二次型和对称矩阵的关系
二次型和对称矩阵的关系
二次型和对称矩阵的关系非常密切。在数学中，对称矩阵是一种
特殊的矩阵形式，它的转置矩阵等于本身。而二次型则是一种由向量
构成的二次函数，可以用矩阵乘积的形式表示。
在矩阵中，如果一个矩阵A等于它的转置矩阵，即$A^T = A$，
那么称A为对称矩阵。对称矩阵具有很多重要性质，比如它的特征值
都是实数，且可以通过正交对角化得到它的特征向量。
而二次型则是由一个$n$维向量$x$和一个$n$阶实对称矩阵$A$构
成的二次函数，即$f(x) = x^TAx$。二次型在许多领域中都有广泛的
应用，比如物理学、统计学和优化等等。
对于任意一个实对称矩阵$A$，我们都可以通过正交变换将其对
角化为对角矩阵$D$，即$A = Q^TDQ$，其中$Q$是正交矩阵。这样，我
们就可以将二次型表示为$f(x) = x^TAx = x^TQ^TDQx =
(Qx)^TD(Qx)$，即$f(x)$的值仅由$Qx$的分量决定，而且每个分量之
间是相互独立的。这种分离变量的特性使得计算二次型的值非常方便，同时也为研究二次型提供了极大的方便。
因此，对称矩阵和二次型之间的关系是十分紧密的，它们相互依存、相互辅助，在数学中扮演着非常重要的角色。
线性代数笔记
线性代数 序章线性代数基础知识 1.单位矩阵：对角线上均为1，其余元素都是0的n 阶方阵，记作I 在矩阵多项式f(A) 中单位阵I 对应代数多项式 f(x) 中的 1，纯量阵kI 对应常数k 2.零矩阵：元素全为0的矩阵，记作O 3.矩阵的p 阶子式：设},min{n m L =，指以） （L p a a pp ≤-11的p 个元素为主对角线构成的，含2p 个元素的p 阶方阵的行列式 第一篇线性空间 第一章向量和向量组 1.1 线性组合 1.向量组和矩阵的对应关系：一个向量组A 对应一个矩阵的列（或行）向量组A’ 2.线性表示：如果存在一组数{}i x 使向量∑== n i i i i a x b 1 ，那么称b 能被向量组A （或记{}i a ）线性表示； 也就是线性方程组Ax=b 有解（这也是求坐标表示的方法） 3.等价：如果向量组B’中的任何向量b 都能被组A’线性表示，反之亦成立，称组B’和组A’等价； 也就是矩阵方程AX=B 和BX -1 =A 都有解，即)()(B r A r = 行向量组等价与矩阵等价的关系： （1）向量组的等价（不要求两个组同向量数）和矩阵的等价（要求两个阵同型）是不同的概念 （2）当两个同型矩阵A ，B 的列向量组等价，A 与B 等价 此时：方程Ax=0和Bx=0同解，r(A)=r(B) （3）当矩阵A 与B 等价，经行/列变换得到B ，则A 与B 的行/列向量组等价
1.2 线性相关性和秩 1.线性相关：对于向量n a a a ,...,,21，如果存在不全为零的实数n k k k ,...,,21使得 01 =∑=n i i i a k ，那么这些 向量线性相关，也就是方程Ak=0有非零解 线性无关：对于向量n a a a ,...,,21，如果当且仅当n k k k ,...,,21全为零时，才有 01 =∑=n i i i a k ，那么这些 向量线性无关，也就是方程Ak=0只有零解 2.判定方法：如果向量组A 对应的矩阵的秩<向量数，则组A 线性相关； 如果向量组A 对应的矩阵的秩 = 向量数，则组A 线性无关； 3.向量组的秩定义：向量组A 中线性无关向量的最大个数，记为r ，A 中任意r+1个向量都线性相关 4.向量组与矩阵的秩：矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩 1.3 基、维数和坐标 1.基：如果向量空间V 中任一向量都可被V 中一线性无关向量组A 线性表示，称组A 为V 的一个基 基变换：设A,B 为V 的两组基，记B A P 1 -=为过渡矩阵，则A P B T = 2.维数：基中的向量数r （也是基的秩）称为向量空间V 的维数，称V 为r 维向量空间 3.坐标：如果向量空间V 中一向量∑== n i i i i a x b 1 ，且{}i a 是V 的基，则称{}i x 为b 在基A 中的坐标 证明向量组A 是空间V 的基，就是要写出V 中任一向量{}i b 在基A 中的坐标表达式 坐标变换：设A,B 为V 的两组基，对应坐标为x,y ，记B A P 1 -=为过渡矩阵，则x P y 1 -= 1.4 范数、投影和正交性 1.向量的范数：x x x x T n i i == ∑=1 2，n 为向量维数 2.广义的向量夹角：b a b a b a T = ,cos ；b 在a 上的投影：a a a b a p T T = 3.向量的正交性：两个向量x,y 的点积（或y x T ）为零，则两向量正交； 零向量没有长度，和所有向量都正交 正交和线性相关性：如果一组向量互正交，则它们线性无关
对称矩阵与二次型
对称矩阵与二次型 对称矩阵和二次型是线性代数中非常重要的概念，它们在各种数学和工程领域都有广泛的应用。本文将介绍对称矩阵的定义和特性，以及与之相关的二次型的概念和性质。 一、对称矩阵的定义与特性 在线性代数中，对称矩阵是指满足矩阵的转置等于其自身的矩阵。具体定义如下： 定义1：对称矩阵 设A是一个n×n的矩阵，如果满足A^T=A，则称A为对称矩阵。 对称矩阵的一些特性如下： 特性1：主对角线上的元素 对称矩阵的主对角线上的元素都相等，即a_ij = a_ji。 特性2：特征值 对称矩阵的特征值都是实数。 特性3：特征向量 对称矩阵的特征向量对应不同特征值的特征向量是正交的。 特性4：对角化 对称矩阵可以被对角化，即可以通过相似变换得到对角矩阵。
