计算方法第三章函数逼近与快速傅里叶变换
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间中找一个元素*(x)∈，使f(x)-*(x)在某种意义
下最小.
12
范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引 进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接 推广.
定义2 设S为线性空间，xS，若存在唯一实 数·，满足条件：
(1) x0;当且仅当x＝0时, x=0; (正定性) (2) x=||x, R; (齐次性) (3) x+yx+y, x,yS. (三角不等式) 则称·为线性空间S上的范数，S 与·一起称 为赋范线性空间，记为X.
5
线性无关
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P， 使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0, (3.1)
则称x1,x2,…,xn 线性相关，否则称x1,x2,…,xn 线性无关， 即只有当a1=a2=…=an=0时等式(3.1)才成立.
7
多项式空间
下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其
元素p(x)∈Hn表示为
P(x) an xn an1xn1 a1x a0 (3.2)
它由n+1个系数(a0, a1,…,an)唯一确定. 1,x,…,xn 线性无 关，它是Hn的一组基，故集合
Hn=span{1, x,…,xn}，
且(a0, a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的. 8
连续函数逼近
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性 无关的函数表示，故C[a, b]是无限维的，但它的任一
元素f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使
误差
max f ( x) p( x) f ( x) p( x)
a xb
其中ε为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面
Bn (
f
, x)
n k 0
f
k n
Pk
(
x),
(3.3)
其中Pk
(
x)
n k
x
k
(1
x)n
k
,
使得
lim
n
Bn
(
f
,
x)
f
( x)，在[0,1]上一致成立；
若f ( x) C m[0,1]，则
lim
n
Bn(m
)
(
f
,
x)
f (m)( x).
由(3.3)式给出的Bn(f, x)也是f(x)在[0, 1]上的一 个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
例2 对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式全 体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线性 空间--Hn,称为多项式空间.
例3 所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数全体，按函 数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间– C[a, b],称为连续函数空间. 类似地记Cp[a, b]为具有p 阶连续导数的函数空间.
著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.
9
魏尔斯特拉斯定理
定理1 设f(x)∈C[a, b]，则对任何ε>0，总存在一
个代数多项式p(x) ，使 f ( x) p( x)
在[a, b]上一致成立. （证明略，见书p52有说明.）
10
伯恩斯坦多项式
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确， 先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识。
3
空间定义
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定 关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合 称为空间。
4
空间举例
例1 所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成 实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间.
A
1
maxБайду номын сангаас
1 j n
第3章 函数逼近与快速傅里 叶变换
§3.1 函数逼近的基本概念 §3.2 正交多项式 §3.3 最佳平方逼近
§3.4 曲线拟合的最小二乘法 §3.5 有理逼近 §3.6 三角逼近与快速傅里叶变换 1
§3.1 函数逼近的基本概念
问题的提出 –在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计 算基本初等函数及其它特殊函数；当函数只在有限 点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公 式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a, b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是 函数逼近问题. 第二章讨论的插值法就是函数逼 近的一种.
||
f
||
max
a xb
|
f ( x) |,
b
|| f ||1
| f ( x) | dx,
a
||f
||2 (
b a
f
1
2( x)dx)2 ,
称为 范数 称为1 范数 称为2 范数
15
矩阵的常用范数
对n阶方阵 A （ a ij ) n
n
A
max
1 i n
a ij
j 1
称为A的行范数
n
2
问题的提出
本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的
函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便 于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与f(x)
的误差在某种度量意义下最小”. 函数类A通常是 区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]，称为函
数逼近空间；而函数B通常为n次多项式,有理函数
6
线性空间
若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成的， 即对任意x∈S，都有
x a1 x1 an xn ,
则x1,…,xn称为空间S的一组基, 记为S=span{x1,…,xn}, 并称空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下 的坐标，记作(a1,…,an)，如果S中有无限多个线性无关 元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.
11
一般提法
更一般地，可用一组在C[a, b]上线性无关的函数
集合
i ( x)
n i0
来逼近f(x)∈C[a, b]，元素表示为
(x) a00 (x) a11 (x) ann (x) span(0 (x),1(x),,n (x)) C[a,b]
函数逼近问题就是对任何f(x)∈C[a, b]，在子空
13
向量的常用范数
对Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T, 三种常用范数为：
x
max 1 i n
xi
,
称为 －范数或最大范数,
n
x 1
xi ,
i 1
称为 1－范数,
1
x
2
n i 1
xi2
2
,
称为 2－范数.
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函数的常用范数
类似的对连续函数空间C[a, b], 若f∈C[a, b]可定 义以下三种常用函数的范数
下最小.
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范数与赋范线性空间
为了对线性空间中元素大小进行衡量，需要引 进范数定义，它是Rn空间中向量长度概念的直接 推广.
定义2 设S为线性空间，xS，若存在唯一实 数·，满足条件：
(1) x0;当且仅当x＝0时, x=0; (正定性) (2) x=||x, R; (齐次性) (3) x+yx+y, x,yS. (三角不等式) 则称·为线性空间S上的范数，S 与·一起称 为赋范线性空间，记为X.
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线性无关
定义1 设集合S是数域P上的线性空间，元素 x1,x2,…,xn∈S，如果存在不全为零的数a1,a2,…,an∈P， 使得
a1 x1 a2 x2 ... an xn 0, (3.1)
则称x1,x2,…,xn 线性相关，否则称x1,x2,…,xn 线性无关， 即只有当a1=a2=…=an=0时等式(3.1)才成立.
