函数序列和函数项级数的几个基本概念.ppt

n( an an1
1)
nlim
2( 2n 2n
2 1
1)
nlim
n 2n
1
1 2
,
因此当x 1时，原级数发散；
综上，原级数的收敛域为(,1) (1,).
例3.
பைடு நூலகம்
求级数
(1)n (
1
)的收敛域.
n1 n 1 x
解： 由达朗贝尔判别法：
un1( x) n 1 1 (n )
un ( x) n 1 1 x
1 x
(1) 当 1 1, 1 x 1,
1 x
即 x 0或x 2时, 原级数绝对收敛，所以收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1,
1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 当 x 2时,
级数 (1)n 收敛;
第九章 函数列与函数项级数
§9.1 函数序列和函数项级数 的几个基本概念
一、定义
定义9.1 设 u1(x),u2(x), ,un (x), 是定义在[a,b]上的
函数，则称{un(x)}(n 1,2...)为函数序列，简称函数列；
称
un
(
x
)为[a
,
b]上函
数项
级数.
n1
记Sn( x)
n
u k
(
x
二、和函数
定义 在收敛集D内, 定义S( x) un ( x), x D n1
称为该函数项级数的和函数.
注意：函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是
数项级数的收敛问题.
焦点1. un ( x)的收敛集? n1
例2. 求 135( 2n 1) ( 2x )n的收敛域.
n1 2 4 6 2n 1 x2
x)
lim
n
Sn
(
x)是否连续?
可导
可导?
可积
可积?
三、小结
1. 点态收敛； 2. 收敛域和发散域； 3. 函数项级数（或函数序列）的基本问题.
• 习题10.1 • 1，3，4，5
作业
解： 由达朗贝尔比值判别法有，
a
nlim
n
an1
nlim
1.3.5...( 2n 1 )( 2x
2.4.6...2n 1 x
1.3.5...( 2n 2.4.6...(2n
3) 2)
( 1
2x x2
2 )n )n
1
2x 1 x2
,
因此当x 1时，原级数收敛；
而当x 1时，由于
nlim
),
k 1
称{S ( x)}为该级数的部分和序列.
n
定义9.2
若给定x
[a,
b],
且级数
u
(x
)收敛,即
0
n1 n 0
lim
Sn(
x 0
)存在，则称函数项级数
u n
(
x)在x 点收敛， 0
n
n1
否则称 un
(
x)在x 点发散.并相应地称x 点为该函数项级数的
0
0
n1
收敛点或发散点.
收敛点的全体称为该级数的收敛点集或收敛域； 发散点的全体称为该级数的发散域.
n1 n
级数 1 发散;
n1 n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
焦点2.
un ( x)连续, S( x) un ( x)是否连续?
可导
n1
可导?
可积
可积?
焦点3.
S
(
x
)
lim
n
Sn
(
x
)
lnimu1
(
x)
u2
(
x
)
un
(
x
)
转化为函数列Sn( x)的三个等价问题:
Sn
(
x)连续,
S(
若函数项级数 un ( x)在[a,b]上的每一点都收敛，
n1
则
称
u n
(
x
)在[a,b]上收敛.
n1
若记S(x)
un
(
x),显然S(x)的定义域为[a,b].
n1
例1. xn 1 x x2 xn n0
解： 当 x 1时,级数收敛; x 1时,级数发散.
收敛点集:(1,1); 发散点集:(,1][1,).