费米能量或化学势μ
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有！ 就是经典自由电子气体，不幸的是我们是在常
温常压下检验它，所以它表现得很糟
交代一下内容逻辑顺序
金属中的电子是怎样存在着的？
矩形盒子：金属电子论
经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle
原子呢？晶格结构呢？
下一章。。。电子的能带论
1 f (E ) EEF
e kBT 1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数
（费米能量？或）化学势 μ
—— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能
电子的总数
N f ( Ei ) —— 对所有的本征态求和
i
两本书的差别
黄昆：
1 f (E) EEF
结论有多可靠？
晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子
这是一个什么问题？
这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？）
这是一个量子力学问题
e e 1
r ik
rr
i pr rr 1h
V
V
这是一个量子统计（量子多体）问题
凝练的理论问题
出发点（自由）
e kBT 1
电子填充能量
几率
f (EF ) 1/ 2
f (E) 0 f (E) 1
费米分布函数
f (E)
1
E EF
e kBT 1
f (E) 1 f (E) 0
3) 在较低温度时，分布函数在
处发生很大变化
k空间的费米面 的费米面内所有状态均被源自文库子占有 一部分电子被激发到费密面外附近
(
kBT EF0
)kB
。。。
细节
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态
—— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计
—— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
——
的偶函数
附近有显著的值，具有函数特点
N Q (E )( f )dE
E
—— 将
N Q (E )( f )dE
把《统计物理》放旁边
量子统计物理学好没有？
费米子。。。
1 电子的费米统计和比热容
出发点是什么？
经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布
中间推导过程 … …
态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 金属电子论 电子的能带论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米统计 2 电子输运
电子是量子的么？
常温常压下是的，确切来说，~106K以下 都是
像声子那样，有经典模型对应么？
—— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量 总的电子数
引入函数
能态密度 应用分部积分
—— 能量E以下的量子态总数
因为
f
N
Q(E)(
0
E
)dE
N
Q ( E )(
f
)dE
0
E
分布函数
—— 只在
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
回忆态密度
N
(E)
2V
2 2
2m (2
)3/2
E 1/ 2
费米能级 金属中总的电子数 自由电子的能态密度
自由电子的费密能级
EF0
h 2 (3n 2 )2/3
2m
电子的平均能量 —— 平均动能
E Kin
3 5
E
0 F
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量
什么系综？
Hˆ
k
h 2k 2 2m
cˆk
cˆk
主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ）
主要结论
Tr (e ( H N ) ),
1
kBT
1 f (E) EEF
e kBT 1
EF
E
0 F
[1
1
2
2
( kBT
E
0 F
)2 ]
CV
2
N0 2
经典电子论的成就
解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难
按照经典能量均分定理，N个电子的能量 3 N k B T / 2 对热容量的贡献 3 N k B / 2
大多数金属
C E xperim ental V
/ C C lassical V
0 .0 1
量子力学对金属中电子的处理
金属电子论
自由电子模型
—— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用
特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程 —— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的 弛豫时间、平均自由程和热容
以下推导，我们在做一件什么事情？
1 f (E) EEF
e kBT 1
约束：
N f (E)N (E)dE 0
积分方程！
求解积分方程： EF EF T ?
分两步走: (1) T=0; (2) T>0
2. 的确定
之间状态数 之间的电子数 金属中总的电子数
N f (E)N (E)dE 0
—— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
教材page 61，（2. 2. 1）中19/125怎么来的？
e kBT 1
胡安：
f (E)
1
E
e kBT 1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
EF
E
0 F
[1
1
2
2
(
kBT
E
0 F
)2
]
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
T
EF
[1
2 12
( kBT EF
)2 ]
0 EF