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多项式空间
下面考虑次数不超过n实系数多项式集合Hn，其
元素p(x)∈Hn表示为
P(x) an xn an1xn1 a1x a0 (3.2)
它由n+1个系数(a0, a1,…,an)唯一确定. 1,x,…,xn 线性无 关，它是Hn的一组基，故集合
Hn=span{1, x,…,xn}，
且(a0, a1,…,an)是p(x)的坐标向量，Hn是n+1维的. 8
连续函数逼近
对连续函数f(x)∈C[a, b]，它不能用有限个线性 无关的函数表示，故C[a, b]是无限维的，但它的任一
元素f(x)∈C[a, b]均可用有限维的p(x)∈Hn逼近，使
误差
max f ( x) p( x) f ( x) p( x)
a xb
其中ε为任意给的小正数，即精度要求. 这就是下面
Bn (
f
, x)
n k 0
f
k n
Pk
(
x),
(3.3)
其中Pk
(
x)
n k
x
k
(1
x)n
k
,
使得
lim
n
Bn
(
f
,
x)
f
( x)，在[0,1]上一致成立；
若f ( x) C m[0,1]，则
lim
n
Bn(m
)
(
f
,
x)
f (m)( x).
由(3.3)式给出的Bn(f, x)也是f(x)在[0, 1]上的一 个逼近多项式，但它收敛太慢，实际中很少使用.
例2 对次数不超过n的（n为正整数）实系数多项式全 体，按多项式加法和数乘构成数域R上的多项式线性 空间--Hn,称为多项式空间.
例3 所有定义在 [a,b] 集合上的连续函数全体，按函 数的加法和数乘构成数域R上的连续函数线性空间– C[a, b],称为连续函数空间. 类似地记Cp[a, b]为具有p 阶连续导数的函数空间.
著名的魏尔斯特拉斯（Weierstrass）定理.
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魏尔斯特拉斯定理
定理1 设f(x)∈C[a, b]，则对任何ε>0，总存在一
个代数多项式p(x) ，使 f ( x) p( x)
在[a, b]上一致成立. （证明略，见书p52有说明.）
10
伯恩斯坦多项式
伯恩斯坦(1912)给出一种构造性证明：伯恩斯坦多项式
或分段低次多项式等.为了在数学上描述更精确， 先要介绍代数和分析中一些基本概念及预备知识。
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空间定义
数学上常把在各种集合中引入某一些不同的确定 关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合 称为空间。
4
空间举例
例1 所有实n维向量集合，按向量的加法和数乘构成 实数域R上的线性空间---Rn,称为n维向量空间.
A
1
maxБайду номын сангаас
1 j n
第3章 函数逼近与快速傅里 叶变换
§3.1 函数逼近的基本概念 §3.2 正交多项式 §3.3 最佳平方逼近
§3.4 曲线拟合的最小二乘法 §3.5 有理逼近 §3.6 三角逼近与快速傅里叶变换 1
§3.1 函数逼近的基本概念
问题的提出 –在数值计算中经常要计算函数值，如计算机中计 算基本初等函数及其它特殊函数；当函数只在有限 点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公 式给出函数的简单表达式，这些都涉及在区间[a, b]上用简单函数逼近已知复杂函数的问题，这就是 函数逼近问题. 第二章讨论的插值法就是函数逼 近的一种.
||
f
||
max
a xb
|
f ( x) |,
b
|| f ||1
| f ( x) | dx,
a
||f
||2 (
b a
f
1
2( x)dx)2 ,
称为 范数 称为1 范数 称为2 范数
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矩阵的常用范数
对n阶方阵 A （ a ij ) n
n
A
max
1 i n
a ij
j 1
称为A的行范数
n
2
问题的提出
本章讨论的函数逼近，是指“对函数类A中给定的
函数f(x)，记作f(x)∈A，要求在另一类简单的便 于计算的函数类B中求函数p(x)∈B，使p(x)与f(x)
的误差在某种度量意义下最小”. 函数类A通常是 区间[a, b]上的连续函数，记作C[a, b]，称为函
数逼近空间；而函数B通常为n次多项式,有理函数
6
线性空间
若线性空间S是由n个线性无关元素x1,…,xn生成的， 即对任意x∈S，都有
x a1 x1 an xn ,
则x1,…,xn称为空间S的一组基, 记为S=span{x1,…,xn}, 并称空间S为n维空间，系数a1,…,an为x在基x1,…,xn下 的坐标，记作(a1,…,an)，如果S中有无限多个线性无关 元素x1,…,xn,…，则称S为无限维线性空间.
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一般提法
更一般地，可用一组在C[a, b]上线性无关的函数
集合
i ( x)
n i0
来逼近f(x)∈C[a, b]，元素表示为
(x) a00 (x) a11 (x) ann (x) span(0 (x),1(x),,n (x)) C[a,b]
函数逼近问题就是对任何f(x)∈C[a, b]，在子空
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向量的常用范数
对Rn上的向量 x＝(x1,x2,…,xn)T, 三种常用范数为：
x
max 1 i n
xi
,
称为 －范数或最大范数,
n
x 1
xi ,
i 1
称为 1－范数,
1
x
2
n i 1
xi2
2
,
称为 2－范数.
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函数的常用范数
类似的对连续函数空间C[a, b], 若f∈C[a, b]可定 义以下三种常用函数的范数