高等数学疑难问题解析
高等数学疑难问题解析
高等数学是一门极具挑战性的学科，学习者们经常会遇到一些令自己崩溃的疑难问题。解决高等数学的疑难问题，不仅仅要理解知识，更要培养思考能力和分析推理能力，运用数学思维来解决问题。以下是一些常见的高等数学疑难问题及其解析，供参考：
一、集合论问题
集合是数学中一个基本概念，几乎涉及到所有的数学学科。但是，集合论也是一类比较晦涩难懂的问题，很多学生在解决集合论问题时都会感到困惑。比如，如何将复杂的集合表示成简单的数学表达式；如何解释集合中的元素等，都是学习者们经常遇到的问题。解决这类问题的关键在于掌握集合的术语，理解它们的定义和特性，并且运用数学表达式和解释对问题进行分析推理。
二、微积分问题
微积分是高等数学的重要组成部分，其解决问题的方法也是十分复杂的。学习微积分时常见的疑难问题有：如何求解一元函数的函数分析；如何计算向量的极坐标、极限和极限；如何求解方程组的解析解等。解决这类问题，学习者需要正确理解微积分概念和定义，并熟练掌握各种公式和算法，然后按规则运用这些知识来解决具体的问题。
三、线性代数问题
线性代数能够帮助我们解决各种类型的实际数学问题，它是高等数学中的一个重要分支。但是，线性代数有很多难以理解的概念，学习者容易陷入困境。比如：如何用矩阵表示线性方程组；如何求解矩
阵运算问题；如何分析多元函数的极值等。解决这些问题，学习者要首先掌握线性代数的特性和术语，然后熟练掌握线性代数运算的方法，最后运用掌握的知识解决具体的问题。
综上所述，解决高等数学的疑难问题，需要学习者在理解知识的基础上，运用数学思维和解决问题的方法，不断加强自己的推理能力，理解知识结构，最终把复杂的问题解决出来。
高等数学知识点总结
高等数学知识点总结 高等数学知识点总结【4篇】 知识产业需要了解市场和消费者的需求和趋势，拥抱变革和技术进步。知识的应用和创新需要进行有效的市场调查和市场分析，了解商业机会和风险。下面就让小编给大家带来高等数学知识点总结，希望大家喜欢! 高等数学知识点总结1 一、不定积分计算方法 1. 凑微分法 2. 裂项法 3. 变量代换法 1) 三角代换 2) 根幂代换 3) 倒代换 4. 配方后积分 5. 有理化 6. 和差化积法 7. 分部积分法(反、对、幂、指、三) 8. 降幂法 二、定积分的计算方法 1. 利用函数奇偶性 2. 利用函数周期性 3.参考不定积分计算方法 三、定积分与极限 1. 积和式极限 2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限 3. 洛必达法则 4. 等价无穷小
四、定积分的估值及其不等式的应用 1. 不计算积分，比较积分值的大小 1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有 f(x) =g(x),则 =()dx 2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a) b) 当0 x 兀 p= 兀 1 2. 估计具体函数定积分的值 积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则 M(b-a) = =M(b-a) 3. 具体函数的定积分不等式证法 1) 积分估值定理 2) 放缩法 3) 柯西积分不等式 ≤ % 4. 抽象函数的定积分不等式的证法 1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性 2) 积分中值定理 3) 常数变易法 4) 利用泰勒公式展开法 五、变限积分的导数方法 高等数学知识点总结2 A.Function函数 (1)函数的定义和性质(定义域值域、单调性、奇偶性和周期性等) (2)幂函数(一次函数、二次函数，多项式函数和有理函数) (3)指数和对数(指数和对数的公式运算以及函数性质) (4)三角函数和反三角函数(运算公式和函数性质) (5)复合函数，反函数 (6)参数函数，极坐标函数，分段函数
高考必考高等数学下册知识点
高考必考高等数学下册知识点 高考必考高等数学下册知识点 在我们平凡的学生生涯里，是不是经常追着老师要知识点？知识点是知识中的最小单位，最具体的内容，有时候也叫“考点”。为了帮助大家掌握重要知识点，以下是店铺帮大家整理的高考必考高等数学下册知识点，希望对大家有所帮助。 高考必考高等数学下册知识点1 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学
考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的'内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。 在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。 1、知识层面 也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。 2、能力层面 从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于千锤百炼的解题之中。 3、创新层面 数学解题要创新，首先是思想创新，我们称之为“函数的思想”、“讨论的方法”。函数是高中数学的主线，我们可以用函数的思想去分析一切数学问题，从初等数学到高等数学、从图形问题到运算问题、从高散型到连续型、从指数与对数、从微分与积分等等，这一切都要突出函数的思想;另外，现在的高考题常常用增加题目中参数的方法来提高题目的难度，用于区别学生之间解题能力的差异。我们常常应对参数的策略点是消去参数，化未知为已知;或讨论参数，分类找出参数的含义;或分离参数，将参数问题化成函数问题，使问题迎刃而解。这
