浙大概率论与数理统计课件-数理统计

Yn


E

1 n
n k 1
Xk


1 n

n

,
DYn
D

1 n
n k 1
Xk


1 n2
n k 1
DXk
1 n2
n
2

2
n
由契比雪夫不等式得：P

1 n
n k 1
Xk





1

2 2
n

lim
则对于任意 0,都有：P
X EX


2 2
定理的等价形式为：P
X

EX




1


2 2
证明：仅就X为连续型时证之 设X的概率密度为f x,
则 P X f x dx x
f (x)

x 2
x
贝努里大数定律建立了在大量重复独立试验中事件出现频率的稳 定性，正因为这种稳定性，概率的概念才有客观意义，贝努里大 数定律还提供了通过试验来确定事件概率的方法，既然频率nA/n 与概率p有较大偏差的可能性很小，我们便可以通过做试验确定 某事件发生的频率并把它作为相应的概率估计，这种方法即是在 第7章将要介绍的参数估计法，参数估计的重要理论基础之一就 8 是大数定理。

n
Xi n

lim P
n
Yn x
lim P i1 n
n
x
x
证明略。
1
t2
e 2 dt
2
此定理表明，当n充分大时，Yn近似服从N 0,1.
n
即： X（i 近似）～N (n, n 2 ), i＝1
从而，P(a
则X bn,0.75,
E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又
fn A
X n
而P
0.74

X n
0.76
P X 0.75n 0.01n

1

0.1875n
0.01n 2

1

1875 n
来自百度文库
0.90
( b np ) np(1 p)
( a np ) np(1 p)

由定理5.4,
lim
n
P

a

nA np np(1 p)

b

b a
1
t2
e 2 dt
2
即:nA (近似) ~ N (np, np(1 p)).
11
例2：设某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指 数分布，现随机取得16只，设它们的寿命是相互 独立的,求这16只元件的寿命的总和大于1920小 时的概率。
a

nA np np(1 p)

b

b a
1
t2
e 2 dt,
2
证明：令X i
1 0
第i次试验时A发生 第i次试验时A未发生
则X1, X 2, , X n , 相互独立同分布,Xi ~ b(1, p).
由于nA X1 X 2 X n ,
Pa nA b
n 18750
5
随机变量序列依概率收敛的定义
定义5.1：设随机变量序列X1, X2, X3, ,若存在某常数，
使得 0,均有：lim P n
Xn
0,
则称随机变量序列 X n 依概率收敛于常数，
记为：Xn p 。
6
定理5.2 契比雪夫不等式的特殊情形：
设随机变量序列X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立，
且具有相同的数学期望和相同的方差 2，
作前n个随机变量的算术平均：Yn

1 n
n k 1
Xk
则 0，有：
lim P
n
Yn

lim
n
P

1 n
n
Xk
k 1





1

证明：由于E
n
P

1 n
n
Xk
k 1





1

7
定理5.3 贝努里大数定理
设事件A在每次试验中发生的概率为p，记nA为n次独立重复试验
中A发生的次数, 则

0, 有：lim
P

n
nA n

p




1
证明：利用契比雪夫不等式，因nA bn, p,故：
E

nA n


1 n
E nA
1 np n

p,
D

nA n


1 n2
DnA
1 n2
npq

pq n
于是，

0,
有P


nA n

p




1
pq
n 2
即得：lim
P

n
nA n

p




1
大数定律的重要意义：

n i 1
Xi

b)

(b n ) (a n
n ). n
答案：N (, 2 )
n
10
定理5.5 德莫佛--拉普拉斯定理
设nA为n次贝努里试验中A发生的次数，P A p 0 p 1,

则对任何区间
a,
b，有：lim n
P

数理统 计
1
第五章 大数定律和中心极限定理
关键词： 契比雪夫不等式 大数定律 中心极限定理
2
§1 大数定律
背景 本章的大数定律，对第一章中提出的 “频率稳定性”，给出理论上的论证
为了证明大数定理，先介绍一个重要不等式
3
定理5.1 契比雪夫不等式：设随机变量X具有数学期望E X ,方差D X 2
§2 中心极限定理
背景：
有许多随机变量，它们是由大量的相互独立 的随机变量的综合影响所形成的，而其中每 个个别的因素作用都很小，这种随机变量往 往服从或近似服从正态分布，或者说它的极 限分布是正态分布，中心极限定理正是从数 学上论证了这一现象，它在长达两个世纪的 时期内曾是概率论研究的中心课题。
9
2
f x dx

1
2
x 2 f x dx



DX
2


2 2
4
例1：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A 出现的概率为0.75，试利用契比雪夫不等式估 计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不 小于0.90。
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
定理5.4 独立同分布的中心极限定理
设随机变量X 1
,
X
2
,
, Xn,
相互独立同分布，
E Xi , D Xi 2,i 1, 2,
n
Xi n
则前n个变量的和的标准化变量为：Yn i1 n
思考题：
X

1 n
n i=1
Xi的近似
分布是什么？
x R,有：