二、二次型的定义与性质 二次型是对称矩阵与向量的乘积，它是一个函数，将向量映射为实数。具体定义如下： 定义2：二次型 设f(x) = x^TAx是一个定义在R^n上的函数，其中A是一个n×n的对称矩阵，x是一个n维列向量。称f(x)为二次型。 二次型有一些重要的性质： 性质1：对称性 二次型的矩阵A是对称矩阵，即A^T=A。 性质2：标准型 对于任意二次型f(x)，都存在一个正交变换，将其化为标准型。标准型的形式为f(x) = λ_1y_1^2 + λ_2y_2^2 + ... + λ_ny_n^2，其中λ_1, λ_2, ..., λ_n为实数，y_1, y_2, ..., y_n为变量。 性质3：正定、负定与半正定 二次型可以根据其对应的矩阵A的特征值判定其正定、负定与半正定。当A的所有特征值均为正时，二次型为正定；当A的所有特征值均为负时，二次型为负定；当A的特征值既有正又有负时，二次型为不定；当A的特征值既有非负又有非正时，二次型为半正定。 三、对称矩阵与二次型的关系
二次型定理
二次型定理 二次型定理是线性代数中的重要定理之一，它将二次型与矩阵的特征值联系起来，通过特征值的求解，可以确定二次型的性质。本文将详细介绍二次型定理的概念、证明过程及其应用。 一、二次型的定义 在线性代数中，二次型是指由多个变量的平方和线性组合而成的函数。设有n 个实数变量x_1,x_2,...,x_n，记作x=(x_1,x_2,...,x_n)^T。二次型可以表示为： f(x) = x^TAx 其中，A是一个n\times n的实对称矩阵。 二、二次型的矩阵表示 设A是一个n\times n的实对称矩阵，x=(x_1,x_2,...,x_n)^T，则f(x)=x^TAx 可以写成矩阵形式： f(x)=\begin{pmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix} 整理得： f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ij}x_ix_j 将此式称为二次型的矩阵表示。 三、二次型定理 二次型定理表明，任何一个二次型都可以通过正交变换转化为标准型。具体来说，对于一个n\times n的实对称矩阵A，必存在一个正交矩阵P，使得： P^TAP = D
实对称矩阵与二次型
实对称矩阵与二次型 课后习题详解 习题8.1 1 求正交矩阵Q 使T Q AQ 化为对角矩阵D ,其中A 为: (1) 2112⎛⎫ ⎪⎝⎭ (2) 724247⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (3) 1141 41411⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ (4) 2 22254245-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭ (5) 3242 62423-⎛⎫ ⎪ - ⎪ ⎪⎝ ⎭ (6) 744490405-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭ (7) 0041001441001 40 0⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭ (8) 1333313333133 331---⎛⎫ ⎪ --- ⎪ ⎪ --- ⎪ ---⎝⎭ 解: (1) 22 1 ||43(1)(3)1 2 E A λλλλλλλ---= =-+=---- 所以 121,3λλ== 11λ=代入 ()0E A X λ-= , 12120|0 x x x x --=⎧⎨--=⎩得基础解系, 1(1,1)T α=-,标准正交化为 :11,1)T η= - 23λ=代入 ()0E A X λ-= , 121200 x x x x -=⎧⎨ -+=⎩得基础解系, 2(1,1)T α=,标准正交化为 :2T η=
取Q ⎛ = ⎝, 1003T Q AQ ⎛⎫= ⎪⎝⎭ . (2) 27 24 ||625(25)(25)24 7 E A λλλλλλ---= =-=+--+ 所以 1225,25λλ==- 125λ=代入 ()0E A X λ-= , 12121824024320x x x x -=⎧⎨-+=⎩得基础解系, 1 4(,1)3T α=,标准正交化为:13443(,1)(,)5355 T T η== 225λ=-代入 ()0E A X λ-= , 12123224024180 x x x x --=⎧⎨ --=⎩得基础解系, 23(,1)4T α=-,标准正交化为:24334(,1)(,)5455 T T η=-=- 取43553455Q ⎛⎫- ⎪ = ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,250025T Q AQ ⎛⎫= ⎪-⎝⎭. (3) 1 1401(1)(4)41||1 4 11 41 41 1 1416 14 E A λλλλλλλλλλ----+----+-=---=--------+-+ 2325336954(6)(3)(3)4153 λλλλλλλλλλλ-+--==--+=--+-++ 所以 1236,3,3λλλ===- 16λ=代入 ()0E A X λ-= ,
《计量经济学》第二章知识