济南大学高等数学C(一)6多元函数微分学-疑难解答
第八章 多元函数微分学 习题8－1 3*. :证明下列极限不存在 3 32)0,0(),(lim )1(y x y x y x -→ 证：时，有趋向于为任意常数，沿直线当)0,0()1(),(≠=k k kx y y x ,1)1(im ),(lim 3333kx y 0x kx y 0x k k x k kx y x f -=-==→=→ .lim 3 32)0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x y x k y x -→ y x xy y x +→) 0,0(),(lim )2( 证：时，有趋向于为任意非零实常数沿曲线当)0,0()(-),(2 k x kx y y x = ,1 k im ),(lim 223x -kx y 0x x -kx y 0x 2 2k x x kx y x f -=-==→=→ .lim )0,0(),(不存在的不同而不同，因此显然极限值随斜率y x xy k y x +→ 4. :求下列极限 1 1xy lim )1() 3,1(),(-+→xy y x 解：； 原式31 -13131=+??= xy xy y x 4 2lim )2()0,0(),(+-→ 解：； ）（原式41 -42lim )0,0(),(=++-= →xy xy xy y x )1 sin 1sin (lim )3()0,0(),(x y y x y x +→
解：量仍为无穷小量）； （利用无穷小量乘有界原式0= 2 23 3)0,0(),(* lim )4(y x y x y x ++→ 解：，则，令θρθρsin cos ==y x .0)s cos (lim s cos lim 330233330=+=+=→→θρθρρ θ ρθρρρin in 原式 习题8－2 2. .5,4,2,4) (4 122轴的倾角）处切线对于在点（求曲线x y y x z ?? ??? =+= 解：轴的）处的切线对于即表示在点（）处，，在点（x z x z x x 5,4,2,15,4,22 1 == .4 ,1tan .1π θθ轴的倾角为故所求切线对于，则有设相应的倾角为斜率为x = 4. ，证明：设222z y x r ++= .2)2(; 1122222 22 22r z r y r x r z r y r x r =??+??+??=??+??+??）（）（））（（ 证：， ，，） （r z z r r y y r r x z y x x x r =??=??=++=??222221 ;12 22=??+??+??）（）（）故（z r y r x r .11)1(1)2(22 222r x r r r x r x r x r ?-=?-?+=?? ,11,1122 222222r z r r z r r y r r y r ?-=???-=?? .2222222r z r y r x r =??+??+??故
(整理)高等数学易错问题总结
关于大学数学遇到的一些疑难问题解析 1.在什么情况下导函数在x=a处的右极限等于函数在x=a处的右导 数？ 答：当函数在x=a处右连续的情况下结论成立，用洛必达罗比达法则，根据导数的定义分子分母分别求导，就可以得到正确的结论，在一个分段点（该点是函数的第一类间断点，右间断）两边分别为斜率相同但截距不同的一次函数就是一个反例，如y=2x+1(x<=1)，y=2x+3(x>1),虽然导函数在x=1处的左右极限都存在且相等但函数在x=1处的右导数不存在。对于导函数在x=a处的左极限等于函数在x=a处的左导数也有类似结论。 2对于E(|X-Y|)与E(X-Y)在X-Y>0的情况下是否相同？ 答：对于离散型随机变量成立，对于连续型随机变量最好不要下这样的结论，因为后者在负无穷到正无穷做二重积分时要用到积分区间的可加性，把区间分成y=x的上方与下方两部分进行积分运算，被积函数在y=x的上方为f(x,y)*(y-x),下方为f(x,y)* (x-y).同理根据方差公式D(X)=E(X的平方)-[E(X)]的平方，所以D(|X-Y|)与D(X-Y)在X-Y>0易知对于方差也是同样道理的。且对于方差在X-Y 小于0的情况下也有类似结论。对于Z=max(X,Y) 求E（Z）,也可用此方法显得简便，被积函数在y=x的上方为f(x,y)* x，下方为f(x,y)* y。对Z=min(X,Y)同理可推。避免了先求F Z(z)= F x(z)* F Y(z)和F Z(z)=1-(1- F x(z))* (1- F Y(z)),再对z求导的麻烦。 3为什么有第一类间断点的函数不存在原函数？并举一个有第二类间断点的且存在原函数的函数。 答：用反证法，假设f(x)存在原函数F(x),因为F(x)处处连续,所以F(x)在x=a 处的左极限=F(x)在x=a处的右极限= F(x)在间断点x=a处的函数值，又因为F(x)处处可导，所以F(x)在x=a处的左导数=F(x) 在x=a处的右导数= F(x)的导函数
