三次样条插值函数的构造与matlab实现
三次样条插值函数的构造与matlab实现
三次样条插值函数是一种常用的数值计算方法，用于在已知一些散点数据的情况下，生成一个平滑的函数来近似这些数据。其构造方法如下：
1.假设有n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，并且这些数据点按照x从小到大的顺序排列。
2.为了使得插值函数在两个相邻的数据点之间是光滑的，需要在每个相邻的数据点(xi,yi)和(xi+1,yi+1)之间插入一个三次多项式Si(x)。这个三次多项式可以写成以下形式：
Si(x) = ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)2 + di(x - xi)3，其中
i = 1, 2, ..., n-1。
3.为了保证插值函数在整个数据区间内光滑，需要添加一些附加条件。最常用的条件是，插值函数在每个数据点上的一阶导数和二阶导数与相邻插值函数相等。这些条件可以得到2(n-1)个方程式。
4.解这些方程，得到系数ai, bi, ci, di。
5.最后，插值函数可以表示为：S(x) = Si(x)，其中xi ≤x ≤xi+1。
在Matlab中，可以使用spline函数实现三次样条插值。
三次样条插值例题解析matlab
三次样条插值例题解析matlab 三次样条插值是一种常用的插值方法，可以通过一定数量的离散数据点，拟合出一个光滑的曲线。 在MATLAB中，插值函数interp1可以实现三次样条插值。该函数的基本语法为： y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline'); 其中，x和y分别是原始数据的横坐标和纵坐标，x_interp是插值点的横坐标，'spline'表示使用三次样条插值方法。插值函数会根据原始数据拟合出一个插值曲线，在插值点的位置上返回相应的纵坐标值。 下面我们以一个具体的例子来解析三次样条插值的使用。 假设我们有如下一组离散数据点： ```matlab x = [0, 1, 2, 3, 4];
y = [2, 3, 1, 4, 2]; ``` 我们希望通过这些离散数据点拟合出一个光滑的曲线，并在插值点处求取纵坐标值。 首先，我们需要在插值区间内定义一组插值点。这里我们取0.1为步长，生成插值点： ```matlab x_interp = 0:0.1:4; ``` 然后，使用interp1函数进行插值计算： ```matlab y_interp = interp1(x, y, x_interp, 'spline'); ``` 最后，我们可以通过图表来比较原始数据和插值结果： ```matlab
plot(x, y, 'o', x_interp, y_interp, '-'); legend('原始数据', '插值结果'); ``` 在生成的图表中，原始数据以圆点表示，插值结果以实线表示。通过比较可以看出，插值结果在原始数据之间形成了光滑的曲线。 以上就是使用MATLAB进行三次样条插值的基本步骤和方法。 然而，三次样条插值在某些情况下可能会产生不稳定的结果。这是因为三次样条插值的结果受到了边界条件的影响。为了解决这个问题，我们可以使用边界条件来指定插值曲线的形状。 MATLAB中，可以通过interp1函数的第四个输入参数来指定边界条件。常用的边界条件有自然边界条件、周期边界条件和固定端点斜率条件。 例如，如果我们希望插值曲线在边界处的斜率为0，即自然边界条件，可以使用以下语法： ```matlab
计算方法三次样条插值课程设计
摘要 本文细致的讲解了三次样条插值函数的产生及在实际中解决的问题，通过MATLAB的程序编写，可以将复杂的计算省去，直接的给出了三次样条插值的结果与实际结果间的误差，验证实际结果和理论值的一致性。避免了求解方程中的不必要计算，使求解效率得到显著的提高。 关键词插值函数三次样条插值 MATLAB
1 三次样条插值函数概论 当插值节点很多时,插值多项式的次数就会很高,这不仅增大了计算量,还会影响结果的精确度.虽然可以采用上述分段插值,但是主要缺点就是个分段接头处不光滑,插值函数的导数不连续,因此想构造这样的插值:既能分段的低次插值,又能保证接头处的光滑,就产生了三次样条插值函数. 1.1定义 设函数()f x 市区间[a,b]上的二次连续可微函数，在区间[a,b]上给处一个划分。设函数()f x 是区间[a,b]上的一个划分 011...n n a x x x x b -?=<<<<= 如果函数()S x 满足条件 （1）在每个小区间1[,]k k x x +（k=1,2,….,n ）上()S x 是一个部超过m 次的多项式。 （2）在节点k x （k=1,2,….,n ）处具有m-1阶的连续导数。 （3）()()(0,1,2,...) j j s x f x j n == 1.2三次样条差值函数的构造 由于三次样条插值我、函数s(x)的插值节点处的二阶导数存在，因此令各节点处的二阶导数为 ' ()(0,1,...,)k s x m k n == （1.01） 根据样条插值函数的定义，三次样条插值函数是s(x)在每一个小区间)1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上市不超过三次的多项式。在每一个小区间 )1....,1,0](,[]1-=+n k x x k k 上，其二阶导数为线性函数，即 '' 11 11()k k k k k k k k x x x x s x m m x x x x ++++--=+-- （1.02） 对式（1.02）积分两次，则得到 k k k k k k k k k b x x a h x x m h x x m x s +-+-++=++)(6)(6)()(3 1 3 1 （1.03）