第二章 数学基础 (Mathematics) 第一节 矩阵(Matrix)及其二次型(Quadratic Forms) 第二节 分布函数(Distribution Function)，数学期望(Expectation)及方差(Variance) 第三节 数理统计（Mathematical Statistics ） 第一节 矩阵及其二次型(Matrix and its Quadratic Forms) 2.1 矩阵的基本概念与运算 一个m ×n 矩阵可表示为： v a a a a a a a a a a A mn m m n n ij ? ???? ???????== 2122221 11211][ 矩阵的加法较为简单，若C=A +B ，c ij =a ij +b ij 但矩阵的乘法的定义比较特殊，若A 是一个m ×n 1的矩阵，B 是一个n 1×n 的矩阵，则C =AB 是一个m ×n 的矩阵，而且∑==n k kj ik ij b a c 1 ，一般来讲，AB ≠BA ，但如下运算是成立 的： ● 结合律（Associative Law ） (AB )C =A （BC ） ● 分配律（Distributive Law ） A (B +C )=AB +AC 问题：(A+B)2=A 2+2AB+B 2是否成立？ 向量（Vector ）是一个有序的数组，既可以按行，也可以按列排列。 行向量(row ve ctor)是只有一行的向量，列向量(column vector)只有一列的向量。 如果α是一个标量，则αA =[αa ij ]。 矩阵A 的转置矩阵(transpose matrix)记为A '，是通过把A 的行向量变成相应的列向量而得到。 显然(A ')′=A ，而且（A +B ）′=A '+B '， ● 乘积的转置（Transpose of ａ production ） A B AB ''=')(，A B C ABC '''=')(。 ● 可逆矩阵（inverse matrix ），如果n 级方阵(square matrix)A 和B ，满足AB=BA=I 。 则称A 、B 是可逆矩阵，显然1 -=B A ，1 -=A B 。如下结果是成立的： 1111111)()()()(-------='='=A B AB A A A A 。
第六章 二次型
第六章 二次型·矩阵的合同 §1 二次型和它的标准形 二次型是二次曲线和二次曲面概念的推广。如 22 341x xy y -+= 代表平面内的一条二次曲线； 222 448 4 1 x y z x y x z y z ++---= 代表三维空间内的一张二次曲面。 它们都有一个共同的特点: 就是除了常数项外，其余各 项的次数都是2，都是二次项。 一般地，将变元的个数从2个、3个推广到n 个就有 1. 二次型的定义 系数在数域K 中取值的n 个变元 12,,,n x x x 的一个二次齐次多项式，称为数域K 上的一个n 元二次型。它的一般形式是 2 12111 1 2 1213 131 1(,,,)222n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++ 2 2 22223232222.n n nn n a x a x x a x x a x ++++++ （1） 2. 二次型的矩阵 （1）式可以写成如下形式 2 12 111 1 2 121313 1 1(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++ 2 2121222232 32 2 n n a x x a x a x x a x x +++++ + 2 112233n n n n n n nn n a x x a x x a x x a x +++++ 1 1 n n ij i j i j a x x === ∑∑ ， （2）
其中 ,1,.ji ij a a i j n =≤≤ 把（2）式中的系数排成一个n 阶矩阵A （注意ji ij a a =）： 1112112222122 n n n sn a a a a a a A a a a ?? ? ? = ? ??? ， 称A 为二次型1 2 1 1 (,,,)n n n ij i j i j f x x x a x x === ∑∑ 的矩阵。 二次型的矩阵是一个对称矩阵，它由二次型唯一决定：它的主对角元依次是2 22 1 2,,,n x x x 的系数；它的(, ) i j 元素是 i j x x 的系数的一半，其中i j ≠。 例如，二次型 2 2 2 123 1 23 121323 (,,)24 44f x x x x x x x x x x x x =+-+-- 的矩阵为 1 222 2222 1A -?? ?=- ? ?---? ? 。 注意，（2）式可进一步改写为矩阵向量乘积的形式： 2 12 111 1 2 121313 1 1(,,,)n n n f x x x a x a x x a x x a x x =++++ 2 2121222232 32 2 n n a x x a x a x x a x x +++++ + 2 11 2233 n n n n n n n n n a x x a x x a x x a x +++++ 1111122133122112222332()() n n n n x a x a x a x a x x a x a x a x a x =+++++++++ + 112233()n n n n nn n x a x a x a x a x +++++ 11112213 32112222332 12112233(,,,)n n n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x x x x a x a x a x a x ++++?? ?++++ ?= ? ?++++??