复变函数疑难问题分析
复变函数疑难问题分析 1. 设z z z f 1sin )(2=，{}11|<-=z z D 。 1）函数)(z f 在区域D 中是否有无限个零点2） 若上小题的答案是肯定的，是否与解析函数零点的孤立性相矛盾为什么 答： 有无限个零点。可以具体写出其所以零点； 不矛盾。因为这无限多个零点均为孤立零点；不可以展开为洛朗级数。因为0=z 为非孤立的奇点。 2. “函数sin z 在z 平面上是有界的”是否正确 sin z 在z 平面上无界。 这是因为sin 2iz iz e e z i --=，令(0)z iy y =<，则|sin |||()2iz iz e e z y i --=→∞→-∞ 3. “函数z e 为周期函数” 是否正确 z e 是以2k i π为周期的函数。因为z C ?∈，221z k i z k i z z e e e e e ππ+==?=，k 为整数 4. “()f z z =是解析函数” 是否正确 ()f z z =在z 平面上不解析。因为()f z z x iy ==-，所以(,)u x y x =，(,)v x y y =- 所以1u x ?=?，1v y ?=-?，0u y ?=?，0v x ?=? 但是 11u v x y ??=≠-=??，所以(,)u x y ，(,)v x y 在z 平面上处处不满足..C R -条件 所以()f z z =在z 平面上不解析。 5.根据教材中建立起球面上的点（不包括北极点N ）复平面上的点间的一一对应， 试求解下列问题。 （1）复球面上与点(1)22 对应的复数；
（2）复数1+i 与复球面上的那个点； （3）简要说明如何定义扩充复平面。 解：（1）建立空间直角坐标系（以O 点为原点，SON 为z 轴正半轴） ，则过 点,,1)22P 与点(0,0,2)N 的直线方程 为21z -==-。当0z =时 ，x y == ，所以,,1)2 2 对应。 （2）复数1i +的空间坐标为(1,1,0)。则直线方程2112 x y z -==-与球面222(1)1x y z ++-=相交，其交点为222(,,)333 ，(0,0,2)N （3）z 平面上以个模为无穷大的假想点一北极N 相对应，复平面上加上∞后称为扩充复平面。 6．说明复变函数可微性与解析性的关系。 复变函数()w f z =在点0z 处可导，又称为可微，而()f z 在0z 处的某个邻域内任一点处均可导（可微），则称()f z 在0z 处是解析的。 所以（1）()w f z =在点0z 处可导(可微)，但不一定在0z 处是解析的， （2）()f z 在0z 处解析是指在0z 处的某个邻域内任一点处均可导， （3）()f z 在区域D 内可微与在区域D 内解析是等价的。 7．()1sin f z z =在区域D ：01z <<上解析且有无穷多个零点，但在区域D 上()f z 不恒等于零，这与解析函数零点孤立性定理相矛盾吗为什么 1()sin f z z =在区域D ，01z <<内有无穷多个零点1k z k π =，但lim 0k k z →∞=，但0D ?，而区域D 是去心邻域，()f z 在0z =点无意义，所以()f z 在0z =处是 不解析的，也即1()sin f z z =在D 内解析也有无穷多个零点，但也不恒等于0，与零点孤立性定理不矛盾。 8.复级数1n n a ∞=∑与1n n b ∞=∑都发散,则级数1()n n n a b ∞=±∑和1n n n a b ∞ =∑发散.这个命题是否
高等数学疑难问题解析
高等数学疑难问题解析 高等数学是一门极具挑战性的学科，学习者们经常会遇到一些令自己崩溃的疑难问题。解决高等数学的疑难问题，不仅仅要理解知识，更要培养思考能力和分析推理能力，运用数学思维来解决问题。以下是一些常见的高等数学疑难问题及其解析，供参考： 一、集合论问题 集合是数学中一个基本概念，几乎涉及到所有的数学学科。但是，集合论也是一类比较晦涩难懂的问题，很多学生在解决集合论问题时都会感到困惑。比如，如何将复杂的集合表示成简单的数学表达式；如何解释集合中的元素等，都是学习者们经常遇到的问题。解决这类问题的关键在于掌握集合的术语，理解它们的定义和特性，并且运用数学表达式和解释对问题进行分析推理。 二、微积分问题 微积分是高等数学的重要组成部分，其解决问题的方法也是十分复杂的。学习微积分时常见的疑难问题有：如何求解一元函数的函数分析；如何计算向量的极坐标、极限和极限；如何求解方程组的解析解等。解决这类问题，学习者需要正确理解微积分概念和定义，并熟练掌握各种公式和算法，然后按规则运用这些知识来解决具体的问题。 三、线性代数问题 线性代数能够帮助我们解决各种类型的实际数学问题，它是高等数学中的一个重要分支。但是，线性代数有很多难以理解的概念，学习者容易陷入困境。比如：如何用矩阵表示线性方程组；如何求解矩
