柱体、锥体、台体的表面积与体积习题.

解：方法 2：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的 四 棱 柱 ADD′A′—BCC′B′ ， 设 它 的 底 面 ADD′A′面积为 S，高为 h，则它的体积为 V＝Sh. 1 而棱锥 C—A′DD′的底面面积为 S，高为 h， 2 因此棱锥 C—A′DD′的体积 1 1 1 VC— A′ DD′＝ × Sh＝ Sh. 3 2 6 1 5 余下的体积是 Sh－ Sh＝ Sh. 6 6 所以棱锥 C—A′DD′的体积与剩余部分的体积之比 1 5 为 Sh∶ Sh＝1∶5. 6 6
类题训练 4 如图所示，在长方体ABCD—
A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C—
A′DD′，求棱锥C—A′DD′的体积与剩余部分
的体积之比．
解：方法 1：设 AB＝a，AD＝b，DD′＝c， 则长方体 ABCD—A′B′C′D′的体积 V＝abc， 1 又 S△ A′DD′＝ bc，且三棱锥 C—A′DD′的高为 2 CD＝a. 1 1 ∴ V 三棱锥 C—A′DD′＝ S△ A′D′D· CD＝ abc. 3 6 1 5 则剩余部分的几何体积 V 剩＝abc－ abc＝ abc. 6 6 1 5 故 V 棱锥 C—A′ D′ D∶V 剩＝ abc∶ abc＝1∶5. 6 6
4. 三棱台 ABC － A1B1C1 中， AB∶A1B1 ＝ 1∶2 ，
则三棱锥A1－ABC，B－A1B1C，C－A1B1C1的体
积之比为(
)
B．1∶1∶2
A．1∶1∶1
C．1∶2∶4
D．1∶4∶4
解：设棱台的高为 h，S△ ABC＝ S，则 SA1B1C1 ＝4S. 1 1 V ∴ 三棱锥A1 ABC ＝ S△ ABC· h＝ Sh， 3 3 1 4 V三棱锥C A1B1C1 ＝ SA1B1C1 · h＝ Sh. 3 3 1 7 又 V 台＝ h(S＋4S＋2S)＝ Sh， 3 3 ∴ V三棱锥B A1B1C ＝V 台－V三棱锥A1 ABC － V三棱锥C A1B1C1 7 Sh 4Sh 2 ＝ Sh－ － ＝ Sh. 3 3 3 3 ∴体积比为 1∶2∶4.∴应选 C.
3.一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
( )
A．280
B．292
C．360
D．372
Baidu Nhomakorabea
解析： 该几何体的直观图如图，则所求表面
积为 S 表 ＝ 2×(2×8 ＋ 8×10 ＋ 2×10) ＋ 2×(8×6
＋8×2)＝360，故选C.
答案：C
类题训练 3.已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC
＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面
ABCD内，过C作l⊥CB，以l为轴将梯形ABCD旋转一 周，求旋转体的表面积．
[解] 如图所示，该几何体是由一个圆柱、一个圆锥构成 的． 在直角梯形 ABCD 中，AD＝a，BC＝2a，AB＝(2a－ 2a－a DD′ DC a)· tan60° ＝ 3a，DC＝ ＝2a，又 ＝ ＝ a. cos60° 2 2 则 S 表＝S 圆柱全＋S 圆锥侧－S 圆锥底＝2π· 2a· 3a＋2π· (2a)2＋ π· a· 2a－πa2＝(9＋4 3)πa2.
2009· 天津高考 下图是一个几
何体的 三视 图． 若它 的体 积是 3 3 ，则 a ＝ __________.
解析：由三视图知该几何体的直观图为直三 棱柱． 其中△ ABC 是以 BC＝ 2 为底的等腰三角形， 1 CC1＝ 3，∴ V＝ S△ ABC×3＝ ×2×a× 3＝ 3 3.故 a 2 ＝ 3.
柱体、锥体、台体的表面积与 体积习题课
1．如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形 的直角边长均为 1，那么几何体的体积为( )
A．1
1 B. 2
1 C. 3
1 D. 6
解析：该几何体是四棱锥，如图所示， 1 1 则该四棱锥的高为 1，体积为 ×1× 1× 1＝ . 3 3
答案：C
类题训练 1
答案： 3
2.圆锥的侧面展开是圆心角为120°，面积为3π 的扇形，求这个圆锥的表面积与体积．
解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l， 120 2 则扇形的半径也为 l，于是有 πl ＝3π，l＝3； 360 2π ×3＝2πr，r＝1.所以 S 表面积＝S 侧面＋S 底面＝πrl 3 ＋πr2＝4π.