matlab三次样条插值例题解析
文章标题：深度解析Matlab三次样条插值 1. 前言 在数学和工程领域中，插值是一种常见的数值分析技术，它可以用来估计不连续数据点之间的值。而三次样条插值作为一种常用的插值方法，在Matlab中有着广泛的应用。本文将从简单到复杂，由浅入深地解析Matlab中的三次样条插值方法，以便读者更深入地理解这一技术。 2. 三次样条插值概述 三次样条插值是一种利用分段三次多项式对数据点进行插值的方法。在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。该函数需要输入数据点的x和y坐标，然后可以根据需要进行插值操作。 3. 三次样条插值的基本原理 在进行三次样条插值时，首先需要对数据点进行分段处理，然后在每个分段上构造出一个三次多项式函数。这些多项式函数需要满足一定的插值条件，如在数据点处函数值相等、一阶导数相等等。通过这些条件，可以得到一个关于数据点的插值函数。 4. Matlab中的三次样条插值实现 在Matlab中，可以使用spline函数来进行三次样条插值。通过传入数据点的x和y坐标，可以得到一个关于x的插值函数。spline函数
也支持在已知插值函数上进行插值点的求值，这为用户提供了极大的灵活性。 5. 三次样条插值的适用范围和局限性 虽然三次样条插值在许多情况下都能够得到较好的插值效果，但也存在一些局限性。在数据点分布不均匀或有较大噪音的情况下，三次样条插值可能会出现较大的误差。在实际应用中，需要根据具体情况选择合适的插值方法。 6. 个人观点和总结 通过对Matlab中三次样条插值的深度解析，我深刻地理解了这一插值方法的原理和实现方式。在实际工程应用中，我会根据数据点的情况选择合适的插值方法，以确保得到准确且可靠的结果。我也意识到插值方法的局限性，这为我在实际工作中的决策提供了重要的参考。 通过以上深度解析，相信读者已经对Matlab中的三次样条插值有了更加全面、深刻和灵活的理解。在实际应用中，希望读者能够根据具体情况选择合适的插值方法，以提高工作效率和准确性。7. 三次样条插值的优缺点 三次样条插值方法作为一种常用的插值技术，在Matlab中有着广泛的应用。它具有很多优点，比如可以在数据点不连续、噪音较大或数据点密度不均匀的情况下进行插值，同时插值结果平滑且具有高度的局部逼近性。另外，三次样条插值还可以在使用较少的插值点情况下
MATLAB三次样条插值之三弯矩法
ＭATLＡＢ三次样条插值之三弯矩法 首先说这个程序并不完善，为了实现通用（１，２，…,ｎ）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。希望能有朋友给出更好的方法。 首先，通过函数saｎwanｊ得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数,接下来调 用追赶法(在inteｒｓaｎwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子,然后进行多项式合并 得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算 改点的值。附:追赶法程序cｈase ％%%％％%%%%%%%％% fｕncｔiｏｎ [nｅwv,w,newu，neｗd]=sanwj（ｘ,y,x０,y0,y1ａ,y1b）?％三弯矩样 条插值?％将插值点分两次输入，x0y０单独输入?% 边值条件a的二阶导数 y1a 和ｂ 的二阶导数ｙ1b，这里建议将y１ａ和y1b换成y2a和ｙ2b,以便于和三转角代码相区别 ?n=length(x);m=leｎgth(y); ｉf m~=n?errｏｒ(＇x or y 输入有误,再来'）; end?v=ｏneｓ(ｎ-１，1);u=ｏnes(n－１,1）;d=zeros（n－１,１）;?w=２*ｏ nes(n+１)；?h0=x（１）-x0;?h=zerｏs(n-１,1); for k＝1:n-１?ｈ(k)＝x（k+1)－x（k);?enｄ ｖ(1)＝h0/(ｈ0+h(1）); u(1)＝1－v（1）; ｄ（１)＝6*((y（2）-y(1）)/h（1)-(y(1)-y０)/ｈ0）/(h0+ｈ(１）);?% ｆoｒ k＝2:ｎ-1?ｖ(ｋ）＝h(ｋ-１)/(ｈ(k-１)+h(ｋ)）;?u(k)=1－v(k);?d（k)＝ 6*((y(ｋ+１)-ｙ（ｋ)）/h（k）-(ｙ(k）-y(ｋ-1）)/ｈ(k－1))／(h（k-1)+h(k)); ｅnd newv=[v;1］;?newu=［1;u]； d0=6＊（(y(1)-y0)/h0-y1a)/h0; d(n)=6＊（y1ｂ-(ｙ(n）－ｙ(n-1))／ｈ(n-1))／h(ｎ-1）; newd=［d0;d]; %%%%%%％％%％％％ ｆunctｉon iｎｔersａnｗj（x，y,ｘ0,y0,y1a，y1b) %三弯矩样条插值?%第一部分?n=leｎgtｈ(ｘ）;ｍ＝length(y); iｆ m~＝n?eｒror（'ｘｏｒy 输入有误，再来'); enｄ?%重新定义h?h=zｅｒｏs(n,1）; h(1)=x（1）-ｘ０; fｏr k=2:n h（k)=ｘ(ｋ)－x(k-1)；?end ％sptep1调用三弯矩函数?[a,b,c,d]=sanwj(x，ｙ,ｘ0,ｙ0,y１ａ,y1b);