阵运算问题；如何分析多元函数的极值等。解决这些问题，学习者要首先掌握线性代数的特性和术语，然后熟练掌握线性代数运算的方法，最后运用掌握的知识解决具体的问题。 综上所述，解决高等数学的疑难问题，需要学习者在理解知识的基础上，运用数学思维和解决问题的方法，不断加强自己的推理能力，理解知识结构，最终把复杂的问题解决出来。
高等数学知识点大全
高等数学知识点大全 高考高等数学知识点 篇一 极限 1、知识范围 (1)数列极限的概念 数列、数列极限的定义 (2)数列极限的性质 性、有界性、四则运算法则、夹通定理、单调有界数列极限存在定理 (3)函数极限的概念 函数在一点处极限的定义、左、右极限及其与极限的关系趋于无穷时函数的极限、函数极限的几何意义 (4)函数极限的性质 性、四则运算法则、夹通定理 (5)无穷小量与无穷大量 无穷小量与无穷大量的定义、无穷小量与无穷大量的关系、无穷小量的性质、无穷小量的阶 (6)两个重要极限 2、要求
(1)理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件。 (2)了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则。 (3)理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系。会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)。会运用等价无穷小量代换求极限。 篇二 高考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数
高等数学重要知识点总结
高等数学重要知识点总结 高等数学重要知识点总结 在平凡的学习生活中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点也可以通俗的理解为重要的内容。想要一份整理好的知识点吗？以下是小编整理的高等数学重要知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。 高等数学重要知识点总结1 高考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学
考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。 在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。 1.知识层面 也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。 2.能力层面 从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于千锤百炼的解题之中。 3.创新层面 数学解题要创新，首先是思想创新，我们称之为“函数的思想”、“讨论的方法”。函数是高中数学的主线，我们可以用函数的思想去分析一切数学问题，从初等数学到高等数学、从图形问题到运算问题、从高散型到连续型、从指数与对数、从微分与积分等等，这一切都要突出函数的思想;另外，现在的高考题常常用增加题目中参数的方法来提高题目的难度，用于区别学生之间解题能力的差异。我们常常应对参数的策略点是消去参数，化未知为已知;或讨论参数，分类找出参数的含义;或分离参数，将参数问题化成函数问题，使问题迎刃而解。这
高数备考攻略福建省考研数学复习资料推荐
高数备考攻略福建省考研数学复习资料推荐高数备考攻略：福建省考研数学复习资料推荐 在备考高等数学（高数）这门课程时，很多考研学子会感到困惑和无从下手。高数作为考研数学的重点和难点之一，需要学生具备扎实的基础和全面的理解。本文将为大家推荐一些福建省考研高数复习资料，希望能够帮助考生有效备考。 1. 《高等数学（上、下册）》 该书是考研高数必备教材。由数学界权威编写，内容全面、体系严谨，适合系统学习高数基础知识。学生可以在复习过程中结合习题进行针对性训练，掌握各个知识点的解题技巧。 2. 《考研数学一轻松过高等数学》 该书是一套针对考研数学一科目编写的复习资料。其中，高数部分从基础知识出发，以通俗易懂的方式讲解概念和定理，并提供大量的习题和解析，方便考生巩固所学知识。 3. 《高等数学习题解析与点拨》 这本书是以考研高数习题为主，提供了大量的习题和解析。通过做题和阅读解析，考生可以更好地理解高数的知识点，把握题目类型和解题方法。 4. 考研高数网络课程