矩阵的对角化及二次型
第五章矩阵的对角化及二次型 说明与要求: 在矩阵分析和一些经济问题的计算中往往可归结为如下的数学问题：对于n⨯n矩阵A，求数λ和非零的n维向量α，使关系式Aα=λα成立．这样的数称为A的特征值，α称为特征向量．本章介绍矩阵的特征值及特征向量的概念、计算方法以及它们的一些基本性质，并讨论一些与它们有关的矩阵问题． 本章的中心问题是研究矩阵的相似对角化，而在研究过程中，矩阵的特征值和特征向量是一个有力的工具，而且这些概念本身也是很重要的．我们要深刻理解矩阵的特征值和特征向量的概念、熟练掌握求特征值和特征向量的方法．对于抽象给出的矩阵要会用定义求解(实际是求特征值的取值范围)；对于具体数字给出的矩阵，一般先从特征方程|λA-E|=0求出特征值，再解齐次线性方程组(λA-E)X=0，基础解系就是λ所对应的线性无关的特征向量．相似对角化是重点，要掌握相似矩阵的概念和矩阵对角化的条件，注意一般矩阵与实对称矩阵在对角化方面的联系与区别．既要能求出矩阵A的相似对角矩阵Λ(当A可对角化时)，又要会用特征值、特征向量、相似、可对角化等确定A的参数．会利用对角化求A m．知道非负矩阵的定义及有关性质． 二次型指的是数域P上的n元二次齐次多项式，它的研究起源于解析几何中化二次曲面的方程为标准形式的问题．二次型不但在几何中出现，而且在数学的其它分支以及物理、力学中也常常会碰到．在这一章里，我们用学过的矩阵知识来讨论二次型的一些最基本的性质． 二次型与实对称矩阵之间有一一对应的关系．一方面，二次型的问题可以用矩阵的理论与方法来研究；另一方面，实对称矩阵的问题也可转化成二次型的思想方法来解决．本章的另一中心问题是化二次型为标准形和二次型的正定性．学习时，应在掌握二次型的矩阵表示的基础上，熟练掌握化标准形的方法(配方法、初等变换法和正交变换法)．以及二次型正定的充要条件和正定性的判定． 用正交变换法化二次型为标准形与实对称矩阵正交相似对角形是同一个问题，而以两种形式出现．若用正交变换化二次型X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ既相似又合同，Λ由A的特征值所组成．若用配方法化X T AX为标准形Y TΛY，则A与对角矩阵Λ仅仅是合同．此时对角矩阵Λ的元素不唯一． 。本章重点：矩阵的特征值和特征向量；相似矩阵；矩阵及实对称矩阵的对角化；二次型；化二次型为标准形的方法；正定二次型的性质及其判定． 。本章难点：矩阵对角化的判定及求法；实对称矩阵的对角化；化二次型为标准形；正定二次型的性质．
二次型转换为矩阵方法
二次型转换为矩阵方法 二次型是线性代数中常见的一种形式，可以通过矩阵的方式进行转换和分析。本文将介绍二次型转换为矩阵的方法及其应用。 我们来回顾一下二次型的定义。给定n个变量$x_1, x_2, ..., x_n$，二次型可以表示为： $Q(x) = a_{11}x_1^2 + a_{22}x_2^2 + ... + a_{nn}x_n^2 + 2a_{12}x_1x_2 + 2a_{13}x_1x_3 + ... + 2a_{n-1,n}x_{n-1}x_n$ 其中，$a_{ij}$表示常数，$x_i$表示变量。二次型可以用矩阵的形式表示，即： $Q(x) = x^TAx$ 其中，$x$是一个列向量，$A$是一个对称矩阵，$A=(a_{ij})$。 接下来，我们来看看如何将二次型转换为矩阵的形式。我们可以将二次型中的每一项按照变量的次数进行分类。对于$x_i^2$这种形式的项，可以将其转换为矩阵的对角线元素；对于$x_ix_j$这种形式的项，可以将其转换为矩阵的非对角线元素的两个位置上。 例如，对于二次型$Q(x) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 2x_1x_2$，我们可以将其转换为矩阵的形式： $Q(x) = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 其中，矩阵$\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$就是二次型的矩阵表示。 通过矩阵的转换，我们可以更方便地进行二次型的分析和计算。例如，我们可以通过矩阵的特征值和特征向量来研究二次型的性质。特征值表示矩阵的特征，而特征向量表示矩阵的方向。通过计算矩阵的特征值和特征向量，我们可以得到二次型的主轴和主轴方向，从而了解二次型的形状和方向。 矩阵的对角化也是二次型矩阵转换的重要应用之一。对角化可以将二次型转换为一个对角矩阵，从而简化计算。具体来说，通过矩阵的相似变换，我们可以将二次型的矩阵表示转换为对角矩阵的形式。对角矩阵中的对角线元素表示二次型的主轴长度，非对角线元素为零。这样，我们就可以直接通过对角矩阵进行计算，而不需要考虑矩阵的非对角线元素。 二次型转换为矩阵的方法在实际问题中具有广泛的应用。例如，在物理学中，二次型矩阵可以表示一个物体的惯性矩阵，通过对惯性矩阵进行特征值分解，我们可以了解物体的运动特性和稳定性。在经济学中，二次型矩阵可以表示一个经济系统的效用函数，通过对效用函数进行分析，我们可以优化经济系统的决策和资源分配。
对称矩阵的性质及其应用【开题报告】
