微分方程习题课PPT课件
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欧拉方程
.
2
微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
积分因子
变全 量微 可分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
.
3
1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
.
4
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
若1(QP) g(y)
P x y
则(x)ef(x)dx ;
则(y)eg(y)dy.
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
.
13
常见的全微分表达式
xdxydydx2 2y2
xdxy2ydxdxy
xxd 2 yyy2d xdarcx ytg
xdyyd xdlnxy
xy
xx2 d y y x2dd y 1 2ln x2(y2)
返回主页
一、主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程wk.baidu.com
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
高阶方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
.
5
2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形g 如 (y )d y f(x )dx 分离变量法
解法 g(y)d yf(x)dx
(2) 齐次方程 形如dyf(y) dx x
解法 作变量代换 u y x
.
6
(3) 可化为齐次的方程
形如 d yf(a xb yc) dx a1xb1yc1
.
9
解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令zy1n,
y1 nz
e (1 n )P (x)d(xQ (x )1 (n )e(1 n )P (x)dd x x c).
(6) 全微分方程
形如 P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
其中 d ( x ,y u ) P ( x ,y ) d Q ( x x ,y ) dy
.
18
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形 y ( n ) P 1 y ( n 1 如 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y p y q y 0 二阶常系数齐次线性方程 y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
形如 P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
非全微分 (P方 程 Q). y x
若(x,y)0连续可微函 数，且 可使方 程 (x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy0成为全
微分方程.则称(x,y)为方程的积分因子.
.
12
公式法:
若1(PQ) Q y x
f(x)
.
10
注意： 全微分 方 P 程 Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
x
y
u (x ,y ) x 0P (x ,y )d x y 0 Q (x 0 ,y )dy
y
x
y 0Q (x ,y)d yx 0P (x ,y 0)d x ,
通解为 u(x,y)c.
用直接凑全微分的方法.
.
11
(7) 可化为全微分方程
17
定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函
数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x) y f2(x) 的特解, 那么y1* y2*就是原方程的特解.
常数）
定 理 2： 如 果 y1(x)与 y2(x)是 方 程 (1)的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 ,那 么 yc1y1c2y2就 是 方 程 (1)的
通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
.
当 cc10 时 , 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
.
7
(4) 一阶线性微分方程
形如 d yP (x)yQ (x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法）
.
8
非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 d yP (x)yQ (x)yn (n0,1)
dx
当n0,1时，方程为线性微分方程.
当n0,1时，方程为非线性微分方程.
xx2 d yy y2dxd 1 2lnx x y y
可选用积分因子 x 1y,x 1 2,x2 1 y2,x2 1y2,y x 2,x y2等 .
.
14
3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n)f(x)型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2 )y f(x ,y )型
特点 不显含未知函数y. 解法 令yP(x), yP, 代入原方程, 得 P f(x,P (x)).
.
15
( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x. 解法 令yP(x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 Pdp f (y,P).
dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
.
16
定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解,那末yc1y1c2y2也是(1)的解. （c1,c2是
.
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微分方程解题思路
一阶方程
作 变 换
降 阶
高阶方程
作变换
分离变量法
非非
全微分方程
积分因子
变全 量微 可分
常数变易法
分方
离程
特征方程法
幂级数解法 待定系数法
.
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1、基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
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通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解．
特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解．
初始条件 用来确定任意常数的条件.
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
若1(QP) g(y)
P x y
则(x)ef(x)dx ;
则(y)eg(y)dy.
观察法:
熟记常见函数的全微分表达式，通过观察直接找出 积分因子．
.
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常见的全微分表达式
xdxydydx2 2y2
xdxy2ydxdxy
xxd 2 yyy2d xdarcx ytg
xdyyd xdlnxy
xy
xx2 d y y x2dd y 1 2ln x2(y2)
返回主页
一、主要内容
一阶方程
基本概念
类型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.可化为齐次 方程 5.全微分方程 6.线性方程
7.伯努利方程wk.baidu.com
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
待 特征方程的根 定 及其对应项
系 数
法 f(x)的形式及其 特解形式
高阶方程
可降阶方程
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
.
