几何分布和负二项分布高阶矩的递推公式

１ 预 备 知识
，
、
Ｙ一∑Ｘ，
＝ １ ２， ， ， … ．
定义 ｉ幻 设 Ｘ 是 随机 变量 ， 果 Ｘ 的分 布 ｒ 如
其 中 Ｘ Ｘ２ … ， ， ， Ｘ 相互 独立 ， 且
Ｘ ｆ ｇ（ ， ～ ｐ）
Ｐ ｘ＝ 五 （ ）一 口 ， 卜 Ｐ
其 中
０＜ Ｐ ＜ １， ｑ＝ １一 Ｐ， ｋ ＝ １ ２， ， ， …
０＜ Ｐ ＜ １ ， ｑ一 １一 ｐ’
Ｅ ∑ Ｅ ｘ Ｘ一 ｘＥ 一 ＋
， Ｉ ０ ｌ
÷Ｅ ｘ
（ ≥ ２． ， ） ｚ
忌 ＝ ，，＋ １ ｌ ２，… ， ｌ ，，＋
证 明 由引理 １ 可得 Ｘ 的特 征 函数 （）对其 ，
关于 ｔ 导， 求 有
则称 Ｘ 服从 负二 项 分布 ． 为 Ｘ ～ Ｂ ） 记 一（ ， ．
Ｃ Ｅ Ｘ。 ＋ Ｌ 。 ｌＸ Ｅ 一 Ｅ Ｘ
，
Ⅸ
一
ｑ
。
ｐ Ｅ Ｅ Ｅ ２＋÷ ｘ ＝ Ｘ ＋６Ｘ． Ｘ） Ｅ 。 （ ａ
（ Ｐ ＋ ） Ｐ ＝ 。 。 。 ， Ｐ ＋ 。
（ １＋ １ ｑ＋ １ ｑ ＋ ｑ ） １ １。 。．
将 其代 入前式 即知定 理 １成立 ．
Ｔ
Ｔ
显 然此极 限也 与 ｂ值相关 ， 原极 限也 不存在 ． 故 此外 ， 有理分 式 函数 的极 限
［ ］吴传生 ， ２ 陈盛 双， 典安 ， 经济 数学 ： 管 等． 微积分［ ．北 Ｍ］
京： 高等教育 出版社 ， ０ ３ ３ ６ ２ ０ ：１ ．
Ｏｎ ｔ ｎ ｅ ｉｔ ｎｃ ｆＤｏ ｂ ｅ Ｌｉ ｉｓ ｈｅ Ｎｏ － ｘ ｓ ｅ ｅ ｏ ｕ ｌ ｍ ｔ
Ｙ ＝ （ ＋ Ｘ２＋ … ＋ Ｘ ＝ Ｘ１ ）
所 以
ＥＹ ＝ ３ ＥＸ — ３
，
¨
＋ ＾！Ｉ ｎ ｆ 橐． ！ ’ ２． 一 耳 ．
ｋ
ｋ
ｋ
一
ｋ ＋ｋ ２
∑
赢 垂 一
一 （ Ｅｙ） 。＝ ，
两边取 期望 ， 注 意 到 Ｘ Ｘ。 … ， 并 ， ， Ｘ 的独立 性 ， 即 得定理 ２成 立．
。
Ｙ一∑ ， ，
其 中 Ｘ ， ， ， 相 互独 立 ， Ｘ。 … Ｘ 且
ｐ
Ⅱ
ｐ
．
ＥＸ 。一 ｌ＋ ｑ
ｘＪ ｇ ｐ ， ～ （ ）
这 里不妨记
一 １２ ・ ＇ ． ， ，． ， －１
ＥＸ 。
隧
，
，
ＥＸ ＝ Ｅ ． Ｘ
当 ｋ≥ ２时 ， 利用 多项 式定 理有
＝
ｃ ｌ ∑
Ｃ
ｇ— ｐ
Ｐ‘
∑
Ｅ Ｘ３一 旦 ’
Ｐ
－
ＥＸ ＥＸ ＋ ￣ＥＸ 一
Ｐ
＿ ＿
一 夕
ｉｔ ［ ∽ ， ｑ） １ ￣∽ ＋ ］ ＂ －
／
．
ｑ
－
（ ＥＸ２＋ ２ ＥＸ ．ＥＸ ）＋ ｔ ＥＸ。＝
Ｐ
从 而有
卜 Ｄ
（
，
Ｏ ．
（ ＋ ） １ｌｑ 多十 ・ 一 ＋
墨 ± 旦 ２ 旦 ＋ ！ ±