开题报告 数学与应用数学 对称矩阵的性质及其应用 一、选题的意义 矩阵理论是高等代数中的核心内容,矩阵理论中的许多思想和方法极大地丰富了数学的代数理论。对称矩阵是矩阵中一类重要特殊矩阵。实对称矩阵在数学分析多元函数研究，解析几何中二次曲线、二次曲面分类及性质的研究，数学规划问题，微分方程组的求解都以对称矩阵为基础。 对称矩阵在高等代数的学习中也是一个基本的工具。二次型的研究，欧氏空间的研究都以对称矩阵为基础。对于对称矩阵这个应用广泛的基本矩阵，掌握它的性质以及基本应用能帮助我们更好得学习其他相关内容。 本课题的研究通过对对称矩阵的概念以及性质的引入，根据性质研究其在多方面的运用。使得在今后的学习中，在解决对称矩阵的相关问题上我们能够灵活变通。 对称矩阵的性质及其应用是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数和其他科技领域中占有重要的位置。同时，它又贯穿了高等代数的许多重要方面。对此课题的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻地了解高等代数的相关理论。本人选取对称矩阵的性质及其应用作为毕业论文写作课题。 二、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点） 拟研究的主要内容是对于与对称矩阵的基本性质，及其应用。 拟解决的主要问题：（一）由矩阵的概念出发，对对称矩阵作一个简单的介绍，让人们了解对称矩阵的概念。（二）介绍对称矩阵的一些性质，并举例加以说明应用。 三、研究（工作）步骤、方法及措施（思路） 步骤： 1．确定论文的题目，研究方向；（2011年1月20日-2月21） 2．上网查阅、收集相关的文献资料及准备二篇外文翻译；（2011年2月22 日-3月6日） 3．阅读并整理收集相关文献资料，撰写开题报告及文献综述；（2011年3月7日-3月17日）
实对称矩阵合同
实对称矩阵合同 实对称矩阵合同是针对实数域上的对称矩阵而言的。对称矩阵是指矩阵的元素关于主对角线对称，即a_ij = a_ji。合同是一个二元关系，对于矩阵合同来说，就是说两个矩阵A和B若满足A = P^TBP，则称A和B合同。 实对称矩阵合同可以通过矩阵的标准型来描述。标准型是一个可以用来表示一个方阵的特定形式的矩阵，通过合同关系可以将一个实对称矩阵转化为标准型。实对称矩阵的标准型主要有三种形式，分别是对角型、拟对角型和斯密特标准型。 对于任意实对称矩阵A，可以找到一个正交矩阵P，使得 P^TAP = D，其中D是对角矩阵。这就是实对称矩阵的对角型标准型。对角型标准型表示了实对称矩阵A主对角线上的特征值。如果主对角线上有重复的特征值，则可以用拟对角型标准型来表示。对于拟对角型标准型，对角线上的每个元素都是一个2x2的特征值子矩阵。最后，如果实对称矩阵A存在复特征值，则可以用斯密特标准型来表示。 实对称矩阵合同的性质有以下几点。首先，合同关系是一个等价关系，即它满足自反性、对称性和传递性。其次，合同关系与转置运算和逆运算相容，即对于任意实对称矩阵A和B，如果A合同于B，则A^T合同于B^T，且如果A可逆，则A 的逆矩阵也合同于B的逆矩阵。此外，合同关系与矩阵的相似变换也相容，即如果A合同于B，则对于任意可逆矩阵S，S^TAS合同于S^TBS。
实对称矩阵合同在线性代数和矩阵理论中具有重要的应用。首先，标准型的存在性保证了实对称矩阵可以通过合同关系转化为一个特定形式的矩阵，从而简化了研究实对称矩阵的性质和特征值的计算。其次，合同关系与二次型的化简和分类息息相关。二次型是一个关于变量的二次多项式，与实对称矩阵合同的关系可以帮助我们将一个二次型化简为标准型，从而研究其性质和分类。 总之，实对称矩阵合同是矩阵理论中的一个重要概念，它将实对称矩阵转化为标准型，并保证了矩阵的一些重要性质的不变性。实对称矩阵合同不仅在理论研究中有重要应用，也在实际问题的建模和求解中发挥着重要作用。
二次型的正定性及其应用
毕业论文题目：二次型的正定性及其应用 学生姓名：孙云云 学生学号：0805010236 系别：数学与计算科学系 专业：数学与应用数学 届别：2012 届 指导教师：李远华
目录 摘要 (1) 前言 (2) 1 二次型的概念 (2) 1.1 二次型的矩阵形式 (3) 1.2 正定二次型与正定矩阵的概念 (3) 2 二次型的正定性一些判别方法及其性质 (4) 3 二次型的应用 (9) 3.1 多元函数极值 (9) 3.2 线性最小二乘法 (13) 3.3 证明不等式 (15) 3.4 二次曲线 (18) 结论 (18) 致谢 (19) 参考文献 (19)
二次型的正定性及其应用 学生：孙云云 指导老师：李远华 淮南师范学院数学与计算科学系 摘要：二次型与其矩阵具有一一对应关系，本文主要通过研究矩阵的正定性来研究二次型的正定性及其应用。通过研究二次型的性质并利用正（负）定矩阵判断多元函数的极值、证明不等式，由矩阵的特征值求多元函数的最值，再借助于非退化线性替换判断二次曲线的形状。 关键词：二次型；矩阵；正定性；应用 The second type of positive definite matrix and its applications Student: Sun YunYun Instructor: Li YuanHua Department of mathematics and Computational Science, Huainan Normal University
