运筹学02.4对偶问题的经济意义-影子价格
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max ( LP ) : s.t. z = cT x Ax = b x≥0
min ( DP) : s.t.
f = bT y AT y ≥ c
设利用单纯形法求解 (LP )最终得单纯形表为
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运筹学
Operations Research
B −1b T , 最优值为cxT = cB B −1b. 则最优基为B，最优解为x = 0
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运筹学
Operations Research
∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
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Operations Research
T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
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运筹学
min s. t.
Operations Research
(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定为y1 , y2 , y3 ,
f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 y1 y1 + 2 y2 + y2 ≥ 50 + y3 ≥ 100 y1 , y2 , y3 ≥ 0
影子价格的数学意义：
y i 表示由bi的单位改变量所引起的最优值的改变量.
证： …….▌
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运筹学
Operations Research
例1（生产计划问题）某厂计划利用A，B，C三种原料生产两种产品Ⅰ， Ⅱ，有关数据见下表：
问：（1）该厂应如何安排生产计划，才能获利最大？ （2）求三种原料的影子价格，并解释其经济意义. （3）若某公司欲从该厂购进这三种原料，问该厂应如何确定三种原 料的价格，才能使得双方都能接受？
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Operations Research
解：（1）设生产产品Ⅰ，Ⅱ的数量分别为 x1 , x2 ,
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0 化为标准形
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 + x3 = 300 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3 .
T 令y = (cB B −1 )T ，则y是( DP)的最优解，且( LP )和( DP)的最优值 T 均为cT x = bT y = cB B −1b.
T ( LP)的影子价格 : y = (c B B −1 ) T
( LP)关于bi的影子价格 : y = ( y1 , y 2 , L , ym )T 的第i个分量 yi .
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运筹学
Operations Research
§2.4
over
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影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
运筹学
Operations Research
§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
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运筹学
Operations Research
影子价格（shadow price）是20世纪50年代分别由荷兰数理经济学 家 、 计 量 经 济 学 家 Jan Tinbergen 和 前 苏 联 经 济 学 家 、 数 学 家 Kan来自百度文库orovitch提出的. 影子价格概念最早源于数学规划. 给定标准形线及其对偶问题
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
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运筹学
Operations Research
例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.
min ( DP) : s.t.
f = bT y AT y ≥ c
设利用单纯形法求解 (LP )最终得单纯形表为
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B −1b T , 最优值为cxT = cB B −1b. 则最优基为B，最优解为x = 0
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∴ 原线性规划问题的最优解为(50,250)T .
故产品Ⅰ，Ⅱ的产量分别为50，250即可满足要求.
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T T (2)由最终的单纯形表得影子价格为 y = ( y1 , y2 , y3 ) = (50,0,50) .
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min s. t.
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(3)设该厂将A, B, C三种原料的价格分别定为y1 , y2 , y3 ,
f = 300 y1 + 400 y2 + 250 y3 y1 y1 + 2 y2 + y2 ≥ 50 + y3 ≥ 100 y1 , y2 , y3 ≥ 0
影子价格的数学意义：
y i 表示由bi的单位改变量所引起的最优值的改变量.
证： …….▌
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例1（生产计划问题）某厂计划利用A，B，C三种原料生产两种产品Ⅰ， Ⅱ，有关数据见下表：
问：（1）该厂应如何安排生产计划，才能获利最大？ （2）求三种原料的影子价格，并解释其经济意义. （3）若某公司欲从该厂购进这三种原料，问该厂应如何确定三种原 料的价格，才能使得双方都能接受？
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解：（1）设生产产品Ⅰ，Ⅱ的数量分别为 x1 , x2 ,
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 ≤ 300 2 x1 + x2 ≤ 400 x2 ≤ 250 x1 , x2 ≥ 0 化为标准形
max z = 50 x1 + 100 x2 s. t. x1 + x2 + x3 = 300 ( LP ) : 2 x1 + x2 + x4 = 400 x2 + x5 = 250 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
取初始可行基 B = ( P3 , P4 , P5 ) = I 3 .
T 令y = (cB B −1 )T ，则y是( DP)的最优解，且( LP )和( DP)的最优值 T 均为cT x = bT y = cB B −1b.
T ( LP)的影子价格 : y = (c B B −1 ) T
( LP)关于bi的影子价格 : y = ( y1 , y 2 , L , ym )T 的第i个分量 yi .
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§2.4
over
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影子价格 y1 = 50的经济意义：原料 A的供应量 b1增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
影子价格 y 2 = 0的经济意义：原料 B的供应量 b2增加1个单位
时，最大利润将不变化 . 影子价格 y3 = 50的经济意义：原料 C的供应量 b2增加1个单位 时，最大利润将增加 50个单位.
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§2.4 对偶问题的经济意义 -影子价格
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影子价格（shadow price）是20世纪50年代分别由荷兰数理经济学 家 、 计 量 经 济 学 家 Jan Tinbergen 和 前 苏 联 经 济 学 家 、 数 学 家 Kan来自百度文库orovitch提出的. 影子价格概念最早源于数学规划. 给定标准形线及其对偶问题
此线性规划问题恰是(LP)的对偶问题，其最优解为
y = ( y1 , y2 , y3 )T = (50,0,50)T .
故该厂只需将三种原料的价格分别定为50，0，50，双方 即可都能接受.▌
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例2 给定线性规划问题 max z = 2 x1 + 3x 2 + x3 s. t. x1 + x 2 + x3 ≤ 3 x1 + 4 x 2 + 7 x3 ≤ 9 x1 , x 2 , x3 ≥ 0 （1）利用单纯形法求解此线性规划问题； （2）计算影子价格，并分析其经济意义.