考研高数的网络课程是备考高数的一种有效方式。考生可以根据自己的时间和需求选择相应的网络课程，通过观看视频讲解和参与在线讨论，提高自己对高数知识的理解和应用能力。 5. 高数复习指导书籍 高数复习指导书籍是备考的重要参考资料，这些书籍通常由有丰富教学经验的老师或考研专家编写。它们以梳理重点知识、总结解题技巧、提供习题实例为主要内容，对于备考高数起到了很好的指导作用。 6. 刷题软件和题库 考研高数的复习不可避免地需要大量的练习。刷题软件和题库提供了大量题目和解析，考生们可以进行有针对性的练习，并及时纠正自己的错误。这些软件和题库通常包括历年真题、模拟题和专项练习题等，能够帮助考生全面提高解题能力。 除了以上推荐的资料，考生们还可以参加高数复习课程，参加线下或线上的高数辅导班，与老师和同学进行交流，共同解决疑难问题。同时，积极参加模拟考试和真题训练，提高应试能力，熟悉考题类型和答题技巧。定期复习，坚持练习，形成有效的复习计划和方法也是备考中不可缺少的一部分。 总的来说，备考高数并非一蹴而就，需要考生们花费大量的时间和精力。选择适合自己的复习资料和方法，灵活运用，定期检查和调整
解析几何疑难浅析
解析几何疑难浅析 摘要：解析几何问题就是用代数方法去解决几何问题，涉及到代数、几何两方 面的知识和方法。如何突破解析几何的疑难，培养学生的创造性思维能力，这是 高中数学教师所面临的一个难题。 关键词：解析几何疑难解析 解析几何是高中数学的一个分支，是用代数方法研究平面几何问题的学科， 是衔接初等数学和高等数学的纽带。它综合了平面几何、代数与三角函数等知识，是一门综合性很强的学科。 下面就常见的疑难试做浅析： 一、忽视倾斜角、斜率的取值范围致误 例1：已知定点A（-1，2）、B（2，3），直线：y=kx-1与线段AB恒相交，试求实数k 的取值范围。 错解：因为直线恒过点P，则kPA=-3、kPB=2，所以实数k的取值范围是-3≤k≤2。 剖析：倾斜角为直角时，斜率不存在，所以需分倾斜角为锐角、钝角两种情况讨论。当 直线的斜率k≥2时，与AB恒相交；当直线的斜率k≤-3时，与AB恒相交；故实数k的取值范围为（-∞，-3]∪[2，+∞）。 二、忽视二次曲线的性质致误 例2：AB是抛物线y2=4x上的动弦，且|AB|=3，求线段AB的中点M到y轴的最小距离。 错解：分别过A、B及AB的中点M引准线x=-1的垂线，垂足依次为N1、N2、N，根据 抛物线的定义有|AN1|=|AF|、|AN2|=|BF|，AB的中点M到y轴的距离为M点的横坐标xM，xM=|MN|-1=|AN1|+|BN2|/2-1=|AF|+|BF|/2-1≥|AB|-1=1/2。也就是说，当弦AB经过抛物线的焦点F时，弦AB的中点M到y轴的最小距离为。 剖析：因为抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）的长度为4，所以任意过抛物 线焦点F的弦的长度不可能小于4，本题中的弦AB的长度为3，故弦AB不经过抛物线的焦点，这样就不能按照上述求法求AB的中点M到y轴的最小距离。 本题应考虑弦AB与对称轴x轴垂直的情形（一般情形，当|AB|为定长时，应通过求函数最值的方法求最小距离），当弦AB垂直于x轴时，以|y|=3/2代入y2=4x中，求得M点的 横坐标为xM=9/19，所以线段AB的中点M到y轴的最小距离为。 例3：已知抛物线y2=x-a与圆x2+y2=1有公共点，求实数a的取值范围。 错解：将y2=x-a代入圆的方程x2+y2=1，得x2+x-a-1=0； △=1+4（a+1）≥0=>a≥-5/4。 剖析：由x2+y2=1=>y2=1-x2≥0=>-1≤x≤1 y2=x-a=> a=x-y2=x2+x-1=（x+1/2）2-5/4。 当x=-1/2时，a最小值=-5/4；当x=1时，a最大值=1。 故实数a的取值范围是[-5/4,1]。 三、应用相关结论解题时应弄清结论应用的条件 例4：过点M（2，0）作直线与圆x2+y2=16交于A、B两点，求△AOB面积的最大值。 错解一：如图一，|OA|=|OB|=4； S△AOB=1/2|OA||OB|sin∠AOB≤8sin∠AOB≤8； 所以△AOB面积的最大值为8。 错解二：如图二，设直线AB的倾斜角为a（0≤a<π），做OG⊥AB，G为垂足，则 |OG|=|OM|sina=2sina，|AG|=|OA|2-|OG|2=24-sin2a。 ∴S△AOB=4sina4-sin2a≤4sin2a+(4-sin2a)/2≤4×4/2=8。 剖析：对于第一种解法，△AOB面积的最大值怎么与点M的位置无关呢？当点M的位
四点问答轻松解决曲线积分与曲面积分疑难
四点问答轻松解决曲线积分与曲面积分疑难 来源：文都教育积分由求原函数的不定积分，到求面积的定积分，即在区间上的积分，推广之到积分积分范围为平面或空间内的闭区域上的重积分，而曲线积分及曲面积分是把积分范围进一步推广到一段曲线弧或一片曲面的情形，但其计算都最转化为基础性的定积分。对此，文都教育集团数学考试辅导中心的辅导专家总结了 4 大问题，用提问题的方式列出曲线积分与曲面积分中需注意的问题。 6、曲线积分与曲面积分1．对坐标的曲线积分与对弧长的曲线积分在转化为定积分时定积分限时有什么不同？两类曲线积分都是转化为定积分计算，在定限时，由于对弧长曲线积分和式中的恒为正值，且与积分路径方向无关，所以，化为定积分时的上限必须大于下限，而对坐标的曲线积分，其积分和式中的、和分别表示有向小曲线段在X 轴，Y 轴和Z 轴上的投影，其值可正可负，并且它与积分路径的方向有关，化为定积分时只要下限对应积分路径的起点，上限对应积分路径的终点，并无上限大于下限的要求。例如计算积分（其中的弧CB 如下图所示），但下面 的解法是错误的： 。犯错的 y 原因是上限小于下限，正确的解法 是 2．下题的解法是否正确？ 计算，其中L 是从点 A （0，a）到B（）的圆弧，如上图所示 解：L 的方程为，则