Abstract: Quadratic and its matrix is exactly corresponding relation, this paper mainly through the study of the matrix is qualitative to study the second type is qualitative and its application. Through the study of the nature of the second type and use the positive (negative) set judgment matrix function of many extreme value, to testify inequality, the characteristic value of the matrix for the most value of a function of many, then the degradation by linear replace judgment of the shape of the quadratic curves. Key words: Quadratic; Quadratic matrix; Qualitative; Application 前言 二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置. 二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义. 1 二次型的概念 定义1.1 设P 是一个数域，ij a ∈p,n 个文字1x ,2x ,…, n x 的二次齐次多项式 2 22 12111 1212131311222 23232211 (,,...,)22...22...2......n n n n n n n nn n ij i j i j f x x x a x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x a x x ===++++++++++=∑∑),...,2,1,,(n j i a a ji ij ==称为数域p 上的一个n 元二次型，简称二次型.当ij a 为实 数时，f 称为实二次型.当ij a 为复数时,称 f 为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)n f x x x =2221112...n n d x d x d x +++称f 为标准型.
高等代数复习提纲(下期)
第五章二次型 5.1. 二次型及其矩阵表示 5.1.1. 二次型的定义、二次型的矩阵(是对称矩阵)及矩阵表示. 注: 二次型的矩阵表示、内积的矩阵表示、双线性函数的矩阵表示的对比. 5.1.2. 二次型的非退化线性替换的定义；经非退还线性替换后，新老两个二次型的矩阵的关系（会推导）. 5.1.3. 矩阵合同的定义. 注: 为什么要引入该定义? 5.2. 标准形 5.2.1. 二次型的标准形的定义及存在性(不唯一),任一对称矩阵都与对角矩阵合同. 5.2.2.配方法化二次型为标准形,合同变换法化对称矩阵为对角阵. 5.3. 唯一性 5.3.1.复二次型的规范形. 5.3.2.实二次型的规范形,惯性定理说明实二次型的规范形的存在性和唯一性,实二次型的正惯性指数, 负惯性指数以及符号差的定义. 实二次型的规范形的一些应用(书上哪些习题可以用此来解答?). 5.3.3.复对称矩阵和实对称矩阵分别与怎样的最简单的对角阵合同? 5.4. 正定二次型 5.4.1.实二次型和实对称矩阵的分类:正定,半正定,负定,半负定,不定. 5.4.2.正定矩阵的一些等价条件:
(1) 正定矩阵的定义; (2) 合同于单位矩阵; (3) 所有顺序主子式大于0; (4) 所有特征值大于0. 正定矩阵的一些必要但不充分条件: (1)|A|>0;(2)所有对角线上的元素都大于0；(3)所有主子式都大于0. 注：这些等价、必要条件的推导.还要会用实对称矩阵正交相似于对角阵这一结果来判定实对称矩阵的正定性. 5.4.3.列举出一些半正定矩阵的等价条件和必要条件. 第六章 线性空间 6.1. 集合 映射 单射、满射、双射的定义及证明；可逆映射的定义及等价条件（即双射）. 6.2. 线性空间的定义与简单性质 线性空间的定义,即非空集合,加法运算和数乘运算(封闭),8条运算规则. 6.3. 维数、基与坐标 6.3.1. 维数、基与坐标的定义(会求给定空间的维数、基以及给定向量在给定基下的坐标). 6.3.2. 一些常见空间的基和维数,例如n P ,[]n P x ,s n P ⨯,n n P ⨯中全体对称(反对 称/上三角形)矩阵形成的线性空间,L(V)等. 6.4. 基变换与坐标变换
第五章 二次型 总结 - itstzceducn
第五章 二次型 一些需要理解的概念和方法 一. 二次型的表示 2121 121 111 (,,...,)2 ()n n ii i ij i j i i j n n ii i ij ji i j i i j n n n ij i j i j T f x x x a x a x x a x a a x x a x x X AX =≤<≤=≤<≤===+=+ +==∑∑∑∑∑∑ 从上述的表达式中, 可以看出, 二次型中, j i x x 的系数是ij ji ij a a a 2=+. 例如: 设⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=321321321987654321),,(),,(x x x x x x x x x f , 则该二次型关于32x x 的系数是6+7=13. 所以可以直接写出该二次型如下: 23 32223121213219145106),,(x x x x x x x x x x x x f +++++=. 