Ｐ 。 。Ｐ 。
Ｐ
±望 一
± 垡 ： ± 垡
Ｐ。
’
（ 下转 第 ２ ８页）
高 等 数 学 研 究
２１ ０ １年 ３月
是不存在的． 这是因为 ， ｚ 沿二次 曲线 ｓ 当（ ，） 趋近
于（ ， ）时 ， ＯＯ 有
ｉ ）＋ ” ［ ∽ ＝
１ ６
高 等 数 学 研 究
２１ ０ １年 ３月
Ｏ
Ｅ Ｐ ｘ十Ｐ ｘ＝墨 ＋ １＝ Ｘ ＝ｑＥ 。 Ｅ ｌ Ｐ‘ ＝ ‘ ＝
，
ｃ ｌ ∑ Ｃ
Ｄ
，
ｉ－ ［ ∽ ｑ１ １ ￣∽ ＋ ］ （ － － ）
旦 夕
ｉ ＋ ｉ ） ｉ）＋ ． ） ￡ ［ ∽． － １ ］
利 用 Ｌ ｉｎｚ ｅｂ ｉ公式 ， ／≥ ２时 ， 当 ＇ ／ 得 （）的 阶导数
９ ｔ 一 ［ ］ （ ） （ ‘ ＝ ） ’
究． ｍ ｉ ｃｅ ｇ ａ 备ｈ Ｔ０ ａ ｏ ．ｏ ． ｎ Ｅ ａ ｈ ｎ ｕ ｌ ｓ ｕ ６ ＠ｙ ｈ ｏ ｃｍ ｃ ． ｌ ｊ ｉ
基金项目： 江苏省教育厅 自然科学基金资助项 目（ ５ Ｊ Ｉ ０ １ ） ０ Ｋ Ｂ １ ０ ２ 作者简介 ｔ 王新利（ ９ ５ ） 女 ， １ ５ － ， 江苏淮安 人 ， 教授 ， 副 从事 基础数学 研究． ｍａｌｘｎｉ Ｅ ｉ ｉｌ ｌ —ｗａｇ ５０ ６ ．Ｏ ｎ ５ １ ＠１ ３ Ｃ１． 陈光曙（ ９ １ ） 男 ， １ ６ － ， 江苏沭 阳人， 教授 ， 事概率统计研 从
引理 ２。 设 随机 变量 Ｘ有 ｚ Ｅ 阶矩存 在 ， Ｘ的 则
特 征 函数 ９ ￡ （）可微 分 Ｚ ， 对 ｋ≤ ｚ有 次 且 ，
“（ ） ？ Ｘ ． ’ｏ 一 Ｅ
引理 ３ ［ 设 ｙ是 随机变 量 ， Ｙ～ Ｂ ， ） 则 一（ ｐ
的充 分必要 条 件是 ｙ可 分解 为 ，个独立 几何分 布 的 ｚ 随机 变量 的和 ． 即
王 新 利 ，陈光 曙
（ 江苏财经职业技术学院 ， 苏 淮安 ２ ３ ０ ） 江 ２ ０ ３
摘
要 给出几何分布 、 负二项分布高阶矩的递推公式．
文 献 标 识 码 Ａ 文 章 编 号
关键 词 几何分布 ｌ 负二项分布 ＃ 递推公式 Ｉ 高阶矩
中圈 分 类 号 Ｏ２ １ １ １．
２ 几 何 分 布 、 二 项 分 布 高 阶 矩递 推 公 式 负
定理 １ 设 随机 变 量 Ｘ ～ ｇ ） 则 （ ，
则 称 随机变量 Ｘ 服从几 何 分布 ， 为 Ｘ ～ ｇ ｐ ． 记 （） 定义 ２。 设 Ｘ 是 随机 变量 ， ［ 如果 的分 布
Ｐ（ 一 忌 Ｘ ）＝ Ｃ ｇ ， ｝ ｈ 其 中 是 正 整数 ， 且
ＹＡＮ ｏ — ｉ Ｈ ｎｇ ｘ ａ
