动态电路的状态方程

＋
2F
uC
1?
5
13
－
－
解 每个元件作为一条支路，可作出图示的有向图(实 线为树支)。 选iL和 uC为状态变量。
对基本割集列写KCL方程
2 duC dt
?
iL ? i
i ? uC
2 duC dt
?
? uC
?
iL
1?
1H iL
＋
＋
us
2F
uC
1?
－
－
42
5
1
3
对基本回路列写KVL方程
diL dt
?
i2
?
R L2
is
?
1 L2
us
C duC dt
?
i1 ? i2
L1
di1 dt
?
? uC
?
us
L2
di2 dt
?
? uC
?
Ri2
?
Ris
?
us
矩阵形式
?duC
? ?
dt
? di1
? dt
? ?
di2
? dt
? ? ? ? ? ? ? ?
?
?
?0
?
?1
?? ?
L1
?1
?? ?
L2
1 C 0
0
1?
?
（2）状态变量
? 状态变量：描述状态的变量
动态电路的状态变量是确定动态电路运动行为
的最少一组变量。记作 x1, x2 , ,xn
独立完备变量
WC (t)
?
1 2
CuC2
(t
)
?
uC
? 1 q2 ? q 2C
WL (t)
?
1 2
LiL2 (t)
?
iL
? 1 ? 2? ? 2L
初始状态 : 电路在初始时刻 t=t0的状态
例题
例1 列写如图所示电路的状态方程。
C
i a 2 L2 b
＋ ＋ uC －
is
us
L1
R
－
i1
解 选电容电压uC和电感电流i1、i2为状态变量 对接有电容C的节点a列写节点方程
C
duC dt
?
i1 ? i2
对含有L1的回路C-L1-u S列写回路方程
L1
di1 dt
?
? uC
?
us
对含有L2的回路C-L2-R-u S列写回路方程
C
i a 2 L2 b
L2
di2 dt
?
? uC
?
u1
?
us
＋
us
＋ uC －
L1
－
u1 ? R(i2 ? is )
i1
＋
R u1
－
is
L2
di2 dt
?
? uC
?
Ri2
?
Ris
?
us
duC dt
?
1 C i1 ?
1 C
i2
di1 dt
?
?
1 L1
uC
?
1 L1
us
di2 dt
?
?
1 L2
uC
?
R L2
（3）状态方程
线性时不变电路
x ? Ax ? Bu
A为系数矩阵， B为控制矩阵 规范化：
x ? Ax ? Bu ? B1u
变换： x ? z ? B1u
? z ? Az ? ?AB1 ? B?u
状态方程
(4) 输出方程
联系输出与状态变量和输入之间的关系式 线性时不变电路
y ? Cx ? Du
y为输出向量， x为状态向量 , u为输入向量 C和D为仅与电路结构和元件值有关的系数矩阵
N1
N2
N1
L2
N2
is
独立电容电压
C2
? ? u2 ? ?
C1
u1
u3
C3
? ? u4 ? ?
C4
u1 ? u2 ? u3 ? u4 ? 0
C2
? ? u2 ? ?
C1
u1
u3
C3
? ? us ? ?
u1 ? u2 ? u3 ? ? us
全电容回路中一个电容电压不独立
独立电感电流
i1
i1
L1
i2
Descriptor Form
独立完备状态变量 uC和iL选作电路的状态变量 两个术语
? 全电容回路 仅由电容和电压源组成的回路
全电容回路又称为纯电容回路
全电容回路示例
C2
C2
C1
C3
C1
C3
? us ?
C4
? 全电感割集 仅由电感和电流源组成的割集 全电感割集又称为纯电感割集
全电感回路示例
L1
状态方程
主要内容
? 状态变量分析的基本概念 ? 状态方程和输出方程的建立
1 状态变量分析的基本概念
? （1）状态
? 电路的状态： 一组最少数据 1、对于某一任意的时刻 t0，可以根据 t0时刻的
状态及t≥t 0时的输入波形来唯一地确定 t＞t0的任 一时刻的状态 ；
2 、根据在 t时刻的状态及 t时刻的输入 (或者输 入的导数 )能够唯一地确定在 t时刻的任一电路变量 的值。 :: 电路的状态实质上是指电路的储能状况。
? 规范型状态方程的特征 : (1) 每个方程式的左端只有一个状态变量对时间的一
阶导数 ;
(2)每个方程式右端是激励函数与状态变量的某种函数
关系,但不出现对时间的导数项。
? 半状态描述 (semi-state description)
Ex ? Ax ? Cu
描述 系统
E为奇异矩阵
广义系统（ Descriptor system ）
? uC
?
iL
?
us
写成标准形式
?duC ?
? ?
dt
? diL
? ?? ?
?? 0.5
? ?
?1
?? dt ??
0.5? ?uC
?
1
? ?
? ?
iL
? ? ?
?
?0? ??1??
us
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从输入－输出方程到状态方程
y(n) ? a1 y(n?1) ? ? an?1 y?? an y ? bmu
C 0 R
? ? ? ? ? ?
?uC
? ?
i1
?? i2
? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ?
0 1 L1 1
?
L2
? ?
? ?
L2
?
0
? ?
0
? ?us ?
? ?
? ?
is
? ?
R?
?
L2
? ?
一、状态方程的直观列写法（续）
借助拓扑图的列写步骤： 1. 选择树
(1) 包含所有的独立电压源；不包含独立电流源。 (2) 包含尽可能多的电容和压控型高阶元件； (3) 包含尽可能少的电感和流控型高阶元件；
取 y(t)、y?(t)、 、y(n?1) (t) 为系统的 n 个状态变量 ,且设
列写步骤：
(1) 选取所有的独立电容电压和独立电感电流作为 预选状态变量； (2) 对每个独立的电容，选用一个割集，并依据 KCL 和电容的VAR列写节点方程；
对每个独立的电感，选用一个回路，并依据 KVL 和电感的VAR列写回路方程；
(3) 将上述方程中除输入以外的非状态变量用状态 变量和输入表示，并从方程中消去，然后整理成 标准形。
N1
i3
N2
N1
i2 L2
N2
is
i1 ? i2 ? i3 ? 0
i1 ? i2 ? is
全电感割集中一个电感电流不独立
2 状态方程的建立 ? 状态方程的建立方法
直接编写法
间接编写法
直观列写法
系统列写法
网络拓扑法 由输入－输出方程 编写
由转移函数编写 由信号流图 (或系 统框图 )编写
状态方程的直观列写法
2. 选树支上电容电压和连支上电感电流为预选状态变量
3. 对电容树支的基本割集列写KCL 方程； 对电感连支的基本回路列写KVL 方程。
4. 借助未利用的基本割集和基本回路将非状态变量用状态
变量和输入表示，并从方程中消去，整理成标准形。
例题
例2 列写如图所示电路的状态方程。
1?
1H iL
i
42
＋
us