函数系数和部分线性模型中的估计问题

函数系数和部分线性模型中的估计问题

【摘要】：部分线性模型和函数系数线性模型的理论、方法和应用近一、二十年来有了迅速的发展。由于它们有着丰富的研究内容和广泛的实际应用范围，因而受到人们的极大重视。本论文主要研究函数系数部分线性模型、比例函数系数线性模型，给出了模型中的参数与未知函数的估计方法，并讨论了这些估计的渐近性质。本论文还讨论了部分线性模型的稳健M-估计。以下是各章内容的简要介绍。第一章简单地叙述了一元非参数回归模型的三类估计方法：局部光滑方法(Localmodellingapproach)，正交级数方法(Orthogonalseriesapproach)和样条方法(Splineapproach)。本论文使用局部光滑方法中的局部多项式方法给出未知函数的估计。第一章还讨论了多元回归模型。这里有一个很困难的问题即维数问题。由于维数的增加使得收敛速度相当慢，且估计极不稳定。在统计上将这一现象叫作“维数祸根”(curseofdimensionality)。为了克服维数祸根，人们已提出各种不同模型来降低维数。本论文为克服维数祸根问题，给出了两个变系数模型：函数系数部分线性模型和比例函数系数线性模型。第一章还回顾了稳健M-估计最近的一些发展情况。本论文讨论了部分线性模型的稳健M-估计。样本的独立假设，为数学和统计处理带来了很多方便，有些时候也是合理的。但是在某些实际问题中，特别在经济数据方面，样本并非是独立的观察值，而是相互依赖的。第一章简单地总结了现有的数据混合相依类型。α-混合相依是混合相依中较弱的一种。很多

随机过程，包括很多时间序列都能够满足它的要求。本论文除了讨论样本是独立的情况，还讨论了样本是α-混合相依的情况。本论文的第二章讨论函数系数部分线性模型。Hastie和Tibshirani(1993)提出了变系数模型或称函数系数模型(varying-coefficientmodelsorfunctional-coefficientmodels)，Y=β_0(X)+β_1(X)Z_1+…+β_p(X)Z_p+ε，其中{β_i(·)，0≤i≤p}是一些未知函数；Y是回归变量；X是q维协变量，Z=(Z_1，…，Z_p)~T 是p维协变量，ε是期望为0的随机误差。它们提出的变系数模型是一个很一般的模型。由于“维数祸根”问题，在q＞1时，这个模型在处理实际问题时不太可行。为此人们往往取q=1，即常数项函数β_0(·)、系数函数β_j(·)(j=1，…，p)均为一元函数，且这些一元函数有相同的自变量。本论文与此不同华东师范大学博士学位论文归00刃给出了常数项函数和系数函数具有不同自变量的变系数模型:Y一。(x)+艺岛(u)几少=l常假其中Y〔R是响应变量，X〔几，数项函数抓·)和系数函数几(.)(，=U任R，Z一+〔，(21，·，吞)T〔卿是协变量;1，…，p)都是从R到R的未知可测函数.设一独立于/。为了识别模”:不妨假设/脚二z，)一我们称这个模型为函数系数部分线性模型(funetional 一eoeffieientpartiallinearmodels)·函数系数部分线性模型是一个比较一般的模型。若对所有的夕=1，…，p，马(.)=几，场是常数，它就是部分线性模型.当叭·)=。时，它就是Cai，Fan和Ya。(2000)提出的变系数回归模型.当对所有的j二1，…，p，巧(.)=0时，它变成了非参数模型.在这个函数系数部分线性模型中，或·)和{巧(·)，1三夕三对有

着不同的自变量，这给它们的估计增加了难度.我们首先对常数项函数叭·)使用局部线性估计方法，给出了它的估计;然后对系数函数肠(.)(，=l，…，p)，通过应用常数项函数的估计，使用局部线性估计方法给出其估计.我们称系数函数的这种估计方法为两阶段估计方法.在数据是独立同分布的情况下，与数据是a一混合相依的情况下，给出了常数项函数0(.)的估计的弱一致性、一致强相合性和渐近正态性，以及系数函数巧(.)(j二l，…，p)的估计的弱一致性与渐近正态性.模拟研究显示，这些估计方法是较为理想的。本论文的第三章讨论比例函数系数线性模型。为克服维数祸根问题，本论文的第三章给出了所有系数函数是同一个函数，但具有不同的自变量的变系数模型:}Y=。(X，饥(x，Z)=Z)+a(X，Z)〔d艺Ca(甲)夕(Xa)Za，其中Y是相应变量;x二(X，，…，Xd)T和z=(21，…，几)T是两个解释变量，x可能依赖于z，也可能不依赖于z;〔独立于x和z，且E(〔)=0，V盯间二1;o(·，·)是从RZd到R的一个可测函数;0(.)是从R到R的一个可测函数;仇(的，。=1，…，d是参数为7的已知函数，守=(7，，…，下)T可能已知也可能未知。为识别模型，不妨假设C，(7)三1。我们称这个模型为比例函数系数线性模型(proportionalfunetional-eoeffieientlinearmodels).华东师范大学博士学位论文归00刃比例函数系数线性模型可以看成是比例可加模型(proportionaladditivemodel的一个推广，即当x=z时，它就变成了比例可加模型:dY=艺Ca(:)。(X。)+。(x)。·进一步，如果d三1，它就变成了非参数模型.对于比例函数系数线性模型，我们利用两步估计

法估计系数函数及其导数.在参数已知的时候，第一步，用局部多项式估计方法，估计系数函数及其导数，【关键词】：变系数模型函数系数部分线性模型比例函数系数线性模型部分线性模型局部多项式方法稳健估计M-估计α-混合相依强一致收敛弱收敛一致收敛渐近正态性

【学位授予单位】：华东师范大学

【学位级别】：博士

【学位授予年份】：2003

【分类号】：O211.67

【目录】：摘要7-14第一章引言14-331.1一元非参数回归模型及其估计方法14-221.2多元非参数回归模型22-281.3稳健估计28-291.4数据的相依性29-301.5本论文的主要内容30-33第二章函数系数部分线性模型33-762.1模型33-352.2估计35-372.3估计的渐近性37-452.4窗宽的选取452.5模拟45-492.6估计的渐近性质的证明49-76第三章比例函数系数线性模型76-1213.1模型76-783.2估计78-813.3估计的渐近性质81-863.4窗宽的选择86-893.5模拟89-1023.6估计的渐近性质的证明102-121第四章部分线性模型的M-估计121-1524.1模型121-1224.2估计122-1234.3估计的渐近性质123-1284.4模拟128-1324.5估计的渐近性质的证明132-152参考文献152-160在读博