（ ｐ ｒ ｎ ｆ ｃ ｎｅａｄ Ｔｅｈ ｏｏ ｙ Ｃｈｎ ｉｅｓ ｙｏ ｏｉｃｌＳ ｅ ｃ ｎ ａ Ｄｅａｔ ｔ ｉ ｃ ｎ ｃ ｎ ｌｇ ， ｉａＵｎｖｒｉ ｆＰ ｌｉ ｄ ｎｅａ ｄＬ ｗ， ｍｅ ｏ Ｓ ｅ ｔ ｔａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ａ ｙ ｔ ｅ ｔｆ ｈ ｏ － ｘｓｅ ｃ ｆｄ ｕ ｌ ｉ ｔ ｏ ｅ ｔ ｉ ａ ｉｎ ｌｆ ｎ ｔ ｎ ｓｒ ｃ ： ｗａ ｏ ｃ ｒｉ ｔ ｅｎ ｎ ｅ ｉｔ ｎ ｅｏ ｏ ｂ ｅｌ ｙ ｍｉｓｆ ｒｃ ｒａｎ ｒ ｔｏ ａ ｕ ｃ ｉ ｓ ｏ
Ｄ ．Ｅｙ３ ． 解 利 用 宗 弹 ２可 知
一
其 中随机 变量 Ｘ ～ ｇ ｐ ． （） 证 明 因为 ｙ～ Ｂ ， 夕 ， 一（ｚ ） 由引理 ３知 ，
∑
＾“ ２ ３ ｔ １ 一
０ ≤ ， ， ≤
其 中 Ｘ ～ ｇ ） 由例 １ （ ． 知
ＥＸ ：
‘ 拙
南
＝ Leabharlann ＝ 以证明二 重极 限
（ ． 一 （ ， ） ‘十 ｚ ００ Ｚ
．
Ｖ
并不存 在．
冠菪
ｌ ｉ ａ ｒ
。 ｚ
＝
一
．
参 考 文 献
（ｘ＋ ｂ ｊ ａ ）
２ ￣
、
［ ］华东师范大学数学系．数 学分析 ： １ 下册［ ． Ｍ］ ２版． 北京 ：
高等教育 出版社 ，１ ９ ：２ ． ９１１９
０ Ｉ ｔ２ ｔ ≤ ２ ≤ ｌ Ｉ －３ －
３ ＥＸ 。 ６ Ｅ ） ＝ ＋ （ Ｘ 。＝ １（ ＝ ９＋ ３ ｑ， ） ＤＹ 一
注 ２ 要计 算 负二 项 分 布高 阶矩 ， 只需 利 用 定 理 １ 求 出相应 的几 何 分布 的各 阶矩 ， 先 再利 用定 理 ２
即可求 出．
注 １ 定 理 １给 出了几何 分布 的 随机变 量高 阶
矩 的递 推公式 ， 其高 阶矩 可 由低 阶矩确定 ． 定理 ２ 设随 机变 量 ｙ ～ Ｂ ， ） 则 一（ 户 ，
Ｅｙｋ
＾ ＊ 。 … ｃ １ ２ ＋ ＋／ Ｉ： ｚ； ：
例 ２ 设 随 机 变 量 ｙ ～ Ｂ （ ， ， Ｅｙ ， 一 ３ ） 求
卜
Ｏ
＋
ｉ ”）＋ （ｊ （ｌ ｏ， “ ｏ１ ｒ ）
＋ （ ）一 ｉ Ｏ ＥＸ “ ， ‘ （ ）＝ ｉ ‘ Ｏ ’ ‘ ＥＸ ， ‘ 一 （ ）一 ｉ ’ ’ Ｏ ． 一ＥＸ 一 ， － 一
旦 Ｐ
＋
Ⅱ 由
Ｅ Ｘ
， ＾＝ ０
，
根 据 引理 ２可 知
负二 项分 布在排 队论 、 可靠性 、 以及群 团型 生态 格局
证明 ９ｔ一Ｅ 一∑ｅｑ ＝ （ ） ｅ ‘卜Ｐ
予
卫
詈 ｑ （ ｅ
垡： 一 垒 呈
１一 ｑｅ ’ “
ｑ １一 ｑｅ‘