二. 任意二次型经过非退化线性替换可以化成标准形, 有两种方法达到该目的. 这是因为一个二次型经过非退化的线性替换后仍是一个二次型。 事实上，令X=CY ，则 f (X )=X T AX =(CY )T A (CY )=Y T (C T AC )Y = Y T BY , B=C T AC , A 与B 合同. 1. 配方法 2. 矩阵的合同变换 T A C AC E C ⎛⎫⎛⎫−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 合同, 对A 作合同变换，E 只与A 作同样的列变换。此时, C T AC 是一个对角形矩阵，非退化线性替换的矩阵为C ， 即经过X=CY ，原二次型化为标准形。 于是一个秩为r 对称矩阵可以写出r 个秩为1 的对称矩阵之和: 因为.0,001111≠++=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=i rr r r T d E d E d d d AC C 其中 , 所以 1111111)()(----++=C E C d C E C d A rr T r T . 上式右端的每一项中, 因为1-C 和(1-C )T 均可逆, 而R(E ii )=1, 可逆矩阵乘以一个矩阵不会改变这个矩阵的秩, 所以1)()(11==--ii ii T E R C E C R .
实二次型
第6章 实二次型 二次型是线性代数的主要内容之一，它在工程技术领域有着广泛的应用，作为可对角化矩阵的应用是用正交变换化实二次型为标准形，它与实对称矩阵正交相似于对角矩阵是以两种形式出现的同一问题。正定二次型是有广泛应用的一种特殊的二次型，要掌握其判定方法。 6．1二次型及其矩阵表示 定义（实二次型） 设);,,2,1,(j i n j i a ij ≤= 均为实常数，称关于n 个实变量n x x x ,,,21 的二次齐次多项式函数 ∑∑<==+=+++++++++=n j i j i j i ij n i i ii n nn n n n n n x x a x a x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a x x x f 1,1 22 2232232 2221131132112211121222222),,( 为一个n 元实二次型，简称为n 元二次型。 令ji ij a a =，则i j ji j i ij j i ij x x a x x a x x a +=2，再令矩阵n n ij a A ⨯=)(，T n x x x x ),,,(21 =，则A 为实对称矩阵，且可将二次型写成 ⎪⎪⎪⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==∑∑==n nn n n n n n n i n j j i ij n x x x a a a a a a a a a x x x x x a x x x f 212 1 22221 11211 2111 21),,(),,( 或 Ax x x f T =)( 称此式右端为二次型的矩阵表达式，称实对称矩阵A 为二次型f 的矩阵，并称A 的秩为二 次型f 的秩。 注意二次型f 的矩阵n n ij a A ⨯=)(的元素为：ii a 为2i x 的系数ji ij a a n i ==),,,2,1( 为j i x x 的系数的一半);,,2,1,(j i n j i ≠= 。 6．2合同变换与二次型的标准形 定义（满秩线性变换）设n n ij c C ⨯=)(为满秩方阵，则称由变量n y y y ,,,21 到变量 n x x x ,,,21 的线性变换
实二次型与实对称矩阵的定性分析 数学专业
实二次型与实对称矩阵的定性分析 摘 要： 本文以矩阵理论在二次型理论中的应用为基础,重点讨论了正定矩阵、负定矩 阵、半正定矩阵、半负定矩阵的若干等价命题,并给出详细的证明,得到了一些有一定价值的 结论. 关键词： 实二次型； 实对称矩阵； 正定矩阵 1 引言 数域R 上一个n 元实二次齐次多项式:j n i n j i ij n x x a x x x f ∑∑===1121),,,( 可表示 成矩阵形式:AX X x x x f T n =),,,(21 其中A 是由f 的系数构成的实对称矩阵.反之,若A 是数域R 上n 阶实对称矩阵,则可得R 上的一个n 元实二次型.所以,数域R 上n 元实二次型与数域R 上n 阶实对称矩阵一一对应.因此要研究实二次型,只要研究该实二次型的矩阵即可.事实上, 实二次型的等价分类问题与矩阵的合同分类问题本质上是同一个问题. 设实二次型AX X x x x f T n =),,,(21 ,A 是实对称矩阵,若对于任意的实非零列向量X 有0>AX X T ,则称A 和f 是正定的;若对于任意的实非零列向量X 有 0 第二节化二次型为标准型 (总5页) 本页仅作为文档封面，使用时可以删除 This document is for reference only-rar21year.March 第二节 化二次型为标准形 若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式 ,2 222211n n y b y b y b +++ 则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形. 