变系数线性微分方程的算子解法

于是，由以上的推导过程，我们可给出以下的定义． ·
定义２ 函数厂（ｚ）除以一阶算子的优。次幂［Ｄ一６。（ｚ）］］卅１所得结果为：
，（ｚ）／［Ｄ一６。（ｚ）］］ｍ一［Ｐ（ｚ）＋ｇ。。（ｚ）ｅ小神］
（８）
ｒ≈
Hale Waihona Puke Baidu
ｒ‘
其中Ｐ（ｚ）是一个优ｌ一１次多项式，Ｂ（ｚ）＝Ｉ ６。（ｔ）出，ｇ。１（ｚ）＝１／（ｍ。一１）！·Ｉ（ｚ
对高阶常系数线性微分方程求解,本文采用了不同于一般教科书上的传统方法,如特征方程法,待定系数法,也不同于算子法,而是给出高阶常系数线性 微分方程的直接积分公式.利用直接积分公式可直接得到非齐次方程的通解, 利用直接积分法确定齐次通解,实际上可以成为特征方程法的理论依据.对于 高阶变系数线性微分方程,如果能实现对线性微分算子的因式分解,则可能通过解联立的一阶线性微分方程组对原方程的解建立直接积分公式.
为： （Ｄ＋１／ｚ３·，）（Ｄ＋ｚ，）ｙ＝２ｚ＋１／卫＋ｌ／ｚ３
由（８）得到
（Ｄ＋ｚＪ）ｙ：ｒ（２￡＋１／￡＋１∥３）ｅ１１脚如出ｅ—Ｊ？１７ｒ３出
Ｊｃ
上式进行计算可得：
（Ｄ＋ｚ』）３，＝Ｂｅｌ，２。２＋１＋∥ 再次利用（８）得到：
ｊ，：ｒ（Ｂｅ·伽ｚ＋１十ｆｚ）ｅ丘也出．ｅ—Ｐｍｒ
上式进行计算最后得到已知微分方程的通解为：
万方数据
万方数据
万方数据
万方数据
７期
方书盛：变系数线性微分方程的算子解法
１６３
假设公式（７）对是一１成立，则对于是，我们有： Ｄ‘［ｅ。‘。’ｙ（ｚ）］一Ｄ｛Ｄ卜１［ｅ似神ｙ（ｚ）］｝＝Ｄ｛ｅ州曲［Ｄ＋◇１（ｚ）］卜１ｙ（ｚ））
一ｅ。‘７’西１（ｚ）｛［Ｄ＋①１（ｚ）丁一１ｙ（ｚ）｝＋ｅ州ｄＤ｛［Ｄ＋①１（ｚ）］卜１ｙ（ｚ）） ＝ｅ州ｄ［Ｄ＋①１（ｚ）］｛［Ｄ＋①１（ｚ）］卜１ｙ（ｚ）） 一ｅ似曲［Ｄ＋０１（ｚ）·Ｊ］‘ｙ（ｚ） 于是公式（７）对是成立．由归纳法的步骤，证明了公式（７）对所有的五一ｏ，１，２，…，咒成立． 利用算子指数位移公式，可逐次消去微分算予的研次幂，最后得到已知微分方程的通 解，这种方法称为算子指数位移法．这种方法的具体过程可推导如下：
一￡）一１厂（￡）ｅ邯“’ｄ￡，且ｃ为任意常数． 例５用算子解法求以下微分方程的通解． Ｘ３ｙ１１＋（ｚ‘＋１）ｙ１＋ｚ（ｚ２＋１）ｙ＝２２４＋ｚ２＋１， ０＜ｚ＜ｏ。 解 已知微分方程可加以改写并用算子形式表示为： ［Ｄ２＋（ｚ＋１／ｚ３）Ｄ十（１＋１／ｚ２）］ｙ＝２ｚ＋１／ｚ十１／ｚ３ 由例１已得到方程左边的微分算子可分解为（Ｄ＋１屈３·Ｊ）（Ｄ＋ｚ，），从而已知方程变
ｙ＝ｌ Ａ＋ＢＩ ｅ１＋“化咄出Ｉｅ一观化＋ｚ
Ｌ
Ｊｃ
Ｊ
例６用算子法求微分方程
ｙ１１１—３ｙＨ＋３ｙ１一ｙ＝ｅ。／ｚ， Ｏ＜ｚ＜ｏ。的通解