三次样条插值的Matlab实现自然边界和第一边界条件
（第一边界条件）源代码：function y=yt1(x0,y0,f_0,f_n,x)_____________(1) %第一类边界条件下三次样条插值； %xi所求点； %yi所求点函数值； %x已知插值点； %y已知插值点函数值； %f_0左端点一次导数值； 右端点一次导数值；%f_nn = length(x0); z = length(y0); h = zeros(n-1,1); k=zeros(n-2,1); l=zeros(n-2,1); S=2*eye(n); fori=1:n-1 h(i)= x0(i+1)-x0(i); end fori=1:n-2 k(i)= h(i+1)/(h(i+1)+h(i)); l(i)= 1-k(i); / 14
end %对于第一种边界条件： k = [1;k];_______________________(2) l = [l;1];_______________________(3) %构建系数矩阵S： fori = 1:n-1 S(i,i+1) = k(i); S(i+1,i) = l(i); end %建立均差表： F=zeros(n-1,2); fori = 1:n-1 F(i,1) = (y0(i+1)-y0(i))/(x0(i+1)-x0(i)); end D = zeros(n-2,1); fori = 1:n-2 F(i,2) = (F(i+1,1)-F(i,1))/(x0(i+2)-x0(i)); D(i,1) = 6 * F(i,2); end %构建函数D： d0 = 6*(F(1,2)-f_0)/h(1);___________(4)
MATLAB三次样条插值之三弯矩法讲课讲稿
24.构造三次样条函数s(x)去模拟一只飞鸟外形的上部，测得的数据如下： x=[0.9,1.3,1.9,2.1,2.6,3.0,3.9,4.4,4.7,5.0,6.0,7.0,8.0,9.2,10.5,1 1.3,11.6,12.0,12.6,13.0,13.3]; y=[1.2,1.5,1.85,2.1,2.6,2.7,2.4,2.15,2.05,2.1,2.25,2.3,2.25,1.95, 1.4,0.9,0.7,0.6,0.5,0.4,0.25]; 边界条件为自然边界条件，即：S’’(0.9)=0,s’’(13.3)=0（可画出图形）。 解： 程序： %解样条差值% function [newu,w,newv,d]=sanzhi(x,y,x0,y0,y1a,y1b) n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 重新输入'); end v=ones(n-1,1); u=ones(n-1,1); d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n-1,1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0); for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1)); end d(1)=d(1)-u(1)*y1a; d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b; newv=v(1:n-2,:); newu=u(2:n-1,:); function intersanzhi(x,y,x0,y0,y1a,y1b) n=length(x);m=length(y);
三次样条插值函数的Matlab代码
三次样条插值函数的Matlab代码并针对下面一组具体实验数据 0.250.50000.30.54770.390.62450.450.6708. 0.530.7280求解，其中边界条件为 解：Matlab计算程序为： clearclc 某=[0.250.30.390.450.53] y=[0.50000.54770.62450.67080.7280]n=length(某);fori=1:n-1 h(i)=某(i+1)-某(i);end fori=1:n-2 k(i)=h(i+1)/(h(i)+h(i+1));u(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1));end fori=1:n-2 gl(i)=3某(u(i)某(y(i+2)-y(i+1))/h(i+1)+k(i)某(y(i+1)-y(i))/h(i));end g0=3某(y(2)-y(1))/h(1); g00=3某(y(n)-y(n-1))/h(n- 1);g=[g0glg00];g=tranpoe(g)k1=[k1];u1=[1u]; Q=2某eye(5)+diag(u1,1)+diag(k1,-1)m=tranpoe(Q\\g)ym 某;fori=1:n-1 p1(i)=(1+2某(某-某(i))/h(i))某((某-某(i+1))/h(i))^2某 y(i);p2(i)=(1-2某(某-某(i+1))/h(i))某((某-某(i))/h(i))^2某
