双曲线的定义与标准方程

【课题】7.7.1双曲线的定义与标准方程

【教学目标】

知识目标：

⑴使学生从发现、发展的角度理解和掌握双曲线的定义、焦点、焦距等基本概念；

⑵了解双曲线的标准方程的两种形式及其推导过程；

⑶能根据条件确定双曲线的标准方程．

能力目标：

⑴在概念形成的过程中,培养学生发现能力及分析、归纳的逻辑思维能力；

⑵了解借助《几何画板》探究动点轨迹的操作方法．

【教学重点】

⑴掌握双曲线的定义及双曲线的标准方程；

⑵能根据条件，用待定系数法和定义法确定双曲线的标准方程．

【教学难点】

⑴双曲线的标准方程的推导．

⑵用待定系数法求解双曲线的标准方程．

【教学设计】

⑴通过生活中的实物引入课题，并通过动手实验让学生亲自体验并总结出双曲线的定义，让学生带着兴趣学习，提高教学效果．

⑵引导学生根据双曲线定义恰当的选择坐标系，推导双曲线的标准方程，感知数学的数形结合思想，提高学生的推理论证能力；

⑶通过合作练习，发挥学生的主体作用，并根据学生的年龄特点和学生对知识的掌握程度，力求做到因材施教，在问题的思考、交流、解决过程中培养和发展学生的思维能力．【教学备品】

教学课件、实验用品（图钉、无弹性的细线、素描纸、侧面带孔的空心圆管）

【课时安排】

1课时．(45分钟)

【教学过程】

过程行为行为意图间

观察图片：观察花瓶和发电厂冷却塔的图片．

提出问题：它们的剖切面的轮廓近似什么曲线?

动手实验：

首先将两根细绳（长度为22cm和16cm）一端固定在一起，另一端按同一方向穿过空心小圆管侧面的小孔，用图钉将绳子两端分别固定在素描纸上的两个定点F1、F2处．将笔插在空心小圆管上，拉紧绳子，移动笔尖，画出一只曲线．再将绳子两端交换固定，重复作图，画出另一支曲线．我们将这种曲线称为双曲线．

思考

（1）如果把笔尖看成点M，那么|MF1|与|MF2|的差的绝对值是常数吗？

（2）||MF1|－|MF2||与|F1F2|的大小关系？

归纳

双曲线上的点M满足０＜||MF1|－|MF2||＜|F1F2|播放

课件

说明

解释

引导

分析

归纳

观看

课件

思考

作图

分析

求解

思考

学生

自然

的走

向知

识点

引导

学生

动手

作图

通过

分析

让学

生体

会双

曲线

上的

点M

满足

的条

件，

引出

定义10

*动脑思考探索新知带领

过程行为行为意图间概念

平面内到两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|且不等于0）的点的轨迹叫做双曲线．两个定点F1、F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做焦距．标准方程推导

⑴建系：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy．

⑵设点，列条件：设M（x，y）是双曲线上的任意一点，双曲线的焦距是2c（c＞0），那么点M到F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a，则有

|MF1|－|MF2|＝±2a．

⑶列式：

由两点间的距离公式可得

|MF1|＝(x＋c)2＋y2，|MF2|＝(x－c)2＋y2，

所以(x＋c)2＋y2－(x－c)2＋y2＝±2a，

⑷化简：

化简得

（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2）．

由双曲线的定义可知2c＞2a，即c＞a，所以c2－a2＞0 ，设c2－a2＝b2（b＞0），则有b2x2－a2y2＝a2b2，两边同时除以a2b2，得

（1）归纳

说明

引导

学生

推导

双曲

线的

标准

方程

思考

理解

推导

学生

总结

双曲

线的

定义

充分

讲解

双曲

线的

标准

方程

的推

导过

程四

步骤

数形

结合

x2 a2－y2

b2＝1（a＞0，b＞0）

过程行为行为意图间

反之，我们可以证明，以方程（1）的解为坐标的点都在双曲线上．我们把这个方程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（－c，0），F2（c，0）．其中c2＝a2＋b2．

焦点在y轴上的双曲线的标准方程：

若双曲线的两个焦点所在的直线为y轴，焦点是F1（0，－c），F2（0，c），只要将方程（1）中的x，y互换，就可以得到它的方程为

（2）

概念辨析：

（1）双曲线的标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；（2）双曲线的标准方程中，如果x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

（3）双曲线标准方程中a、b、c的关系是c2＝a2＋b2，不同于椭圆方程中c2＝a2－b2．强调

引导

强调

记忆

理解

理解

总结

焦点

在y

轴上

的双

曲线

的标

准方

程

通过

概念

辨析

使学

生深

刻理

解定

义

20

y2 a2－x2

b2＝1（a＞0，b＞0）