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2、一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形g 如 (y )d y f(x )dx 分离变量法
解法 g(y)d yf(x)dx
(2) 齐次方程 形如dyf(y) dx x
解法 作变量代换 u y x
.
6
(3) 可化为齐次的方程
形如 d yf(a xb yc) dx a1xb1yc1
.
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解法 需经过变量代换化为线性微分方程．
令zy1n,
y1 nz
e (1 n )P (x)d(xQ (x )1 (n )e(1 n )P (x)dd x x c).
(6) 全微分方程
形如 P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
其中 d ( x ,y u ) P ( x ,y ) d Q ( x x ,y ) dy
.
18
５、二阶常系数齐次线性方程解法
形 y ( n ) P 1 y ( n 1 如 ) P n 1 y P n y f ( x )
n阶常系数线性微分方程
y p y q y 0 二阶常系数齐次线性方程 y p y q y f( x )二阶常系数非齐次线性方程
形如 P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d 0 y
非全微分 (P方 程 Q). y x
若(x,y)0连续可微函 数，且 可使方 程 (x,y)P(x,y)dx(x,y)Q(x,y)dy0成为全
微分方程.则称(x,y)为方程的积分因子.
.
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公式法:
若1(PQ) Q y x
f(x)
.
10
注意： 全微分 方 P 程 Q y x
解法 应用曲线积分与路径无关.
x
y
u (x ,y ) x 0P (x ,y )d x y 0 Q (x 0 ,y )dy
y
x
y 0Q (x ,y)d yx 0P (x ,y 0)d x ,
通解为 u(x,y)c.
用直接凑全微分的方法.
.
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(7) 可化为全微分方程
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定理3 设y*是(2)的一个特解,Y 是与(2)对应
的齐次方程(1)的通解, 那么yYy*是二阶
非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4 设非齐次方程(2)的右端 f (x)是几个函
数之和, 如y P(x) y Q(x) y f1(x) f2(x) 而y1*与y2* 分别是方程,
y P(x) y Q(x) y f1(x) y P(x) y Q(x) y f2(x) 的特解, 那么y1* y2*就是原方程的特解.
常数）
定 理 2： 如 果 y1(x)与 y2(x)是 方 程 (1)的 两 个 线 性 无 关 的 特 解 ,那 么 yc1y1c2y2就 是 方 程 (1)的
通 解 .
（2）二阶非齐次线性方程的解的结构:
形 y P ( x ) y 如 Q ( x ) y f ( x ) ( 2 )
.
当 cc10 时 , 齐次方程．否则为非齐次方程．
解法 令 x X h, y Y k， 化为齐次方程．
（其中h和k是待定的常数）
.
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(4) 一阶线性微分方程
形如 d yP (x)yQ (x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的．
当 Q(x)0,
上方程称为非齐次的.
解法 齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
（使用分离变量法）
.
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非齐次微分方程的通解为
y [Q (x )e P (x )dd x x C ]e P (x )dx
（常数变易法） (5) 伯努利(Bernoulli)方程
形如 d yP (x)yQ (x)yn (n0,1)
dx
当n0,1时，方程为线性微分方程.
当n0,1时，方程为非线性微分方程.
xx2 d yy y2dxd 1 2lnx x y y
可选用积分因子 x 1y,x 1 2,x2 1 y2,x2 1y2,y x 2,x y2等 .
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3、可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y(n)f(x)型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2 )y f(x ,y )型
特点 不显含未知函数y. 解法 令yP(x), yP, 代入原方程, 得 P f(x,P (x)).
.
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( 3 )y f(y ,y )型
特点 不显含自变量x. 解法 令yP(x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 Pdp f (y,P).
dy
４、线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形 y P ( x ) 如 y Q ( x ) y 0( 1 )
.
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定理1 如果函数y1(x)与y2(x)是方程(1)的两个 解,那末yc1y1c2y2也是(1)的解. （c1,c2是