y(i+1);p3(i)=(某-某(i))某((某-某(i+1))/h(i))^2某m(i);p4(i)=(某-某(i+1))某((某-某(i))/h(i))^2某 m(i+1);p(i)=p1(i)+p2(i)+p3(i)+p4(i);p(i)=imple(p(i));end1=p(1)2 =p(2)3=p(3)4=p(4)fork=1:4 forz=某(k):0.001:某(k+1) q=eval(ub(p(k),'某 ','z'));plot(z,q,'b')holdonendendgridonlegend('èy′ùìú')title('2μ')某label('某')ylabel('p') 计算结果为： 1= -(705394867539368680某某^3-529046150654530286某某 ^2+23087199381998953某某- 40023205577025431)/1125899906842624002= (257361898089296225某某^3)/136796838681378816-(160081743506404901某某 ^2)/60798594969501696+(404209705972252727某 某)/202661983231672320+429142243010323951/31665934879948800003= (38626753769033575某某^3)/18014398509481984-(245666153971053021某某 ^2)/72057594037927936+(3614707928905781673某 某)/1441151880758558720+26732501105874704913/7205759403792793600 00 通过绘制曲线，发现为3次样条曲线，且数据拟合较好。
三次样条matlab程序,含详细注释
clear; f = input('请输入函数表达式:f(x) = ', 's');%注's',表明允许用户输入一个字符串 a = input('请输入区间左端值a:'); b = input('请输入区间右端值b:'); n = input('请输入区间等分值n:'); for i=1:n+1 x(i) = a + (b-a)/n*(i-1); y(i) = eval(subs(f,'x(i)','x')); end n=n+1; lamda(1)=1;%构造向量 miu(n)=1; %构造向量 h=diff(x); %若X为向量,Y = diff(X)= [X(2)-X(1),X(3)-X(2),...,X(n)-X(n-1)] df=diff(y)/diff(x); d(1)=6*(df(1)-1/2)/h(1); d(n)=6*(0.5*81^-0.5-df(n-1))/h(n-1);
for j=2:n-1 lamda(j)=h(j)/(h(j-1)+h(j)); miu(j)=h(j-1)/(h(j-1)+h(j)); d(j)=6*(df(j)-df(j-1))/(h(j-1)+h(j)); end miu=miu(2:end); u=diag(miu,-1);r=diag(lamda,1);a=diag(2*ones(1,n)); A=u+r+a; %求出矩阵形式的线性方程组 M=inv(A)*d'; %求出M值 syms g g为符号变量 for j=1:n-1 s(j)=M(j)*(x(j+1)-g)^3/(6*h(j))+M(j+1)*((g-x(j))^3/(6*h(j)))+(y(j)-M( j)*h(j)^2/6)*(x(j+1)-g)/h(j)+(y(j+1)-M(j+1)*h(j)^2/6)*(g-x(j))/h(j); end format rat 使用有理函数(分式输出) for j=1:n-1
三次样条插值函数matlab
三次样条插值函数matlab 一、 MATLAB 三次样条插值函数 MATLAB 提供了一系列的函数可以进行数据的插值，样条插值函数提供了基于曲线和曲面的插值，MATLAB 主要提供了两类样条插值函数：一类是 spline 函数，另一类是 csapi 函数。 1. spline 函数 spline 函数是基于经典的三次样条插值理论，它接受三维点集并用一条三次样条曲线连接。使用 spline 函数时，您可以向函数提供三维点集，例如： x=[1,2,3,4,5]; y=[2,8,16,30,50]; z=[3,6,12,24,42]; spline_curve=spline(x,y,z); 2. csapi 函数 csapi 函数是 MATLAB 的一种“三次样条插值”，允许你使用固定的方程，更有效地解决插值问题。它可以把一组三维点集拟合成一条三次样条曲线。使用 csapi 时，您可以向函数提供三维点集，例如： x=[1,2,3,4,5]; y=[2,8,16,30,50]; z=[3,6,12,24,42]; csapi_curve=csapi(x,y,z);
