围．
解析 设,,BC CA AB 依次为a ，b ，c ，则a+b+c=6，b²=ac．
在△ABC 中得2222221
cos 2222
a c
b a
c ac ac ac B ac ac ac +-+--==≥=,
故有03
B π
<≤．又6,22
a c b
b +-=≤
=从而02b <≤．
（１）22111sin sin 2sin 2223
S ac B b B π
=
=≤⋅⋅
=max S = （２）22222
()2cos 22a c b a c ac b BA BC ac B +-+--===
22
2(6)3(3)272
b b b --==-++．
02,b <≤ 218BA BC ∴≤<．
【点睛】 三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元．主变元是解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的．
【变式】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c, △ABC 的外接圆半径R=3，且满足
B
C
A B C sin sin sin 2cos cos -=
. (1) 求角B 和边b 的大小；
(2) 求△ABC 的面积的最大值。

解析 (1) 由
B
C
A B C sin sin sin 2cos cos -=
整理得sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB ∴sin(B+C)= 2sinAcosB ∴sinA =2sinAcosB ∴cosB=21 ∴B=3
π
∵ b=2RsinB ∴b=3 (2)∵ABC ∇S =
)3
2sin(sin 33sin sin 3sin 212A A C A R B ac -==π
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-=
21)62sin(233πA ∴当A=
3
π
时, ABC ∇S 的最大值是
4
3
9 ． 【点睛】三角函数的最值问题在三角形中的应用
【范例4】某观测站C 在城A 的南20˚西的方向上，由A 城出发有一条公路，走向是南40˚东，在C 处测得距C 为31千米的公路上B 处有一人正沿公路向A 城走去，走了20千米后，到达D 处，此时C 、D 间距离为21千米，问还需走多少千米到达A 城？
解析 据题意得图02，其中BC=31千米，BD=20千米，CD=21千米，∠CAB=60˚． 设∠ACD = α ，∠CDB = β ．在△CDB 中，由余弦定理得：
7
1
202123120212cos 222222-=⨯⨯-+=⋅⋅-+=BD CD BC BD CD β，
7
3
4cos 1sin 2=
-=ββ． ()CDA CAD ∠-∠-︒=180sin sin α ()β+︒-︒-︒=18060180sin
()14
3
523712173460sin cos 60cos sin 60sin =
⨯+⨯=
︒-︒=︒-=βββ． 在△ACD 中得15143
52
3
21143560sin 21sin sin =⨯=⋅︒=⋅=
αA CD AD ． 所以还得走15千米到达A 城．
【点晴】 运用解三角形的知识解决实际问题时，关键是把题设条件转化为三角形中的已知元素，然后解三角形求之．
1．在直角三角形中，两锐角为A 和B ，则sinA·sinB( B )
（A ）.有最大值
21和最小值 （B ）.有最大值2
1
但无最小值
（C ）.既无最大值也无最小值 （D ）.有最大值1但无最小值 2．已知非零向量AB 与AC 满足(
).0AB AC BC AB
AC
+
=且
1
..2
AB AC AB AC =则ABC ∆为（ D ）
（A ）等边三角形 （B ）直角三角形
（C ）等腰非等边三角形 （D ）三边均不相等的三角形 3．△ABC 中，3sinA+4cosB=6，3cosA+4sinB=1，则∠C 的大小是 （ A ） （A ）
6π （B ）56π （C ）6π或56π （D ）3π或23
π 4.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为( A ) (A)arccos
215- (B)arcsin 215- (C)arccos 251- (D)arcsin 2
5
1- 5. 已知a+1，a+2，a+3是钝角三角形的三边，则a 的取值范围是 . （0，2） 6．已知定义在R 上的偶函数)(x f y =在区间),0[+∞上单调递增,若,0)2
1
(=f
ABC ∆的内角A 满足,0)(cos <A f ,则A 的取值范围是 ___ ]2,3(ππ),3
2(ππ
【文】在ABC ∆中，..C 的对边分别为.b .。

（1） 若a,b,c 成等比数列，求f(B)=sinB+3cosB 的值域。

（2） 若a,b,c 成等差数列，且A-C=
3
π
，求cosB 的值。

解析 (1) ∵ac b =2
, ac c a 22
2
≥+ 2
1
222cos 222=-≥-+=ac ac ac ac b c a B
当且仅当c a =时取等号, 3
0π
≤<B ∵f(B)=sinB+3cosB=)3
sin(2π
+
B
∵
3
23
3
π
π
π
≤
+
<B ∴)(B f 的值域为[]
2,3 (2) ∵,2b c a =+∴ sinA+sinC=2sinB ∵B C A C A -=+=-ππ
,3
∴232B A -=
π C=23B -π ∴sin(232B -π)+sin(2
3B -π)=2sinB
展开,化简,得 2cos 2sin 2*22cos 3B B B = , ∵02
cos ≠B
, ∴ 432sin =
B ∴ cosB=8
5
2sin 212
=-B 8．【文】在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，且满足274cos cos 2()22
A B C -+= （１）求角大小；
（２）若3b c +=，当取最小值时，判断ABC ∆的形状． 解析（１）
A B C π++=，
2
27
4cos cos 2()2(1cos )cos 22cos 2cos 322
A B C A A A A ∴-+=+-=-++=， 212cos 2cos 02A A ∴-+
=． 1
cos 2
A ∴=， 0A π<<， 60o A ∴=．
（２）由余弦定理222
cos 2b c a A bc
+-=，得 222bc b c a =+-．
2229()39393(
)24b c a b c bc bc +∴=+-=-≥-=， 3
2
a ∴≥． 所以的最小值为32，当且仅当3
2
b c ==时取等号．此时ABC ∆为正三角形．。