这种解法是错误的。错在当点沿弧从 A 到 B 描出 L 时，x 的变化不是单调的，换 句话说， 的方程不是 ，而是 确的解法是： 3．在应用格林公式时，哪些地方容易出错？ 格林公式提示了平面区域上二重积分与它边界曲线上的曲线积分之间的内在联系， 无论在理论上还是在实用上都有着重要的意义。在应用格林公式时常犯的错误有： 忽视 P （x,y ）、Q （x,y ）在闭区域 D 上一阶偏导数的连续性。例如，在计算圆周 4．计算对坐标的空间曲线积分，主要有几种方法？ 计算对坐标的空间曲线积分，常用的有三种方法： 是在恰当选取参数的前提下，直接化为定积分。 二是将空间曲线积分化为平面曲线积分，现以计算 面曲线积分的方法： 设 由方程组 给出，它在 xOy 平面上的投影为 C ：f （x,y=0 （从方程 组中消去 Z 而得），并且 R （x,y,z 在 上的点（ x,y,z ）处的值，就等于 R[x,y,f （x,y] 在 C 上点（x,y 处的值。再对 的方程两边求微分得方程组 解出 dz ，于是便可将 R （x,y,z ）在 上的线积分 化为 R[x,y,f （x,y] 在平 面曲线 C 上的线积分（见例 9.10中的方法二）。 三是利用斯托克斯公式计算。在应用斯托克斯公式时应注意使用的条件。 ，应分段积分。正 L ： 是错误的。犯错的原因是忽视了 外，初学者容易忘记曲线的封闭性和方向性。 上的曲线积分 时， 就得出 在 D 上的连续性。另 为例，说明化为平
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点
高等数学教案：曲面及其方程+高一数学必备知识点 高等数学教案：曲面及其方程 介绍各种常用的曲面，为下学期学习重积分、线面积分打下基础。学生应该会写出常用的曲面方程，并对已知曲面方程能知道所表示曲面的形状。 本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）： 基本内容：曲面方程的概念，几种常见曲面的方程及简单几何性质 重点：几种常见曲面的方程及其图形 难点：旋转曲面 对学生的引导及重点难点的解决方法： 从曲面方程的一般概念入手，围绕空间解析几何中关于曲面研究的两个基本问题展开讨论.讲清如何将曲面上点满足的几何关系表达成解析式，得出曲面的方程，及如何由已知方程讨论其图形在几何上的性态.本次课程除了给出各种曲面的一般形式，应突出在多元微分学中常用的几种曲面:球面，柱面及其旋转抛物面和各种柱面.在讲授时应把抽象的几何图形与现实生活中的事物联系起来.本节的难点是旋转曲面和柱面方程的建立.在建立方程时，一定要抓住哪些量在变，哪些量没变，变化的量之间的关系如何挖掘，从而找出问题的突破口，在解决问题时尽量结合直观的几何图形.。 例题：实例：水桶的表面、台灯的罩子面等，曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹 例1：建立球心在、半径为R的球面的方程。 例2：设有点 和，求线段的垂直平分面的方程。 其他例题参见PPT 本授课单元教学手段与方法： 本节教学采用多媒体教学同时结合一些实物.把抽象的几何图形具
体化.本授课单元思考题、讨论题、作业： 高等数学（同济五版）P318 1.7.10（1）（4）.本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出） 高等数学（同济五版）P310---P319 注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案； 3.“重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体； 4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。 高一数学必备知识点三篇 高一数学必备知识点1 两个平面的位置关系： （1）两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点 （2）两个平面的位置关系： 两个平面平行——没有公共点；两个平面相交——有一条公共直线。 a、平行 两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么交线平行。 b、相交 二面角 （1）半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。 （2）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°] （3）二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。 （4）二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。 （5）二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