二、MATLAB 三次样条插值函数使用 1. spline 函数 spline 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下： y2=spline(x,y,x2) 其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量，x2 为要求的坐标值向量；而 y2 为长度为 length(x2) 的向量，其中的每个元素表示一个拟合结果。 例如，有以下数据：x=[2.1;3.3;4.2;5.1]， y=[7.2;11.7;15.3;20.5]，现在要求 x=2.8 时，插值结果 y2： x=[2.1;3.3;4.2;5.1]; y=[7.2;11.7;15.3;20.5]; x2=2.8; y2=spline(x,y,x2) 2. csapi 函数 csapi 函数可以实现三次样条曲线的插值，该函数的基本格式如下： pp=csapi(x,y) 其中，x 为一个由 N 个不重复的坐标值组成的向量，y 为长度为 N 的向量；而 pp 为三次样条插值函数的拟合结果。
三次样条插值matlab 第二类边界条件
三次样条插值matlab 第二类边界条件 三次样条插值是一种常用的插值方法，用于对给定数据进行平滑的曲线拟合。在Matlab中，可以使用spline函数来实现三次样条插值。本文将介绍三次样条插值的第二类边界条件，并讨论其应用。 三次样条插值是一种使用多项式进行插值的方法，其中每个插值段都是三次多项式。为了确定这些多项式的系数，需要满足一些边界条件。第二类边界条件是其中一种常见的边界条件，它要求插值函数的一阶导数在边界点上相等。 在Matlab中，可以通过指定边界点的一阶导数来实现第二类边界条件。具体而言，可以使用spline函数的第三个输入参数来指定边界点的一阶导数值。例如，如果有两个边界点a和b，其一阶导数值分别为da和db，则可以使用以下代码进行三次样条插值： ```matlab x = [a, x_data, b]; % 插值节点，包括边界点 y = [da, y_data, db]; % 插值节点对应的函数值 coefs = spline(x, y, [x_data]); % 三次多项式的系数 ``` 上述代码中，x_data是要进行插值的数据点，y_data是对应的函数值。spline函数返回的coefs是一个矩阵，每一行都是一个插值段对应的三次多项式的系数。
三次样条插值的第二类边界条件在实际应用中具有广泛的用途。例如，在金融领域中，可以使用三次样条插值来对股票价格进行平滑拟合，从而预测未来的价格变化。在图像处理中，三次样条插值可以用于图像的放大和缩小，以及图像的平滑处理。在工程领域中，三次样条插值可以用于数据的去噪和补全。 三次样条插值的第二类边界条件相比其他边界条件具有一些优点。首先，它可以保持插值函数的一阶导数连续，从而避免了插值函数在边界点处出现不连续的情况。其次，它可以在边界点处提供更准确的拟合结果，因为它使用了边界点的一阶导数信息。 然而，三次样条插值的第二类边界条件也存在一些限制。首先，它要求边界点的一阶导数值是已知的，这在某些情况下可能并不容易确定。其次，它对插值数据的要求较高，边界点附近的数据点应当尽可能密集，以确保插值的准确性。 三次样条插值的第二类边界条件是一种常用的插值方法，可以用于平滑拟合给定数据。在Matlab中，可以使用spline函数来实现三次样条插值，并通过指定边界点的一阶导数值来实现第二类边界条件。该方法在金融、图像处理和工程等领域都有广泛的应用，但也存在一些限制。因此，在实际应用中需要根据具体情况选择合适的插值方法和边界条件。
matlab实现三次插值
用matlab 实现三次 NURBS 插值曲线 作者:大漠孤狼 发表于matlab 乐园(https://www.360docs.net/doc/d419166691.html,) 作者:这是我在大学时做大学生研究计划时写的,当时刚学会 matlab , 编写了这个程序,用了很多循环,效率不高.当时我并不清楚循环是matlab 的弱点,等明白了,也不做这方面的工作了,也就懒的去改写了.如果谁需要用,就自己改吧.算法也有一些问题,我就不多说了,自己看吧 一 、三次NURBS 插值算法 给定平面控制顶点d i (i=1,2,…n)及对应的权因子i ω (i=1,2,…n)，可定义一条三次NURBS 曲线。先对控制顶点进行参数化，得一矢量： U=[u 0,u 1,u 2…,u n+4] 则三次NURBS 曲线的分段方程形式为： ∑∑+==== 33,3 3,1 ) ()()(k k i i i k k i i i k u N u N d u P ω ω u ∈[u k+3,u k+4] k=0,1,2,…,n-3 (1) 首先证明一条性质： 若三点d k ,d k+1,d k+2共线，且满足 ) ()()()(33,2333,233,2333,1++++++++++++= k k k k k k k k k k k k k k k u N u N d u N d u N d ωωωω 则三次NURBS 曲线插值点d k+1. 证明：由（1）式可得：