解 已知方程可用微分算子的形式表示为：
（Ｄ３—３Ｄ２＋３Ｄ—Ｊ）ｙ＝ｅ。／ｚ
方程左边的算子可分解为（Ｄ—ｊ）３，从而得：
（Ｄ一，）３ｊ，＝ｅ。／ｚ
由式（８）可得已知方程的通解为：
(三)．第四章分为三个部分，第一部分推广Hirota方法，以Boussi-nesq方程作为例子详实地介绍如何求得其新的精确解-周期波解，并以图示分析 研究Boussinesq方程周期波解的一些性质；第二部分用同样的方法得到(2+1)维Boussinesq方程的周期波解，并通过长波极限法求得其有理解；最后部分 是总结与讨论。
(一)．第二章首先给出双线性微分算子的定义及其基本性质。其次详细推导变系数KP方程Hirota形式的N-孤子解．然后构造变系数KP方程的双线性 Backlund变换、非线性叠加公式和Lax对。
(二)．第三章首先介绍孤子方程的Wronskian形式解，其中包括Wronskian的有关性质和推导变系数KP方程的Wronskian行列式解。其次给出关于 Pfaff式的基本性质，并求解变系数KP方程的Grammian行列式解，其证明过程中的解是由Grammian型的Pfaffian表示。
求解孤子方程的精确解一直是孤子理论中非常重要的问题。本文的研究从解的Hirota形式、Wronskian和Pfaffian等多种表示形式到精确解的推导两 个方面着手，充分说明了双线性方法是孤子方程精确求解的强有力工具。又将Hirota双线性方法，Wronskian技巧与Backlund变换等求解方法的多样性和 孤子方程的统一性有机地联系在一起，从而挖掘出更多的孤子本质属性。主要工作具体如下：
引证文献(1条)
1.化存才 线性常微分方程(组)的算子方法介绍及其研究展望[期刊论文]-数学的实践与认识 2006(06)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_sxdsjyrs200407028.aspx
下载时间：2010年5月24日
Ｊｃ
Ｊｃ
Ｊｃ
＝１／（２—１）！·Ｉ（ｚ一￡）２－１９０（￡）ｄ‘
假设肌一，（ｚ）＝１／（点一２）！·Ｉ（ｚ一￡）卜２９。（￡）ｄ￡，那么利用二重积分的性质可得到：
ｇｇ·＾（（。ｚｃ））＝＝＝Ｉｆｇ·ｇ一Ｉ—。（ｌｔ（）￡ｄｚ＝）＝ｄ１￡／（＝是１／——（是２）！一·２ｊ？）：！·［ｊ！Ｉ（｝ｔＩ—（—￡·一ｒ）ｚ‘）一‘２一鲁ｉ２。９０（。（ｚｒ））ｄｄ。ｚ ｃ］Ｉｄｄ￡ｔ
相似文献(3条)
1.期刊论文 贾尔肯.沙吾列 三阶线性微分算子的分解及其应用 -昌吉学院学报2005(3)
本文利用二阶线性微分算子的分解思想,讨论三阶线性微分算子的分解,并应用来求解一类三阶变系数线性微分方程,将本文的主要结果由二阶推广到 三阶.
