简单超静定梁的解法

和弯矩图。 和弯矩图。已知 EI = 5× 3 KN.m2 10
20 KN
m
30KN C
A 4m
B 3m
D 2m
例题 6 -10 图
解：这是一次超 静定问题 A 取支座 B 截面上 的相对转动约束 为多余约束。 为多余约束。 基本静定系为在 B 支座截面上安 置绞的静定梁， 置绞的静定梁， A
20 KN
f BR
B
RB
f Bq + f BR = 0
B
RA
mA
q A q B A B RB
由附录 1V 查得
ql f Bq = 8EI 3 l f BRB = RB 3EI
补充方程为
3 ql R l B =0 8E I 3E I 4
4
（c） ）
f Bq
（d） ） A B
f BR
B
由该式解得
3 RB = ql 8
RB
按悬臂梁的静力平衡方 程求出该梁固定端的 两个支反力（ 两个支反力（图6 -11b） ） 为
RA
mA
q A q B A B RB
（c） ）
RA =
5 ql 8
（d） ）
f Bq
1 2 mA = ql 8
f BR
A B
B
RB
方法二 取支座A处阻止梁转动的约 取支座 处阻止梁转动的约 束为多余约束。 束为多余约束。 代以与其相应的多余反力 偶 mA 得基本静定系 （图6 -12） ） 变形相容条件为
l
(b)
fB =0
根据变形相容条件得 变形几何方程
RA mA
A
q B
RB
图 6 -11
fB =0
RA
mA
q A q B A B RB
f B = f Bq + f BRB
变形几何方程为
f Bq + f BR = 0
B
（c） ）
f Bq
将力与变形的关系代入 变形几何方程， 变形几何方程，得补充 方程。 方程。 （d） ） A B
m
30KN C D 3m 2m
B 4m
20 KN
m
MB
30KN C D
B
θ B'
θ B"
多余反力为分别 作用于简支梁 AB 和 BC 的 B 端处的一对弯矩 A
20 KN
m
30KN C D 3m 2m
B 4m
MB 。 变形相容条件
为，简支梁 AB 的 B 截面转角 和 BC 梁 B 截 面的转角相等。 面的转角相等。 A B C D
(d)
B
18.40
(c)
+ 1.603m
+ 11.64 47.95 31.80
+
25.68
+
23.28
弯曲超静定例题1 弯曲超静定例题
弯曲超静定例题2 弯曲超静定例题
拉杆 AD 的伸长
7qa f Aq = 12EI
4
N a f AN = EI
3
N l l = E A
(b)
D
N 2q
RB
q
RC
C
A
l A1
N
fA
B
补充方程为
3 7qa N l N a = 12EI EI EA
4
由此解得
7qa A N= 12(I l + Aa3)
4
例题 6 -10
所示梁的支反力， 求图 a 所示梁的支反力，并绘梁的剪力图
RB
P B
RA
B
二、求解超静定梁的步骤 以图 6 -11 a 所示抗弯刚度 为 EI 的一次超静定梁说明 超静定梁的解法。 超静定梁的解法。 解出多余约束， 解出多余约束，代之以 约束反力。得到原超静 约束反力。 基本静定系。 定梁的 基本静定系。 如图6 如图 -11中，将B处的约束 中 处的约束 当作多余约束。 当作多余约束。解出后用反力 代替。 RB 代替。 图（b）为 基本静定系。 ） 基本静定系。
f A = l
(b)
D
N 2q
RB
RC
q
C B
A
l A1
f
A
N
N
f Aq + f AN = l
A
2q
q
C B
在例题 6-6 中已 求得
7qa f Aq = 12EI
4
fA
2q
q
C B
f Aq
N
3
根据习题 6-5的答 的答 案推知
N a f AN = EI
f AN
B
C
f Aq + f AN = l
负号表示 B 截面 弯矩与假设相反。 弯矩与假设相反。
B
θ B'
θ B"
由基本静定系的平 衡方程可求得其余 反力 A
32.05
20KN
m
MB
30K N C D
RA = 32.05KN RB = 66.35KN RC = 11.6KN
在基本静定系上绘 出剪力图（ 出剪力图（图C）和 ） 弯矩图（ 弯矩图（图d）。 ）。
A
′′ θB 42 5MB = + EI 3EI
B
θ B'
θ B"
将 θ B' 和 θ B" 代入 θ B'=θ B" 得补充方程 A
20 KN
m
30KN C D 3m 2m
B 4m
1280 4MB 24EI 3EI = 42 5MB + EI 3EI
A
20 KN
m
MB
30KN C D
解得
MB = 31.80KN.m
D
(a) 2q q
C B a 2a
l
A
例题 6 -9图 图
解：这是一次超静定问题。将 AD 杆与梁 AC 百度文库间的连结绞 这是一次超静定问题。 看作多于约束。拉力 为多余反力 为多余反力。 看作多于约束。拉力N为多余反力。基本静定系如图 b 。 A点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于 点。即 点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点 点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于
20 KN m
30KN
θ B'=θ B"
θ B'
θ B"
θ B'=θ B"
由附录1V表中 由附录 表中 查得
3 20×4 MB × 4 θ B' = 24EI 3EI
20 KN
m
30KN C D 3m 2m
A 4m
B
1280 4MB ) = ( + 24EI 3EI
20 KN
m
MB
30KN C D
(a)
q B A
l
mA
q B
l
A
θA =0
请同学们自行完成 ！
图 -12 图 6 6—11
例题 6-9
如图所示, 梁 A C 如图所示 梁的 A 端用一钢杆 AD 与梁 AC
铰接, 在梁受荷载作用前, 内没有内力, 铰接 在梁受荷载作用前 杆 AD 内没有内力 已知梁和杆用同 样的钢材制成, 样的钢材制成 材料的弹性模量为 E, 钢梁横截面的惯性矩为 I, 拉杆横截面的面积为 A, 其余尺寸见图 a, 试求钢杆 AD 内的拉 力 N。
§6-6
一、 基本概念 超静定梁
简单超静定梁的解法
P A B
单凭静力平衡方程不能求出 全部支反力的梁 , 称为 超静定梁 “多余”约束 多余” 多余 多于维持其静力平衡所 必需的约束 必需的约束
RA
P RC C
RB
A
B
“多余”反力 多余” 多余 与“多余”相应的支座反力 多余” A 超静定次数 超静定梁的“多余” 超静定梁的“多余”约束 的 数目就等于其超静定次数。 数目就等于其超静定次数。 A C P RC
(a)
q B A
l
(b)
RA mA
A
q B
RB
图 6 -11
超静定梁在多余约束处 的约束条件， 的约束条件，就是原超 静定梁的变形相容条件。 静定梁的变形相容条件。 图（b）中悬臂梁在 B点的 ） 点的 挠度等于零，就是超静定梁 挠度等于零， （a）的变形相容条件。 ）的变形相容条件。
(a)
q B A