高中数学任意角的三角函数ppt课件

设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于
点P(x,y)
(1) y叫做α的正弦,记作sinα,
即
sinα=y
(2) x叫做α的余弦,记作cosα,
y
即
cosα=x
P(x,y)
(3) y 叫做α正切,记作tanα,
α
即
x
tan

y x

x

0




k
k

Z

x
A(1,0)
5
2
4.三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单 位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的 函数
1.2.1 任意角的三角函数
1
1.复习引入
我们已经学习过锐角的三角函数，如图：
C
sin A BC AC
A
B
cos A AB tan A BC
AC
AB
你能在直角坐标系中来表示锐角三角函数吗?
2
2.利用平面直角坐标系表示锐角三角函数
设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半 轴重合,那么它的终边在第一象限.

cos
4

2 2
3
tan


11
6


tan


6

2


tan

6

3 316
练习1. tan600 o的值是______D______ .
A. 3
3 B.
C. 3
D. 3
3
3
17
练习2. 若 sinθ cos θ 0, 则θ在 ___B_____ .
r x2 y2
sin MP x ,
OP r
cos OM y ,
OP r
tan MP y
OM x 练
P(x,y) y
M
α
O
x
10
6.三角函数的定义域
sin y cos x
tan y
x
三角函数
sinα cosα tanα
定义域
R
R
{ | k , k Z}
交于点P.过点P作x轴
的垂线,垂足为M.
(Ⅱ)
y
|MP|=|y|=|sinα| |OM|=|x|=|cosα|
2
11
根据三角函数的定义,研究三 角函数值在各个象限的符号
sin y cos x tan y
x
y
++
y
-+
y
-+
O
来自百度文库
x
--
O
x
-+
O
x
+-
sin
cos
tan
12
口诀： 一全正 二正弦 三正切 四余弦
例3 求证:当且仅当下列不等式组成立时, 角θ为第三角限角 sin 0, ①
解:(1)因为250°是第_三__象限角,所以cos250°< 0
(2)因为

4
是第_四___象限角,所以
sin



4

<
0
(3)因为tan(-670°)=tan(48°-2×360°)=tan48°
而48°是第一象限角,所以 tan(-672°) > 0
(4)因为tan3π=tan(π+2π)=tanπ=0
α的终边上任意一点P的坐标为(a,b),它与原点的
距离是_r_____a_2___b__2 ___0
过P作x轴的垂线,垂足为M,则
线段OM的长度为_a__
线段MP的长度为_b__
y P(a,b)
α
O M 3x
sin MP b , cos OM a , tan MP b
证明:如果①②式都成tan立 ,那0.么②θ为第三
象限角.
若sinθ<0,那么θ角的终边可能位于第
三或第四象限,也可能位于y轴的非正半 轴上
又若tanθ>0,那么θ角的终边可能位于
第一或第三象限. 13
因为①②式都成立,所以θ角的终边只能
7.终边相同的角的同一种三角函数值相等 诱导公式一
sin k 2 sin cos k 2 cos tan k 2 tan
OP r
OP r
OM a
将点P取在使线段OP的长r=1的特殊位置上
sin MP b,
OP
cos OM a,
OP
tan MP b
OM a
以原点O为 圆心,以单 位长度为 半径的圆 称为单位
圆
y
y
P(a,b)
1
α
P(a,bx)
M A(1,0)
α
O M 4x
3.利用单位圆定义任意角的三角函数
A. 第一、二象限 C. 第一、四象限
B. 第一、三象限 D. 第二、四象限
18
练习3. 若 cos θ 0，且sin2 0则θ的终
边在 __C__
A. 第一象限
B. 第三象限
C. 第四象限
D. 第二象限
19
1.下面从图形角度
认识一下三角函数
α的 终边
P
y
A(1,0)
MO
x
角α的终边与单位圆
15
练
例5 求下列三角函数值
1sin1480 10;
2cos 9 ;
4
3
tan

11
6
.
解:1sin1480 10 sin 40 10 4360
sin 40 10 0.6451
2cos 9
4
cos


4
2

,

3 27
例2 已知角α的终边经过点P0(-3,-4),求角α的正弦、 余弦和正切值
解: OP0 32 42 5
设角α的终边与单位圆交于点P(x,y).分别过点P、 P0作x轴的垂线MP、M0P0,则
M0P0 4, MP y, OM0 3, OM y x
其中k Z.
角α终边每 绕原点旋转 一周,函数值 将重复出现
可以把求任意角的三角函数值.转化为求0 到2π(或0°至360°)角的三角函数值. 14
例4 确定下列三角函数值的符号,然后用计算器
验证: 1 cos 250 ;

2 sin



4
;
3 tan 672 ; 4 tan 3 .
弧度制下,角的集合与实数集R之间建立 了一一对应关系
三角函数可以看成自变量为实数的函数
6
5.典型例题
例1 求 5 的正弦、余弦和正切值.
解: 在3直角坐标系中,作出 AOB= 5
3
sin 5 3
y
32
cos 5 1
32
5
3
O
Ax
tan 5 3
3
练
B

1 2
sin y y MP
1 OP
M0 M Ox
M0P0 4 ;
OP0
5
P(x,y)
8
P0(-3,-4)
cos x x OM OM0 3 ;
1 OP
OP0
5
tan y sin 4 x cos 3
9
知道α终边上任意一点P(x,y),就可以求出角 α的三角函数值.