2-有限元静力分析基本原理

2001年10月1日
Lb-2
1.1 弹性力学 与材料力学的区别与联系
1、研究的内容：基本上没有什么区别。 研究的内容：基本上没有什么区别。 研究的内容 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 弹性力学也是研究弹性体在外力作用下的平衡和运动，以及由此产生的应力和变形。 2、研究的对象：有相同也有区别。 研究的对象：有相同也有区别。 研究的对象 材料力学基本上只研究杆、 材料力学基本上只研究杆、梁、柱、轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。弹性力学 轴等杆状构件，即长度远大于宽度和厚度的构件。 虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构， 虽然也研究杆状构件，但还研究材料力学无法研究的板与壳及其它实体结构，即两个尺寸远大于第 三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。 三个尺寸，或三个尺寸相当的构件。 3、研究的方法：有较大的区别。 研究的方法：有较大的区别。 研究的方法 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时，采用了不同的 虽然都从静力学、几何学与物理学三方面进行研究，但是在建立这三方面条件时， 分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的， 分析方法。材料力学是对构件的整个截面来建立这些条件的，因而要常常引用一些截面的变形状况 或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。 或应力情况的假设。这样虽然大大简化了数学推演，但是得出的结果往往是近似的，而不是精确的。 而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设， 而弹性力学是对构件的无限小单元体来建立这些条件的，因而无须引用那些假设，分析的方法比较 严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 严密，得出的结论也比较精确。所以，我们可以用弹性力学的解答来估计材料力学解答的精确程度， 并确定它们的适用范围。 并确定它们的适用范围。
X Y Z
σ
z
总和后整理便得到X方向的平衡方程:
其中X、Y、Z 为物体的体力分量。
2001年10月1日
Z
Lb-5
1.2.2 静力边界条件——应力面力关系 静力边界条件——应力面力关系
N
ZN
XN YN
设斜面ACD为边界面，其外法线n的方向为 (l1,l2,l3)，面积为∆S，边界外力分量为(px，py，,pz)， 则三角形ABC、 ABD 、 BCD的面积分别为∆S在各相 应方向上的投影。 l1∆S, l2∆S, l3∆S,
2001年10月1日
Lb-6
1.2.3 几何方程——应变位移关系 几何方程——应变位移关系
y
u+
v+ ∂v dy ∂y
∂u dy ∂y
C'
ABCD---A’B’C’D’求正应变 求
ε x、γ xy
(u +
，用位移分量来表示： 用位移分量来表示：
D" β D '
D C
A点在 方向的位移分量为 ；B点在 方向的位移： u + ∆u = u + 点在X方向的位移分量为 点在X方向的位移 点在 方向的位移分量为u； 点在 方向的位移：
图 1-3a
2001年10月1日
图 1-3b
Lb-3
1.2 弹性力学基本方程
1.2.1 平衡微分方程 应力体力关系 平衡微分方程-应力体力关系 1.2.2 静力边界条件 应力面力关系 静力边界条件-应力面力关系 1.2.3 几何方程 应变位移关系 几何方程-应变位移关系 1.2.4 应力应变关系，物理方程 应力应变关系， 1.2.5 弹性力学求解
σ 板面 = 0 σ 中心
C.特点：
∂σ t = σ 板面 + ⋅ ∂z 2
σ z = τ zx =τ zy= 0
2001年10月1日 Lb-13
2、平面应力问题求解
∂σ x ∂τ xy + +X =0 ∂x ∂y ∂τ xy ∂σ y + +Y = 0 ∂x ∂y
平衡微 分方程 （2个） 个 XN= l1σx+l2τyx YN= l1τxy+l2σy 静力边 界条件 （2个） 个
{ f } = [u ( x, y, z ), v( x, y, z )]T 自由度（2个） 自由度（ 个 2.应变
{ε } = [ε x ε y γ xy ]T
3.应力
应变（ 个 应变（3个）
{σ } = [σ x σ y τ xy ]T
2001年10月1日
弹性体内部和边界上任意 一点处有8各方程可解 各方程可解8个未知 一点处有 各方程可解 个未知 比三维实体问题减少近1倍 数。比三维实体问题减少近 倍 方程。 方程。