2.期刊论文 彭如海 高阶线性微分方程的直接积分 -华东船舶工业学院学报(自然科学版)2003,17(3)
ｙ—ｅｚ／ｚ／（Ｄ一＿『ｊａ：ｆ－Ａｚｚ十Ｂｚ＋ｃ＋１／２广（ｚ一￡）ｚｅｒ厶．ｅ—Ｐ如出］ｅＰｄｆ
万方数据
万方数据
变系数线性微分方程的算子解法
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)： 引用次数：
方书盛 汕头市濠江区达濠第二中学,汕头,515071
数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY 2004，34(7) 1次
设Ｑ（ｚ·Ｄ）＝［Ｄ一６。（ｚ），］蝌２…［Ｄ一６ｐ（ｚ），］哪，并设Ｂ（ｚ）＝Ｉ ６－（ｆ）ｄ￡，其中ｃ为
任意常数，则已知微分方程（Ｉ）可改写为： ［Ｄ一６，（ｚ）］砒Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ＝厂（ｚ）
由公式（７）有： Ｄｍｌ［ｅ一刷一Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ］一ｅ一烈神［Ｄ一６ｌ（ｚ）ｍ１］Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ
从而得到： Ｄ砒［ｅ一烈神Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ］＝厂（ｚ）ｅ一瞰神
ｇ。１（ｚ）一１／（ｍｌ一１）！·ｌ（ｚ一￡）”１—１厂（￡）ｅ一小幻ｄ￡
我们用归纳法来证明，由ｇｔ（ｚ）一Ｉ ｇ。（ｔ）出，利用定积分的分部积分法得到：
ｇ：ｃｚ，＝ｆｇ。ｃｒ，ｄｔ—Ｊ．：［ｆｇ。ｃｚ，ｄｚ］ｄｔ
—一￡ｔｌｆｇｇｏｏ（（ｚｚ））ｄｄｚｚＩ；Ｉ；一一Ｉ ｆ坩ｔｄＩｆ
Ｊｃ
●ｃ
Ｊｃ
ｇ。（ｚ）ｄｚ＝ｚｆ２９。（￡）ｄ￡一ｆ￡ｇ。（ｔ）ｄ￡：ｆ。（ｚ—ｆ）ｇ。（￡）ｄ￡
Ｊｆ
Ｊｆ ＬＪｆ
Ｊ
ｒｚ
ｎ
＝１／（愚一２）！·Ｉ ｇｏ（ｔ）ｄ￡ｌ（ｚ—ｆ）‘一１ｄｚ
万方数据
１６４
数学的实践与认识
３４卷
ｆ［一（ｃ— ￡）卜１肛一１］ｇｏ（￡）ｄｔ
由常数ｆ的任意性可得到：
ｒ（ｆ—ｆ）卜 １９０（￡）出
Ｊｏ
ｆ。（ｚ一￡）ｔ—
Ｊ‘
ｇ。ｌ（ｚ）一１／（优ｌ一１）！·ｌ（ｚ—ｆ）“１—１厂（￡）ｅ一默。’ｄ￡
于是
ｅ一烈¨Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ＝Ⅱ…ｐ（ｚ）ｅ一州神ｄｚｍｌ—Ｐ（ｚ）＋ｇ。，（ｚ）
其中Ｐ（ｚ）是一个研。一１次的多项式，而ｇ。。（ｚ）可由ｇｏ（ｚ）＝，（ｚ）ｅ川ｈ’，且肌（ｚ）＝
ｌ西一ｌ（￡）ｄ￡，使得对于五＝ｏ，１，２，…，ｍｌ，有Ｄ‘ｍ（ｚ）＝ｇ。（ｚ）得到，于是我们有
可以证明
Ｑ（ｚ·Ｄ）ｙ一［Ｐ（ｚ）＋ｇ。１（ｚ）］ｅ瞰７’
参考文献(4条) 1.艾利斯哥尔兹ЛЭ 微分方程 1961 2.黎耀善 二阶线性微分算子的分解及其应用 1989(2) 3.Ramankutty P The complementary funtion and the general solution 1991(2) 4.Krasnov M L.Kiselyov A I.Makarenko G I A Book of Problems in Ordinary Differential Equations 1983
3.学位论文 叶灵娅 双线性方法在几类波动方程中的应用 2007
本论文主要利用Hirota双线性方法来研究孤子方程的若干问题，特别是精确求解问题．内容主要涉及：构造和求解变系数KP方程及其可积性，如双 线性Backlund变换、非线性叠加公式等；推导变系数KP方程多孤子解的Wronskian和Grammian行列式表示；推广Hirota方法，研究几类波动方程新的精确 解-周期波解。