等方 面都是 典型 理论 分 布 之 一 ． 因此 ， 何 分 布 、 几 负 二 项 分布 的研究 受 到学 者 的广 泛 注 意 ． 文 ［］给 如 １ 出 了负二项 分布 的分 解 定 理 ． 文 利 用 特征 函数 给 本 出 了几何分 布 的高 阶矩 的递 推 公 式 ． 用 负二 项 分 利 布 的分解 公 式得 到 了负二项 分 布 的高 阶矩 的递推 公 式． 它们 有着 相 同的特 点 ： 阶矩确 定高 阶矩 ． 低
弓理 １ 设 Ｘ ～ ｇ 夕 ， Ｘ 的特征 函数为 Ｉ （ ）则
’
＝ ＋ 游＝
丝 １
一 ｑ 。Ｐ （ ｅ １一 ｑ 。 ｅ ） ‘
）一
．
＋旦 ！ ： ： 之
收 稿 日期 。０ ９一 Ｏ — ０ Ｉ 改 日期 ｌ０ １ ０ — ０ ． ２０ ４ ３修 ２ １ ～ ３ ２
（ ｚ・
一 ∞
弗
近于 （ ， ）时 ， Ｏ０ 有
Ｘ
（２ ４ 汁 ＝）
也是不存 在 的． 是 因为 ， （ ）沿 二次 曲线 ５ 这 当 ｚ， 趋
（ ，）ｚ … 十 … ｏｏ
２ ＋ｋ 。
１ ．
ｚ （ｘ＋ ６ Ｊ ａ ）
．
研
一丽
实 际上 ， 有理分 式 函数 的极 限
几何 分布 、 二项 分 布 在 离 散 随机 模 型 的分 析 负
中是 常用 的两 种重要 随 机分 布 ． 何 分 布 已经 应 用 几 到越 来越 多 的 领 域 中 ， 别 是 在 信 息 工 程 、 特 电子 工 程、 控制论 以及 经济 学领 域都 占有 极其 重 要地位 ． 而
（ 。 一 ２） Ｈ ｎ
ｘ ￣ ２ ａＪ Ｊ
． 一
．） ｏ
也 是不存 在 的． 这是 因为 ， ｚ ） 二 次 曲线 趋 当（ ， 沿
近于 （ ，）时 ， ＯＯ 有
。
＝
ｌｍ ｉ
。
一
ｌ＋ ａ ２‘
显然 ， 极 限与 口值有 关 ， 原极 限不存 在． 如 ， 该 故 例 可
第 ０ １ ３月 ｌ ４卷第 ２ １ 年 ２期
Ｓ ＴＵＤ Ｅ Ｎ Ｃ 等 Ｌ Ｇ 究 ＭＡ Ｃ Ｉ Ｓ Ｉ 高 ＯＬ数 学 研 Ｅ Ｅ ＭＡＴ ＨＥ ＴＩ Ｓ
Ｖ １１ ． ｏ ２ ｏ． ４ Ｎ ．
Ｍ ａ． ０ １ ｒ ．２ １
目圆
几 何分 布 和 负二 项分 布 高 阶矩 的递 推 公 式
一
∑
ｋ ＋ｋ ＋ｋ ｌ ３ ａ。 ３
３ 相 关应 用
例 １ 设 随机变 量 Ｘ ～ ｇ 乡 ， Ｅ ， Ｘ‘ （ ） 求 Ｘ。Ｅ ． 解 因为 Ｘ ～ ｇ 夕 ， （ ） 故
ＥＸ 一 １
，
Ｏ Ｉ －２ Ｉ ≤ ３ ≤ １ ｌ ３ ｔ
３ Ｘ。 ３ （ ） ＋ ９ Ｅ ＋ ＥＸ 。 １ ＥＸ ・Ｅ Ｘ ＝
ｘ＇Ｊ ｙ
．
。
（ （南 Ｏ … … ．・ 十 ０ 一）
２ ｙ ＋ｂ 。
： 口
ｌ ｉ ｍ
ｚ － — ０
ｉａ ｂｊ （ｘ ） ４＋ Ｘ ｎ ＋ ｂ ２’ ）ｎ
显然该 极 限与 ｂ的取值 有关 ， 原极 限不 存在． 故
若令 ｂ一 ０ 则有 ，