高中数学 3.2函数模型及其应用课件 新人教A版必修1
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第三章 函数的应用
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3.2 函数模型及其应用
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3.2.2 函数模型的应用实例
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课时学案 课时作业
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课时学案
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题型一
给出函数模型的问题
例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000 元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)
f(x)<60 000－100×400<25 000，所以当x＝300时，f(x)的最大值
为25 000，即当月产量为300台时，所获得利润最大，最大利润
为25 000元．
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探究 1 解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际 问题转化成相应的函数来解决．函数模型的应用，一方面是利用 已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利 用所得函数模型解释有关现象．对某些发展趋势进行预测，在用 函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意 充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量．
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________；
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②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 ________小时后，学生才能回到教室．
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【解析】 ①药物释放过程中，室内每立方米空气中的含
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【思路】 由题目可获取以下主要信息：①原用电单价为 0.52 元/kwh；②换装分时表后，分段计费，峰时段 0.55 元/kwh，谷时 段 0.35 元/kwh；③该家庭平均月用电量为 200 kwh.
解答本题可先求出原来用电的费用，再设出峰时段的用电量 建立不等式求解．
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【解析】 ①原来电费 y1＝0.52×200＝104(元)． ②设峰时用电为 x kwh，电费为 y. 则 y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤0.9 y1， 即 0.55x＋70－0.35x≤93.6， 则 0.2x≤23.6，x≤118. 答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kwh.
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A．3.50 分钟 C．4.00 分钟
B．3.75 分钟 D．4.25 分钟
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【解析】 先把三组实验数据代入函数关系式，解方程确定 关系式，再由二次函数配方法求函数取最大值时的条件．
根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5) 分别代入函数关系式，联立方程组得 00..78＝ ＝91a6＋ a＋3b4＋ b＋c，c， 0.5＝25a＋5b＋c，
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思考题 2 为了预防甲流感，某学校对教室采用药熏消毒法 进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关 系式为 y＝(116)t－a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息， 回答下列问题：
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【解析】 (1)月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，那
么f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400， 60 000－100x，x>400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000，所以当x＝
300时，f(x)有最大值为25 000；当x>400时，f(x)是减函数，且
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消去 c 化简，得79aa＋ ＋bb＝ ＝0－.10，.3，
解得 ab＝ ＝－1.50，.2， c＝－2.
所以
p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－125t＋21265＋4156－2＝－
1 5
t－1452＋1136，所以当 t＝145＝3.75 时，p 取得最大值，即最佳加
工时间为 3.75 分钟．
药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点
少 800 副时才不亏本．
【答案】 D
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(2)(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加 工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)， 如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可 以得到最佳加工时间为( )
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思考题 1 (1)某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)
的关系式为 y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂
为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200 副
B．400 副
C．600 副
D．800 副
【解析】 由 5x＋4 000≤10x，解得 x≥800，即日产手套至
＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中x是仪器的月产量． 80 000，x>400. (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为
多少元？(总收益＝总成本＋利润)
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【思路】 根据已知公司总收益＝总成本＋利润，所以利润 ＝总收益－总成本，然后根据分段函数 R(x)求出分段函数 f(x)， 分别求出函数 f(x)在各段内的最大值，再进行比较从而求得 f(x) 的最大值．
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探究 2 用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意， 把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：
①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实 际背景，为解题打开突破口．
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言， 用数学式子表达数字关系．
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③数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行 检索，从而认定或构建相应的数学模型．
来自百度文库
【答案】 B
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题型二 根据条件建立函数模型 例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后， 峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh，谷时段(晚 上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月 用电量为200 kwh的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?
