高中数学线性回归方程苏教版必修三

线性回归方程

一．教学任务分析:

（1）通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.

(2) 了解最小二乘法的含义，知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

(3)在两个变量具有线性相关关系时，会在散点图中作出线性回归直线，会用线性回归方程进行预测. 二．教学重点与难点：

教学重点：回归直线方程的求解方法． 教学难点：回归直线方程的求解方法. ↓

↓

四.1．创设情景，揭示课题

我们以横坐标x 表示气温，纵坐标y 表示热茶销量，

建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示

的点在坐标系内标出，得到散点图.

从散点图可以看出.这些点大致分布在通过散点图中心的一条直线的附近.

如果散点图中点的分布从整体看大致分布在一条直

线的附近,我们称这两个变量之间具有线性相关关系,

如果能够求出这条回归直线的方程,我们就可以比较清楚的了解热茶销量与气温之间的关系. 2.最小二乘法

选择怎样的直线近似地表示热茶销量与气温之间的关系? 我们有多种思考方案:

(1)选择能反映直线变化的两个点,例如取(4,50),(18,24)这两点的直线； （2）取一条直线,使得位于该直线一侧和另一侧的点的个数基本相同；

（3）多取几组点,确定几条直线方程,再分别算出各条直线斜率、截距的平均值,作为所求直线的斜率、截距； ………………

怎样的直线最好呢? ------从整体上看,各点与此直线的距离最小.

即: 用方程为ˆy bx a =+的直线拟合散点图中的点，应使得该直线与散点图中的点最接近.那么，怎样衡量直线ˆy

bx a =+与图中六个点的接近程度呢？ 我们将表中给出的自变量x 的六个值带入直线方程,得到相应的六个ˆy 的值: 26,18,13,10,4,b a b a b a b a b a b a +++++-+.这六个值与表中相应的实际值应该越

接近越好.所以,我们用类似于估计平均数时的思想,考虑离差的平方和:

222222

22(,)(2620)(1824)(1334)(1038)(450)(64)12866140382046010172

Q a b b a b a b a b a b a b a b a ab b a =+-++-++-++-+

+-+-+-=++--+

(,)Q a b 是直线ˆy

bx a =+与各散点在垂直方向(纵轴方向)上的距离的平方和,可以用来衡量直线ˆy

bx a =+与图中六个点的接近程度,所以,设法取,a b 的值,使(,)Q a b 达到最小值.这种方法叫做最小平方法(又称最小二乘法) . 先把a 看作常数,那么Q 是关于b 的二次函数.易知,当

1403820

21286a b -=-

⨯时, Q 取得

最小值.同理, 把b 看作常数,那么Q 是关于a 的二次函数.当

140460

12b a -=-

时,

Q 取得最小值.因此,当

14038202128614046012

a b b a -⎧=-⎪⎪⨯⎨

-⎪=-⎪⎩时，Q 取得最小值，由此解得

1.6477,57.5568b a ≈-≈.所求直线方程为ˆ 1.647757.5568y x =-+.当5x =-时,ˆ66y

≈,故当气温为5-0C 时,热茶销量约为66杯. 3.线性回归方程的求解方法

n 当,a b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称

ˆy

bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线. 上述式子展开后，是一个关于,a b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的,a b 的值．即

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧

-=--=---=-

--=--==-=--∑∑∑∑x b y a x n x y

x n y x x x y y x x b n i i n i i i n i i n i i i 21

21

11)())((,（*） ∑==n i i

x n x 11,

∑==n i i y n y 11 线性回归方程是

ˆy

bx a =+,其中b 是回归方程的斜率,a 是截距.系数 4.求线性回归方程的步骤： (1)计算平均数y x ,； (2)计算

i

i y x 与的积，求∑

i

i y x ；

(3)计算

∑2

i

x ；

(4)将结果代入公式

∑∑=--

-=--=

n i i n

i i

i x

n x y

x n y

x b 1

2

21,求b ；

(5)用 x b y a -=,求a ；

(6)写出回归方程 5. 线性回归方程的应用

(2)求出回归直线方程

解：(1)散点图（略）．

故可得到 2573075.43.399,

75.430770003

.399307871752

≈⨯-=≈⨯-⨯⨯-=

a b

从而得回归直线方程是^

4.75257y x =+．

6.小结：

对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数,a b 的计算公式，算出,a b ．写出回归方程