第五章平稳时间序列模型的性质

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第四章 时间序列模型的性质
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2.ar(1)过程的自相关函数
AR(1)过程的自协方差函数如下 :
0
E(xt )2
E
(12
x2 t 1
21 t xt1
2 t
来自百度文库
)
12
0
2 a
所以 0
2 a
1 12
k E(xtk xt ) E(1xtk xt1) E(xtk t )
所以 k 1 k1 (k 1)
-4
-6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
例1，模拟生成的AR(1)过程趋势图
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呈指数衰减
例1：模拟生成的 AR(1)过程自相关图:
(1 0.85B)xt t 或 xt 0.85xt1 t 其中1 0.85
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第五章 平稳时间序列模型的性质
第一节 第二节 第三节
自回归过程的性质 移动平均过程的性质 自回归移动平均过程的性质
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第一节 自回归过程的性质
一、一阶自回归过程AR(1)的性质 二、二阶自回归过程AR(2)的性质 三、p阶自回归过程AR(p)的性质
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k 1
1
1
k2 1
1
k3 2 1
1 k2 k 3
k k 1 k2
k 1 k 2 k 3 1
1
上式即为偏自相关函数的一般公式
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解此差分方程有 : k
k
01
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因此它的自相关函数为 :
k
k 0
1k
(k 1)
当k 0时, 有0 1
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上述结论还可通过如下方法证明 :
0 E(xt2 ) E( t 1 t1 12 t2 )2
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例2，下面两图表分别是模拟生成的249个数据 如下AR(1)过程趋势图和自相关图
(1 0.85B)xt t 或 xt (0.85)xt1 t 其中1 0.85,t为正态N (0,1)白噪声
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6
4 2
0
-2
-4
-6 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
E
(
2 t
12
2 t 1
14
2 t2
)
(1 12
14
16
)
2 a
2 a
1 12
k E(xt xtk ) E( t 1 t1 12 t2 1k tk
)( tk 1 tk 1 12 tk 2 )
E
(
2 tk
12
2 t
k
1
14
2 tk
2
) 1k
1k
(1 12
14
16
)
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对于j 1,2, k,我们有如下方程组
1 k10 k 2 1 kk k1
2
k11
k
2
0
kk k 2
k k1k1 k 2 k2 kk 0
此方程称为Yule Wol ker 方程,kk即为偏自相关函数
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对于k 1,2, k,由Gramer法则可得
11 1
0 1 1 1
22
1 0
2 1 1 1
2 1
1 0 1 1
0 1 1
1 0 2
33
2 0
1 1
3 2
1 0 1
2 1 0
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类推下去可得,
1
1 2 k2 1
1
1
1 k3 2
kk
且 cov(et , xt j ) 0 ( j 1)
上式中的 kk 也就是xt 和xt k间的偏自相关系数.
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偏自相关函数的一般公式可推导如下 : 将xt j ( j 1)乘上式两端,并求期望得
E(xt xt j ) k1E(xt x 1 t j ) k 2 E(xt2 xt j ) kk E(xtk xt j ) 于是有 : j k1 j1 k 2 j2 kk jk 所以 : j k1 j1 k 2 j2 kk jk
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例1，下面两图表分别是模拟生成的249个数据 如下AR(1)过程趋势图和自相关图
(1 0.85B)xt t 或 xt 0.85xt1 t 其中1 0.85, at为正态N (0,1)白噪声
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2
0
-2
2 a
1k
2 a
1 12
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于是有
k
k 0
1k
且0 1
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通过上述推导可看出，当过程平稳即 1 1 时，AR(1)过程的自相关函数（ACF）呈 指数衰减。
如果 0 1 ，1 那么所有的自相关系数都为正， 并逐渐衰减。 如果 1 1 ，0 自相关系数的符号以负号开始， 并呈正、负交替逐渐衰减。
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一、一阶自回归过程AR(1)的性质
一阶自回归模型的形式为：
xt 1xt1 t
或 11Bxt t
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1、平稳性和可逆性
a.可逆性： 一个有限阶的自回归模型总是可逆的， 所以，ar(1)模型总是可逆的。
B.平稳性：
为满足平稳性，11B 0 的根必须在单位圆外， 即应有： 1 1
A.偏自相关函数的一般公式
在第二章我们已经知道, 偏自相关函数指剔除掉xt和xtk 之间的随机变量xt1, xt2 , xtk1的影响之后, xt和xtk之间
的相关性, 它一般用kk 来表示.
假设E(xt ) 0,且xt与xt1, xt2 , xtk1, xtk间存在线性关系,
则有 : xt k1xt1 k 2 xt2 x kk1 tk 1 kk xtk et 上式中,ki为第i个回归系数, et为正态误差项,
例2，模拟生成的Y AR(1)过程趋势图
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呈正负交替 指数衰减
例2：模拟生成的 AR(1)过程自相关图::
(1 0.85B)xt t 或 xt (0.85)xt1 t 其中 1 0.85
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3.AR(1)过程的偏自相关函数（PACF）