由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n =),,,(21 在线性变换CY X =下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵 ⎥ ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡=n b b b B 21 则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2 22 2211n n y b y b y b +++ 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵. 内容分布图示 ★ 二次型的标准性 ★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形 ★ 例5 ★ 例6 ★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形 ★ 例7 ★ 例8 ★ 二次型与对称矩阵的规范形 ★ 例9 ★ 例10 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回 内容要点： 一、用配方法化二次型为标准形. 定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤: (1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形; (2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ≠≠,则先作可逆变换 概要&总结 一、线性代数的基础内容： 1、行列式——行列式的定义及计算性质(7条)，克莱姆法则； 2、矩阵——运算(包括相等、加法、数乘；转置，乘法，逆)；矩阵的行列式、伴随矩阵；初等变换(包括行、列变换及与矩阵乘法的关系，求逆等)；行等价标准形(行阶梯形、行简化阶梯形)及标准形；矩阵的秩；分块矩阵 3、向量——线性组合、表示、相关性；秩及极大无关组 特别的，除理解概念外，尽可能深刻的理解初等变换在解决矩阵相关问题中的作用；初等变换与矩阵乘积运算的关系；矩阵的秩与向量组的秩之间的关系；如何借助矩阵的初等行变换去求向量组的秩及其极大无关组 二、线性代数的应用性内容 1、线性方程组求解：i)齐次的0Ax =，讨论有不全为零解的条件，解的性质和基础解系(不唯一)—格式化的求基础解系的步骤；ii)非齐 次的 Ax b =，讨论有解的条件(唯一解、无穷多解)，解的性质和结构—格式化的解题步骤 2、向量空间：基、坐标、过渡矩阵、坐标变换公式；特殊的基，自然基和标准正交基及施密特正交化方法；正交矩阵 3、特征值特征向量：i)特征值、特征向量——格式化的求解步骤，关键是在理解这组概念及其性质；ii)矩阵对角化：矩阵可对角化的条件；特征向量的性质；相似矩阵 iii)实对称矩阵正交对角化：实对称矩阵特征值特征向量的性质(特征值都为实数，属于不同特征值的特征向量正交)——格式化的对角化步骤 4、二次型：i)二次型与对称矩阵的关系 ii) 利用正交变换的方法化二次型为标准型相当于实对称矩阵的正交对角化；配方法化二次型为标准形；合同矩阵(与等价、相似的关系) iii)二次型的规范形与惯性定理：正惯性指数与负惯性指数唯一确定 iv)正定二次型与正定矩阵：如何判别？——四个等价的条件(正定；正惯性指数为n ；存在P 使T P P A =；所有特征值大于零) 第一章 行列式 关键字：行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理 克莱默法则 一、1．行列式定义及相关概念：(这是行列式的递推法定义)由 2 n 个数 (,1,2,,)ij a i j n =组成的n 阶行列式 111212122 2 12 n n n n nn a a a a a a D a a a = 是一个算式，特别当 1 n =时，定义 11||D a a ==；当 2,n ≥时 1111121211111n n n j j j D a A a A a A a A ==++ +=∑，其中111(1)j j j A M +=-，1j M 是D 中去掉第 1行第 j 列全部元素后按照原顺序 拍成的1n -阶行列式，称为元素1j a 的余子式，1j A 为元素1j a 的代数余子式。 D 中1122,,,nn a a a 所在的对角线称为行列式的主对角线，相应的元素为主对角元。另一条对角线称为副对角线 2．n 阶行列式的性质 a)行列式的行与列(按原顺序)互换，其值不变； b)行列式对任一行按下式展开，其值相等，即11221 n i i i i in in ij ij j D a A a A a A a A ==++ +=∑ ， 其中(1)i j ij ij A M +=-，ij M 是D 中 去掉第i 行第 j 列全部元素后按照原顺序排成的1n -阶行列式，称为元素ij a 的余子式，ij A 为元素ij a 的代数余子式； c)线性性质——加法和数乘； 推论：某行元素全为零的行列式其值为0 d)行列式中两行对应元素全相等，其值为0； 推论：行列式中两行对应成比例，其值为0 e)在行列式中，把某行各元素分别乘非零常数，再加到另一行的对应元素上，行列式值不变； f)行列式的两行互换，行列式的值反号化二次型为标准型
02198 线性代数