) ()()()()()()(33,2233,1133,2 33,22133,1133,3+++++++++++++++++++++= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω ) ()()()()()()(43,3343,2243,113 43,23243,22143,114++++++++++++++++++++++++++= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω 由以知可得 ) ()()()()()(33,2233,1133,2 33,22133,1133,1+++++++++++++++++++++= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N d ωωωωωω 故性质得证。 下面构造三次 NURBS 插值曲线； 取一型值点列V 0,V 1,V 2,…V n ,用下列方法决定各点V i 处的切矢T i : 设顺序五个数据点V i-2,V i-1,…,V i+2,在中间数据点V i 的切矢t i 被局部定义为 t i =(1-a)Δp i-1+a Δp i 其中，Δp i =p i+1-p i a=B A A +, A= 1 2--∆⨯∆i i p p B= 1 +∆⨯∆i i p p 在非周期情况下，首末各两数据点处的切矢可采用贝塞尔条件确定，即用如下差分矢量 Δp -1=2Δp 0－Δp 1 Δp -2=2Δp -1－Δp 0 Δp n =2Δp n －1－Δp n －2 Δp n+1=2Δp n －Δp n －1 仍按前述公式确定t 0,t 1,t n-1,t n 。 下面，我们令d 3i =p i (i=1…n) 然后对数据点d 3i 进行参数化 u 0=u 1=u 2=u 3=0 ∑ ∑ =--=---= n j j j i j j j i d d d d u 1 ) 1(331 1)1(333 (i=2,3,…，n) u 3n+1=u 3n+2=u 3n+3=u 3n+4=1 在区间[u 3i ,u 3(i+1)]插入节点u 3i+1 ,u 3i+2
MATLAB大作业 给定一个时间序列,使用三次样条插值方法进行均匀内插
MATLAB作业 给定一个时间序列，使用三次样条插值方法进行均匀内插 （题目的相关说明：按题目要求编写一个MATLAB程序函数，并把自己编制程序所得的结果与MATLAB库函数分析结果进行对比。） 理论基础： 时间序列的概念： 时间序列是一种定量预测方法，又称简单外延法，时间序列分析是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论与方法，时间序列分析可分为以下三种情况 （1）把一个时间序列的值变动为N 个组成部分，通常可以分为四种 a、倾向变动，又称长期趋势变动 b、循环变动，又称周期变动 c、季节变动，即每年有规则的反复进行变动 d、不规则变动，即随机变动。然后把这四个综合到一起得出预测的结果。虽然分成这四部分，但这四部分之间的相互关系是怎么样的呢，目前一般采用相乘的关系，其实各个部分都是在其他部分作用的基础上进行作用的，所以采用相乘是有一定依据的，此种方法适合于短期预测和库存预测 （2）把预测对象、预测目标和对预测的影响因素都看成为具有时序的，为时间的函数，而时间序列法就是研究预测对象自身变化过程及发展趋势，如果未来预测是线性的，其数学模型为YT+L=aT+bTL,YT+L为未来预测值，aT为截距，bT为斜率，L为由T到需要预测的单位时间数（如5年、10年等） （3）根据预测对象与影响因素之间的关系及影响程度来推算未来，与目标的相关因素很多，只能选择那些因果关系较强的为预测影响的因素，此时间序列法用于短期预测比较有效，若要用于长期预测，还需要结合其他方法才行。 三次样条插值的实际应用：在制造船体和汽车外形等工艺中传统的设计方法是，首先由设计人员按外形要求，给出外形曲线的一组离散点值，施工人员准备好有弹性的样条（一般用竹条或有弹性的钢条）和压铁，将压铁放在点的位置上，调整竹条的形状，使其自然光滑，这时竹条表示一条插值曲线，我们称为样条函数。从数学上看，这一条近似于分段的三次多项式，在节点处具有一阶和二阶连续微商。样条函数的主要优点
MATLAB三次样条插值之三弯矩法
MATLAB三次样条插值之三弯矩法 首先说这个程序并不完善，为了实现通用（1，2，…，n）格式解题，以及为调用追赶法程序，没有针对节点数在三个以下的情况进行分类讨论。希望能有朋友给出更好的方法。 首先，通过函数 sanwanj得到方程的系数矩阵，即追赶法方程的四个向量参数，接下来调用追赶法（在intersanwj函数中），得到三次样条分段函数系数因子，然后进行多项式合并得到分段函数的解析式，程序最后部分通过判断输入值的区间自动选择对应的分段函数并计算改点的值。附：追赶法程序 chase %%%%%%%%%%%%%% function [newv,w,newu,newd]=sanwj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三弯矩样条插值 % 将插值点分两次输入，x0 y0 单独输入 % 边值条件a的二阶导数 y1a 和b的二阶导数 y1b，这里建议将y1a和y1b换成y2a和y2b，以便于和三转角代码相区别 n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误，再来'); end v=ones(n-1,1);u=ones(n-1,1);d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n+1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=6*((y(2)-y(1))/h(1)-(y(1)-y0)/h0)/(h0+h(1)); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/h(k)-(y(k)-y(k-1))/h(k-1))/(h(k-1)+h(k)); end newv=[v;1]; newu=[1;u]; d0=6*((y(1)-y0)/h0-y1a)/h0;