高考高等数学难题的解题技巧
高考高等数学难题的解题技巧 高考高等数学难题的解题技巧 一、调理大脑思绪，提前进入数学情境 考前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于空白状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入角色，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。 二、内紧外松，集中注意，消除焦虑怯场 集中注意力是考试成功的保证，一定的神经亢奋和紧张，能加速神经联系，有益于积极思维，要使注意力高度集中，思维异常积极，这叫内紧，但紧张程度过重，则会走向反面，形成怯场，产生焦虑，抑制思维，所以又要清醒愉快，放得开，这叫外松。 三、沉着应战，确保旗开得胜，以利振奋精神 良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生旗开得胜的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的门坎效应，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。
四、六先六后，因人因卷制宜 在通览全卷，将简单题顺手完成的情况下，情绪趋于稳定，情境趋于单一，大脑趋于亢奋，思维趋于积极，之后便是发挥临场解题能力的黄金季节了，这时，考生可依自己的解题习惯和基本功，结合整套试题结构，选择执行六先六后的战术原则。 1.先易后难。就是先做简单题，再做综合题，应根据自己的实际，果断跳过啃不动的题目，从易到难，也要注意认真对待每一道题，力求有效，不能走马观花，有难就退，伤害解题情绪。 2.先熟后生。通览全卷，可以得到许多有利的积极因素，也会看到一些不利之处，对后者，不要惊慌失措，应想到试题偏难对所有考生也难，通过这种暗示，确保情绪稳定，对全卷整体把握之后，就可实施先熟后生的策略，即先做那些内容掌握比较到家、题型结构比较熟悉、解题思路比较清晰的题目。这样，在拿下熟题的同时，可以使思维流畅、超常发挥，达到拿下中高档题目的目的。 3.先同后异。先做同科同类型的题目，思考比较集中，知识和方法的沟通比较容易，有利于提高单位时间的效益。高考题一般要求较快地进行兴奋灶的转移，而先同后异，可以避免兴奋灶过急、过频的跳跃，从而减轻大脑负担，保持有效精力。 4.先小后大。小题一般是信息量少、运算量小，易于把握，不要轻易放过，应争取在大题之前尽快解决，从而为解决大题赢得时间，创造一个宽松的心理基矗。
高一上学期数学北师大版(2019)必修第一册第二章 函数 易错疑难集训-(word版 有答案)
《第二章 函数》易错疑难集训 一、易错题 易错点1 对函数的定义域理解不透彻 1. 若两个函数的对应关系相同,值域也相同,但定义域不同,则称这两个函数为“同族函数”.与函数y =x 2,x ∈{-1,0,1,2}为“同族函数”的函数有( ) A.5个 B.6个 C.7个 D.8个 2.[2022重庆江津中学高一上月考] (1)若函数f (x )=√ax +1的定义域为(-∞,1],则实数a 的值为 ; (2)若函数f (x )=√ax +1在区间(-∞,1]上有意义,则实数a 的取值范围为 . 3.已知函数y =f (3x -7)的定义域为[-2,3],求函数y =f (x -1)+f (1-x )的定义域. 易错点2 忽视分段函数自变量在各段上的取值范围 4. 已知函数f (x )={−x −1,−1≤x <0−x +1,0
高等数学知识点
高等数学知识点 高等数学知识点 在日复一日的学习中，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点有时候特指教科书上或考试的知识。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？下面是小编为大家收集的高等数学知识点，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 高等数学知识点1 第一章：函数与极限 1.理解函数的概念，掌握函数的表示方法。 2.会建立简单应用问题中的函数关系式。 3.了解函数的奇偶性、单调性、周期性、和有界性。 4.掌握基本初等函数的性质及图形。 5.理解复合函数及分段函数的有关概念，了解反函数及隐函数的概念。 6.理解函数连续性的概念(含左连续和右连续)会判别函数间断点的类型。 7.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左右极限间的关系。 8.掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 9.掌握极限性质及四则运算法则。 10.理解无穷孝无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 第二章：导数与微分 1.理解导数与微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描写一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握初等函
