1.4简单晶体结构

第四节
简单晶体结构
本节主要内容: 1.2.1 几种晶格的实例 1.2.2 密堆积、配位数和致密度
1.2.1 几种晶格的实例
(1)一维原子链 一维单原子链
a
x na x
一维双原子链
0 x a
b
a
(2)二维
( a)
( b)
a2 a1
a4
a3 a6
a8 a5 a7
aj
ai
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
内部原 子数 面上原 子数 棱上原子 数 顶角上 原子数
1 1 1 N ni n f ne nc 2 4 8
1 1 N 6 8 4 2 8
ak
v 致 密 度: V
aj
ai
3
4 2 4 π 3 4
球的体积取得尽可能大，以使最近邻的球相切，我们把一个晶
胞中被硬球占据的体积和晶胞体积之比称为致密度(堆积比率或 最大空间利用率)。
例1：求面心立方的致密度. 设晶格常量为a，原子半径为R，则
ak
V a3 4 v N πR 3 3
4 R 2a
单胞体积
单胞中原子所占体积 N是单胞中原子个数
同。
每个原胞包含1个格点，每个单胞包含4个格点。
基元由一个Cl-和一个Na+组成。 Cl-的坐为
1 1 1 +的坐标为 Na (0,0,0) , , ， 2 2 2
NaCl型结构 ①构成——两套相同的fcc套构而成(位移0.5a)。 ②结构 —— 面心立方结构。 Cl- 和 Na+ 分别组成一套 fcc, 均为布拉菲格子，即结点是面心立方的布拉菲格子，每 个结点中含有两个离子(Cl-和Na+)。氯化钠型结构不是简
3a 4
4
NaCl
Na+ 4
Cl4
11 1 1 11 (000) ( 2 2 0) (0 2 2 ) ( 2 0 2 )
1 11 1 1 ( 0 0) (00 1 ) ( ) ( 00) 2 2 22 2 2
a 2
6
Diamond
Graphite
Silicon
CsCl晶体
简立方
面心立方
体心立方
六方密排
线上，相对的面上A原子的排列互相平行,三组相 对面上A原子的排列互相垂直
七、 密堆积、配位数和致密度
1.配位数(coordination number)
在布拉维格子中，离某一格点最近的格点，称为该格点的 最近邻(nearest neighbour),格点周围最近邻数称为该格子的 配位数.常用符号 z 表示。 它可以描述晶体中粒子排列的紧密程度，粒子排列越紧密， 配位数越大。
2
OⅡ
a1 ai
钛酸钡晶胞、原胞示意图
(e)--钨结构(A-15 结构 ) 两个B原子和6个A原子各组成简立方。 一个晶胞包含2个B原子和6个A原子。 B --钨结构由8个子晶格套构而成。 AA A 在立方晶胞的顶角和体心上是B原子，A原子位 A A A 于6个面上，每个面上有两个原子，都在面的中 B
a2
aj
ak
a1
ai
a3



平均每个单胞包含2个格点。[1+8*(1/8)=2]
1 3 原胞的体积 Ω a 1 a 2 a 3 a 2


V 2
复式格子(complex crystal lattice)
(a)金刚石结构(diamond,简称：DIA)
c
c
金刚石结构是由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/4 的长度套构而成,其单胞为面心立方。由面心立方单胞的中心 到顶角引8条连线，在互不相邻的4条连线的中点各加一个原子 就得到了金刚石晶格结构。
立方而是面心立方。
③晶胞的选取 ——可以氯离子或钠离子为主，选取一个
面心立方晶胞。晶格常数为a。
④原胞的选取 ——如果以氯离子为顶点选取原胞，则原 胞当中包含一个钠离子。反之已然。
Cl
Na

ak
aj
ai
NaCl晶胞结构示意图
Na
Cl

a1
a2
a3
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(c)氯化铯结构
金刚石结构属面心立方，每个单胞包含4个格点。
金刚石结构每个原胞包含1个格点,基 元由两个碳原子组成,位于（0,0,0）和
1 1 1 , , 4 4 4
处
所以，单胞包含4个格点，8个原子 (b)氯化钠结构
c
c
氯化钠结构由两个面心立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。
Cl-和Na+分别组成面心立方子晶格。 其单胞为面心立方。 氯化钠结构属面心立方。 氯化钠的原胞选取方法与面心立方简单格子的选取方法相
①构成 ——由五个简立方格子套构而成。 Ba、Ti和三个 不同的O各构成一简立方。 ②结构——简立方结构。是复式格子。
③晶胞的选取——以Ba为晶胞的八个角，Ti处在晶胞的
中心，六个晶面上各有一个O，且对面上的O相同，为一
组。
④原胞的选取——和晶胞一样。
Ba
OⅠ
a3 ak
OⅢ
Ti
aj a
a1 a i
单胞包含1个格点。 原胞的体积与单胞体积相同
c
a2 a j
b
a
a3 ak
Ωa
3
(b)面心立方(face-centered cubic，简称 fcc )
a a1 jk 2 a a2 ik 2 a a3 i j 2
ai
ak
a1
aj
a2 a3