样条插值函数 matlab
样条插值函数 matlab 样条插值函数是一种广泛应用于数值计算中的插值技术。它的主要功能是使用已经给定的数据点来构建一个连续且平滑的函数，该函数可以通过插值来预测在给定数据点之间的值。在 MATLAB 中，我们可以使用 spline() 函数来实现样条插值函数的操作。 样条插值函数的主要思想是在给定的数据点上构建一组多项式，以实现对在数据点之间位置的函数的插值。这些多项式通常在相邻数据点之间的区间上定义，并满足一系列的平滑条件。在实践中，可以使用不同的插值多项式来构建样条插值函数，例如线性样条，二次样条或三次样条。 为了使用 MATLAB 中的 spline() 函数进行样条插值的操作，我们需要先确定要插值的数据点以及在这些数据点上的值。通常我们会使用一维数组来存储这些数据点的值，例如： x = [0 0.5 1 1.5 2]; 接下来，我们需要为这些数据点上的值生成一个一维数组，例如： y = [0 0.4794 0.8415 0.9975 0.9093];
为了使用 spline() 函数进行样条插值，我们需要将这些数据点作为输入参数传递给该函数，例如： yy = spline(x,y); 这将返回一个样条插值函数，可以使用该函数来计算在数据点之间位置的函数值。例如，要计算在 0.25 处的函数值，我们可以使用以下代码： val = ppval(yy,0.25); 上述代码将返回插值函数在 0.25 处的函数值。我们还可以使用 plot() 函数来可视化样条插值函数的结果，例如： plot(x,y,'o',0:0.01:2,ppval(yy,0:0.01:2)); 该代码将绘制原始数据点以及样条插值函数在给定范围内的函数值。 样条插值函数是一种强大的数值计算技术，可以用于许多科学和工程应用。在 MATLAB 中，我们可以使用 spline() 函数轻松实现样条插值函数的操作并可视化结果。
MATLAB三次样条插值之三转角法.docx
非常类似前面的三弯矩法,这里的sanzhj函数和intersanzhj作用相当于前面的sanwanj和intersanwj,追赶法程序通用,代码如下。%%%%%%%%%%%%%%%%%%% function [newu,w,newv,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 % 将插值点分两次输入,x0 y0 单独输入 % 边值条件a的一阶导数 y1a 和b的一阶导数 y1b n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误,再来'); end v=ones(n-1,1); u=ones(n-1,1); d=zeros(n-1,1); w=2*ones(n-1,1); h0=x(1)-x0; h=zeros(n-1,1); for k=1:n-1 h(k)=x(k+1)-x(k); end v(1)=h0/(h0+h(1)); u(1)=1-v(1); d(1)=3*(v(1)*(y(2)-y(1))/h(1)+u(1)*((y(1)-y0))/h0); % for k=2:n-1 v(k)=h(k-1)/(h(k-1)+h(k)); u(k)=1-v(k); d(k)=3*(v(k)*(y(k+1)-y(k))/h(k)+u(k)*(y(k)-y(k-1))/h(k-1)); end d(1)=d(1)-u(1)*y1a; d(n-1)=d(n-1)-v(n-1)*y1b; newv=v(1:n-2,:); newu=u(2:n-1,:); %%%%%%%%%%%% function intersanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b) % 三转角样条插值 %第一部分 n=length(x);m=length(y); if m~=n error('x or y 输入有误,再来'); end %重新定义h h=zeros(n,1); h(1)=x(1)-x0; for k=2:n h(k)=x(k)-x(k-1); end % 调用三转角函数 [a,b,c,d]=sanzhj(x,y,x0,y0,y1a,y1b); % 三对角方程 m=chase(a,b,c,d); % 求M M=[1;m;0]; % 求插值函数 fprintf('三次样条（三转角）插值的函数表达式\n'); syms X ; fprintf('S0--1:\n'); S(1)=collect((y0/h(1).^3)*(X-x(1)).^2*(h(1)+2*(X-x0))+(y(1)/h(1).^3)*(X-x0).^2*(h(1)+2*(x(1)-X))+(M(1)/h(1).^2)*(X-x0)*(X-