费米分布函数
f (E)
1
E EF
温常压下检验它，所以它表现得很糟
交代一下内容逻辑顺序
金属中的电子是怎样存在着的？
矩形盒子：金属电子论
经典理想电子气体：Drude model 量子理想电子气体：Pauli exclusion principle
原子呢？晶格结构呢？
下一章。。。电子的能带论
1 f (E ) EEF
e kBT 1
—— 费米分布函数
物理意义：能量为E的本征态上电子的数目 —— 平均占有数
（费米能量？或）化学势 μ
—— 体积不变时，系统增加一个电子所需的自由能
电子的总数
N f ( Ei ) —— 对所有的本征态求和
i
两本书的差别
黄昆：
1 f (E) EEF
结论有多可靠？
晶格周期性的影响：能带纳入考虑 紧束缚模型观点的能带：s, p, d, f 电子
这是一个什么问题？
这是一个统计物理问题（3d，1d，2d？）
这是一个量子力学问题
e e 1
r ik
rr
i pr rr 1h
V
V
这是一个量子统计（量子多体）问题
凝练的理论问题
出发点（自由）
e kBT 1
电子填充能量
几率
f (EF ) 1/ 2
f (E) 0 f (E) 1
费米分布函数
f (E)
1
E EF
e kBT 1
f (E) 1 f (E) 0
3) 在较低温度时，分布函数在
处发生很大变化
k空间的费米面 的费米面内所有状态均被源自文库子占有 一部分电子被激发到费密面外附近
(
kBT EF0
)kB
。。。
细节
§费密统计和电子热容量
—— 能带理论是一种单电子近似，每一个电子的运动近似看 作是独立的，具有一系列确定的本征态
—— 一般金属只涉及导带中的电子，所有电子占据的状态都 在一个能带内
1. 费密分布函数 电子气体服从泡利不相容原理和费米 — 狄拉克统计
—— 热平衡下时，能量为E 的本征态被电子占据的几率
——
的偶函数
附近有显著的值，具有函数特点
N Q (E )( f )dE
E
—— 将
N Q (E )( f )dE
把《统计物理》放旁边
量子统计物理学好没有？
费米子。。。
1 电子的费米统计和比热容
出发点是什么？
经典理想电子气体Drude模型的问题：比热容不符合实验 泡利不相容原理：从原子级别到固体级别 量子理想电子气体Sommerfeld模型：费米-狄拉克分布
中间推导过程 … …
态密度复习 粒子数密度条件 计算费米能： EF 是温度的函数？ （化学势） 能量，比热的低温行为
固体物理
Solid State Physics
第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章 第八章
晶体结构 晶体的结合 晶格的热振动 金属电子论 电子的能带论 半导体电子论 固体磁性 固体超导
1 电子的费米统计 2 电子输运
电子是量子的么？
常温常压下是的，确切来说，~106K以下 都是
像声子那样，有经典模型对应么？
—— 电子满足泡利不相容原理，每个能量状态上只能容许两 个自旋相反的电子
—— 所有的电子不可能都填充在最低能量状态
电子的费密能量 总的电子数
引入函数
能态密度 应用分部积分
—— 能量E以下的量子态总数
因为
f
N
Q(E)(
0
E
)dE
N
Q ( E )(
f
)dE
0
E
分布函数
—— 只在
—— 取决于费密统计分 布函数和电子的能 态密度函数
回忆态密度
N
(E)
2V
2 2
2m (2
)3/2
E 1/ 2
费米能级 金属中总的电子数 自由电子的能态密度
自由电子的费密能级
EF0
h 2 (3n 2 )2/3
2m
电子的平均能量 —— 平均动能
E Kin
3 5
E
0 F
结论：在绝对零度下，电子仍具有相当大的平均能量
什么系综？
Hˆ
k
h 2k 2 2m
cˆk
cˆk
主要讨论方法和技巧（分 T = 0 和 T > 0 ）
主要结论
Tr (e ( H N ) ),
1
kBT
1 f (E) EEF
e kBT 1
EF
E
0 F
[1
1
2
2
( kBT
E
0 F
)2 ]
CV
2
N0 2
经典电子论的成就
解释金属的特征 —— 电导、热导、温差电、电磁输运等 经典电子论的困难
按照经典能量均分定理，N个电子的能量 3 N k B T / 2 对热容量的贡献 3 N k B / 2
大多数金属
C E xperim ental V
/ C C lassical V
0 .0 1
量子力学对金属中电子的处理
金属电子论
自由电子模型
—— 不考虑电子与电子、电子与离子之间的相互作用
特鲁特(Drude) — 洛伦兹金属电子论 （在2电子输运中介绍） —— 平衡态下电子具有确定平均速度和平均自由程 —— 电子气体服从麦克斯韦 — 玻尔兹曼统计分布规律， 对电子进行统计计算, 得到金属的直流电导、金属电子的 弛豫时间、平均自由程和热容
以下推导，我们在做一件什么事情？
1 f (E) EEF
e kBT 1
约束：
N f (E)N (E)dE 0
积分方程！
求解积分方程： EF EF T ?
分两步走: (1) T=0; (2) T>0
2. 的确定
之间状态数 之间的电子数 金属中总的电子数
N f (E)N (E)dE 0
—— 索末菲在自由电子模型基础上，提出电子在离子产生 的平均势场中运动，电子气体服从费密 — 狄拉克分布 —— 计算了电子的热容，解决了经典理论的困难
原子中的电子能级 → Pauli不相容原理 → Fermi-Dirac分布 那么，金属中的自由电子气呢？ → 费米面！
教材page 61，（2. 2. 1）中19/125怎么来的？
e kBT 1
胡安：
f (E)
1
E
e kBT 1
—— 温度升高 费密能(=化学势)下降
EF
E
0 F
[1
1
2
2
(
kBT
E
0 F
)2
]
—— 化学势 费密能 = 0温化学势
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EF
[1
2 12
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)2 ]
0 EF
费米分布函数
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1
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