数的求导公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求初等函数的微分。 3.会求隐函数和参数方程所确定的函数以及反函数的导数。 4.会求分段函数的导数，了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。 第三章：微分中值定理与导数的应用 1.熟练运用微分中值定理证明简单命题。 2.熟练运用罗比达法则和泰勒公式求极限和证明命题。 3.了解函数图形的作图步骤。了解方程求近似解的两种方法：二分法、切线法。 4.会求函数单调区间、凸凹区间、极值、拐点以及渐进线、曲率。 第四章：不定积分 1.理解原函数和不定积分的概念，掌握不定积分的基本公式和性质。 2.会求有理函数、三角函数、有理式和简单无理函数的不定积分 3.掌握不定积分的分步积分法。 4.掌握不定积分的换元积分法。 第五章：定积分 1.理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分中值定理。 2.掌握定积分的换元积分法与分步积分法。 3.了解广义积分的概念，并会计算广义积分， 4.掌握反常积分的运算。 5.理解变上限定积分定义的函数，会求它的导数，掌握牛顿莱布尼茨公式。 第六章：定积分的应用 1.掌握用定积分计算一些物理量(功、引力、压力)。 2.掌握用定积分表达和计算一些几何量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积和侧面积、平行截面面积为已知的立体体积)及函数的平均值。 第七章：微分方程
高等应用数学知识点总结
高等应用数学知识点总结 •相关推荐 高等应用数学知识点总结 在我们平凡无奇的学生时代，大家都背过不少知识点，肯定对知识点非常熟悉吧！知识点也不一定都是文字，数学的知识点除了定义，同样重要的公式也可以理解为知识点。为了帮助大家掌握重要知识点，下面是小编整理的高等应用数学知识点总结，希望能够帮助到大家。 高等应用数学知识点总结1 高考数学解答题部分主要考查七大主干知识： 第一，函数与导数。主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用。这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用。这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式。主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计。这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 第七，解析几何。是高考的难点，运算量大，一般含参数。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 对数学思想和方法的考查是对数学知识在更高层次上的抽象和概括的考查，考查时与数学知识相结合。 对数学能力的考查，强调“以能力立意”，就是以数学知识为载
体，从问题入手，把握学科的整体意义，用统一的数学观点组织材料，侧重体现对知识的理解和应用，尤其是综合和灵活的应用，所有数学考试最终落在解题上。考纲对数学思维能力、运算能力、空间想象能力以及实践能力和创新意识都提出了十分明确的考查要求，而解题训练是提高能力的必要途径，所以高考复习必须把解题训练落到实处。训练的内容必须根据考纲的要求精心选题，始终紧扣基础知识，多进行解题的回顾、总结，概括提炼基本思想、基本方法，形成对通性通法的认识，真正做到解一题，会一类。 在临近高考的数学复习中，考生们更应该从三个层面上整体把握，同步推进。 1.知识层面 也就是对每个章节、每个知识点的再认识、再记忆、再应用。数学高考内容选修加必修，可归纳为12个章节，75个知识点细化为160个小知识点，而这些知识点又是纵横交错，互相关联，是“你中有我，我中有你”的。考生们在清理这些知识点时，首先是点点必记，不可遗漏。再是建立相关联的网络，做到取自一点，连成一线，使之横竖纵横都逐个、逐级并网连遍，从而牢固记忆、灵活运用。 2.能力层面 从知识点的掌握到解题能力的形成，是综合，更是飞跃，将知识点的内容转化为高强的数学能力，这要通过大量练习，通过大脑思维、再思维，从而沉淀而得到数学思想的精华，就是数学解题能力。我们通常说的解题能力、计算能力、转化问题的能力、阅读理解题意的能力等等，都来自于千锤百炼的解题之中。 3.创新层面 数学解题要创新，首先是思想创新，我们称之为“函数的思想”、“讨论的方法”。函数是高中数学的主线，我们可以用函数的思想去分析一切数学问题，从初等数学到高等数学、从图形问题到运算问题、从高散型到连续型、从指数与对数、从微分与积分等等，这一切都要突出函数的思想;另外，现在的高考题常常用增加题目中参数的方法来提高题目的难度，用于区别学生之间解题能力的差异。我们常常应对