matlab插值法
matlab插值法 Matlab插值法是一种基于数学方法的数据处理技术，主要用于在不同数据点之间进行插值，从而得到更加精确的数据结果。该技术在实际应用中具有广泛的应用价值，能够有效地解决各种数据处理问题。 Matlab插值法的基本原理是根据已知数据点之间的函数关系来推算未知数据点的数值。具体而言，该方法通过对已知数据点进行拟合，构建出一个函数模型，并利用该模型来计算未知数据点的数值。常见的插值方法包括线性插值、多项式插值、三次样条插值等。 线性插值是最简单、最常用的一种插值方法。它假设函数在两个相邻数据点之间是线性变化的，并通过这两个点之间的直线来估计其它任意位置上函数取值。多项式插值则是将函数在多个相邻数据点之间近似为一个低阶多项式，并通过该多项式来推算未知位置上函数取值。三次样条插值则是将函数分段近似为三次多项式，并通过这些多项式来计算任意位置上函数取值。 Matlab中提供了丰富的插值函数库，包括interp1、interp2、interp3等。其中interp1函数用于一维插值，interp2函数用于二维插值，interp3函数用于三维插值。这些函数都具有丰富的参数选项，可以满足不同数据处理需求。
使用Matlab进行插值操作非常简单。首先需要将数据点导入到Matlab中，并将其存储为向量、矩阵或数组等数据结构。然后选择合适的插值函数，并设置好相应的参数选项。最后调用插值函数即可得到所需的结果。 需要注意的是，在进行插值操作时，需要根据实际情况选择合适的插值方法和参数选项，以确保得到准确、可靠的结果。此外，在使用Matlab进行大规模数据处理时，还需要注意内存占用和计算效率等问题，以充分发挥该工具在数据处理中的优势。 总之，Matlab插值法是一种非常实用、有效的数据处理技术，广泛应用于各个领域。通过深入学习和掌握该技术，可以提高数据分析和处理能力，为科学研究和工程实践提供有力支持。
用matlab实现三次-NURBS插值曲线
用matlab 实现三次 NURBS 插值曲线 作者:大漠孤狼 发表于matlab 乐园 作者:这是我在大学时做大学生研究计划时写的,当时刚学会matlab ,编写了这个程序,用了很多循环,效率不高.当时我并不清楚循环是matlab 的弱点,等明白了,也不做这方面的工作了,也就懒的去改写了.如果谁需要用,就自己改吧.算法也有一些问题,我就不多说了,自己看吧 一 、三次NURBS 插值算法 给定平面控制顶点d i (i=1,2,…n)及对应的权因子 i ω (i=1,2,…n)，可定义一条三次NURBS 曲线。先对控制顶点进行参数化，得一矢量： U=[u 0,u 1,u 2…,u n+4] 则三次NURBS 曲线的分段方程形式为： ∑∑+==== 33,3 3,1)()()(k k i i i k k i i i k u N u N d u P ωωϖ u ∈[u k+3,u k+4] k=0,1,2,…,n-3 (1) 首先证明一条性质： 若三点d k ,d k+1,d k+2共线，且满足 )()()()(33,2333,233,2333,1++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k u N u N d u N d u N d ωωωωϖ
则三次NURBS 曲线插值点d k+1. 证明：由（1）式可得： )()()()()()()(33,2233,1133,233,22133,1133,3+++++++++++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω )()()()()()()(43,3343,2243,11343,23243,22143,114++++++++++++++++++++++++++=k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N u P ωωωωωω 由以知可得 )()()()()()(33,2233,1133,233,22133,1133,1+++++++++++++++++++++= k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k u N u N u N d u N d u N d u N d ωωωωωω 故性质得证。 下面构造三次 NURBS 插值曲线； 取一型值点列V 0,V 1,V 2,…V n ,用下列方法决定各点V i 处的切矢T i : 设顺序五个数据点V i-2,V i-1,…,V i+2,在中间数据点V i 的切矢t i 被局部定义为 t i =(1-a)Δp i-1+a Δp i 其中，Δp i =p i+1-p i a=B A A +, A=12--∆⨯∆i i p p B=1+∆⨯∆i i p p 在非周期情况下，首末各两数据点处的切矢可采用贝塞尔条件确定，即用如下差分矢量 Δp -1=2Δp 0－Δp 1 Δp -2=2Δp -1－Δp 0 Δp n =2Δp n －1－Δp n －2 Δp n+1=2Δp n －Δp n －1 仍按前述公式确定t 0,t 1,t n-1,t n 。 下面，我们令d 3i =p i (i=1…n) 然后对数据点d 3i 进行参数化