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3.2 函数模型及其应用
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3.2.2 函数模型的应用实例
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课时学案 课时作业
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题型一
给出函数模型的问题
例1 某电子公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000 元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数R(x)
f(x)<60 000－100×400<25 000，所以当x＝300时，f(x)的最大值
为25 000，即当月产量为300台时，所获得利润最大，最大利润
为25 000元．
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探究 1 解决实际问题，首先在审清题意的基础上，将实际 问题转化成相应的函数来解决．函数模型的应用，一方面是利用 已知函数模型解决问题；另一方面是建立恰当的函数模型，并利 用所得函数模型解释有关现象．对某些发展趋势进行预测，在用 函数模型解决实际问题的过程中，涉及复杂的数据处理，要注意 充分发挥信息技术的作用，简化过程、减小计算量．
①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的函数关系式为________；
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②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫克以下 时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 ________小时后，学生才能回到教室．
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【解析】 ①药物释放过程中，室内每立方米空气中的含
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【思路】 由题目可获取以下主要信息：①原用电单价为 0.52 元/kwh；②换装分时表后，分段计费，峰时段 0.55 元/kwh，谷时 段 0.35 元/kwh；③该家庭平均月用电量为 200 kwh.
解答本题可先求出原来用电的费用，再设出峰时段的用电量 建立不等式求解．
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【解析】 ①原来电费 y1＝0.52×200＝104(元)． ②设峰时用电为 x kwh，电费为 y. 则 y＝x×0.55＋(200－x)×0.35≤0.9 y1， 即 0.55x＋70－0.35x≤93.6， 则 0.2x≤23.6，x≤118. 答：这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为 118 kwh.
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A．3.50 分钟 C．4.00 分钟
B．3.75 分钟 D．4.25 分钟
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【解析】 先把三组实验数据代入函数关系式，解方程确定 关系式，再由二次函数配方法求函数取最大值时的条件．
根据图表，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5) 分别代入函数关系式，联立方程组得 00..78＝ ＝91a6＋ a＋3b4＋ b＋c，c， 0.5＝25a＋5b＋c，
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思考题 2 为了预防甲流感，某学校对教室采用药熏消毒法 进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与 t 的函数关 系式为 y＝(116)t－a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息， 回答下列问题：
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【解析】 (1)月产量为x台，则总成本为20 000＋100x，那
么f(x)＝－12x2＋300x－20 000，0≤x≤400， 60 000－100x，x>400.
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－12(x－300)2＋25 000，所以当x＝
300时，f(x)有最大值为25 000；当x>400时，f(x)是减函数，且
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消去 c 化简，得79aa＋ ＋bb＝ ＝0－.10，.3，
解得 ab＝ ＝－1.50，.2， c＝－2.
所以
p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－15t2－125t＋21265＋4156－2＝－
1 5
t－1452＋1136，所以当 t＝145＝3.75 时，p 取得最大值，即最佳加
工时间为 3.75 分钟．
药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，则设函数为y＝kt(k≠0)，将点
少 800 副时才不亏本．
【答案】 D
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(2)(2014·北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒 数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率 p 与加 工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 p＝at2＋bt＋c(a，b，c 是常数)， 如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可 以得到最佳加工时间为( )
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思考题 1 (1)某厂日产手套总成本 y(元)与手套日产量 x(副)
的关系式为 y＝5x＋4 000，而手套出厂价格为每副 10 元，则该厂
为了不亏本，日产手套至少为( )
A．200 副
B．400 副
C．600 副
D．800 副
【解析】 由 5x＋4 000≤10x，解得 x≥800，即日产手套至
＝400x－12x2，0≤x≤400， 其中x是仪器的月产量． 80 000，x>400. (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获得利润最大？最大利润为
多少元？(总收益＝总成本＋利润)
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【思路】 根据已知公司总收益＝总成本＋利润，所以利润 ＝总收益－总成本，然后根据分段函数 R(x)求出分段函数 f(x)， 分别求出函数 f(x)在各段内的最大值，再进行比较从而求得 f(x) 的最大值．
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探究 2 用函数有关的知识建立数学模型，难点是理解题意， 把实际问题数学化，建立数学模型一定要过好三关：
①事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实 际背景，为解题打开突破口．
②文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言， 用数学式子表达数字关系．
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③数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行 检索，从而认定或构建相应的数学模型．
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【答案】 B
精选ppt
题型二 根据条件建立函数模型 例2 某市原来民用电价为0.52 元/kwh.换装分时电表后， 峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55 元/kwh，谷时段(晚 上九点到次日早上八点)的电价为0.35 元/kwh.对于一个平均每月 用电量为200 kwh的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的 10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kwh?