有12个最近邻，配位数为12
基元由两个原子组成，一个位于
2 1 1 (0,0,0)，另一个原子位于 , , 3 3 2 2 1 1 即: r a b c 3 3 2
(2)立方密积 (见放映动画） 第一层：每个球与6个球相切，有6个 空隙，如编号为1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1，3，5空位中心。 第三层：占据2，4，6空位中心， 按ABCABCABC· · · · · · 方式排列，形 成面心立方结构，称为立方密积。
设大小球半径分别为R和r，且晶格常
量为a，当大小球恰能相切时，
2R r 2 R
2
2
2R r 2 R
2
2
r 2 1 0.41 R r 当 0.41 0.73 时 , R
为氯化钠型结构，配位数为6。 3.致密度： 如果把等体积的硬球放置在晶体结构中原子所在的位置上，
其中A代表二价或一价的金属，B代表四价或五价的金属，在立方晶胞的 顶角上是A，体心上是B，面心上是三组O，OI﹑OII﹑OIII,周围的情况各 不相同。整个晶体是由A﹑B﹑OI﹑OII﹑OIII各自组成的面心立方布喇菲 格子（共5个）套构而成。
钙钛矿结构(钛酸钡BaTiO3结构) 钙钛矿结构主要包括：钛酸钙、钛酸钡、锆酸铅、 铌酸锂、钽酸锂。
(0,0,0)
Cs
ak
Cl
Cl

基元 aj
O
Cs

ai
CsCl晶胞、原胞示意图
(d)钙钛矿结构
Ba O
Ti
钙钛矿的氧 八面体结构
钡、钛和3个氧各组成简立方子晶格，钛酸钡是由5个简立方子晶格套构 而成的。 一个晶胞包含1个钡原子、1个钛原子和3个氧原子。
钙钛矿结构常写成ABO3的形式。
Cs
Cl
于立方体的中心。
设大小球半径分别为R和r，且晶格常 量为a。
2R a 当 时排列最紧密，结构最稳定。 3a 2 R r
Cl
r

3 1 R 0.732R
R

Cs
3a
r 当 0.732 1 时 , R
取配位数为8的氯化铯型结构。 [2] 氯化钠型结构
平均每个单胞包含4个格点。[6*0.5+8*(1/8)=4]
原胞的体积
V 4
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 4


(c)体心立方(body-centered cubic,简称：bcc)
a i jk 2 a a2 i j k 2 a a3 i j k 2 a1
2.密堆积(close-packed) 如果晶体由完全相同的一种粒子组成，而粒子被看作小 圆球，则这些全同的小圆球最紧密的堆积称为密堆积。
(1)六角密积(hexagonal close-packed structure,简写：HCP)
第一层：每个球与6个球相切，有6个空隙， A B 如编号1,2,3,4,5,6。 第二层：占据1,3,5空位中心。 第三层：在第一层球的正上方形成ABABAB· · · · · · 排列方式。 六角密积是复式晶格，其布拉维晶格是简单六角晶格。
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子，其布拉维晶 格为简立方，氯化铯结构属简立方。 每个原胞包含1个格点，每个单胞包含1个格点。基元由一 个Cl-和一个Cs+组成。
Cl 的坐为 1 1 1 + , , ， Cs 的坐标为 2 2 2
12
(W)
(000)
11 1 ( ) 22 2
8
CsCl
(000)
11 1 ( ) 22 2
8
Cl- 1
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子个数 原子在单胞 中的位置 最近邻 配位数 距离
金刚石
8
(000) (
11 1 1 11 ) ( 0 ) 0) (0 22 2 2 22
11 1 33 1 31 3 13 3 ( )( )( ) ( ) 44 4 44 4 44 4 44 4
A B
有12个最近邻，配位数为 12
面心立方结构，两种视角
密堆积特点：结合能低，晶体结构稳定；配位数最大为12。 (3).配位数的可能值 配位数的可能值为：12(密堆积)，8(氯化铯型结构)，6(氯化
钠型结构)，4(金刚石型结构)，3(石墨层状结构)，2(链状结构)。
下面以几个实例来看配位数与球半径的关系。 [1] 氯化铯型和氯化钠型结构两种球的半径之比。 取大球中心为立方体的顶角，小球位
V a3 4 v N πR 3 3
4 R 2a
2 π 6
典型的晶体结构
结构型 单胞中的 原子在单胞 最近邻 原子个数 中的位置 距离 配位数
(Cu)
fcc
4 2
Cs+ 1
bcc
11 (000) ( 0) 22 1 1 11 ( 0 ) (0 ) 2 2 22
2a 2 3a 2 3a 2
固体物理学原胞
维格纳--塞茨单胞
(3)三维
立方晶系(cubic)
ab bc ca
a b c a
取 i , j , k为坐标轴的单位矢量, 则有
a ai, b a j, c ak
单胞的体积:
V a3
c b
a
对于立方晶系又可以分为以下几种情况(简单、体心、面心)： (a)简立方(simple cubic,简称SC)