∂τ τ xz τ yx + ∂τ yx d y τ xz + xz d x ∂x ∂y ∂τ xy τ xy + dx ∂x τ zx
σy +
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy
∂σ σx + x d x ∂x
τ zy
τ yz
σ
z
τ xz
τ xz +
∂τ xz dx ∂x
同理得到x、y方向的平衡方程:
1 [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ x + σ z )] E 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E 1 1 1 γ xy = τ xy , γ xz = τ xz , γ yz = τ yz G G G
静力边 界条件 （3个） 个
′ (v + ∂x dx) − v ∂x 线素AB的 线素 的 α ≈ tgα = B′B′ = = 转角为： 转角为： ∂u ∂u A′B′′
dx + ∂x dx 1+ ∂x
∂v
∂v dx ∂x
由于变形是微小的， 由于变形是微小的，所 以上式可将比单位值小 略去， 得多的 ∂u 略去，得
∂x
α=
∂v ∂x
同理， 同理，Y 向线素AD 向线素 的转角
β=
∂u ∂y
因此， 因此，剪 应变为： 应变为：
γ xy =α + β =
∂v ∂u + ∂x ∂y
εx = γ yz
∂u ∂v ∂w ,ε y = ,ε z = ∂z ∂x ∂y ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u = + + + , γ zx = , γ xy = ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
2001年10月1日
Lb-4
z o x y
1.2.1 平衡微分方程——应力体力关系 平衡微分方程——应力体力关系
σz +
∂σ z dz ∂z
∂z
σz +
dz
τ yz +
∂τ yz
∂σ z dz ∂z
τ yx
σy
τ xz +
∂τ xz dz ∂z
τ xy τ yz
σx
τ yz +
∂τ yz ∂y
dy ∂σ y ∂y dy
由x方向的平衡得到： XN∆S = l1∆Sσx+l2∆Sτyx+l3∆Sτzx 即 XN = l1σx+l2τyx +l3τzx
z x o y
注意，这里边界上的外力是坐标轴方向上的分量。
边界条件为：
XN= l1σx+l2τyx +l3τzx YN= l1τxy+l2σy+l3τzy ZN= l1τxz +l2τyz+l3σz
2001年10月1日
σr1 = σ1
σr 2 = σ1 −ν (σ2 +σ3 ) σr3 = σ1 −σ3
1 σr 4 = (σ1 −σ2 )2 + (σ2 −σ3 )2 + (σ3 −σ1)2 2
σr ≤ [ σ ]
Lb-10
[
]
2、二维实体模型 、
1、弹性力学平面问题模型 、 (1) 平面应力问题（薄板拉压） 平面应力问题（薄板拉压） (2) 平面应变问题（长体均剪） 平面应变问题（长体均剪）
2001年10月1日
空间问题的位移分量为：u、v、w
位移边界条件： u s = u , v s = v , w s = w
Lb-7
1.2.4 物理方程——应力应变关系 物理方程——
虎克定律 ε xx =
σx
E
σz 波松效应 εxy = −µ ，ε = −µ xz E E
σy
σz 1 εx = εxx +ε xy +εxz = − µ − µ = [σx − µ(σ y +σz )] E E E E
Lb-8
σx
σy
图 1-4
2001年10月1日
1.2.5 弹性力学求解
X Y Z
εx = γ yz
∂u ∂v ∂w ,ε y = ,ε z = ∂x ∂y ∂z ∂w ∂v ∂u ∂w ∂v ∂u = + , γ zx = + , γ xy = + ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y
XN= l1σx+l2τyx +l3τzx 平衡微 分方程 （3个） 个 YN= l1τxy+l2σy+l3τzy ZN= l1τxz +l2τyz+l3σz
εx =
几何 方程 （6个） 个
一点处
物理 方程 （6个） 个
1.位移 { f } = [u ( x, y, z ), v( x, y, z ), w( x, y, z )]
T
{ε } = [ε x ε y ε z γ xy γ yz γ zx ]
3.应力
2.应变
自由度（ 个 自由度（3个） 应变（ 个 应变（6个） 应力（6个） 应力（ 个
有限元静力分析基本原理
Definition
2001年10月1日
Lb-1
1、弹性力学基础
1.1 弹性力学 与材料力学的区别与联系 1.2 弹性力学基本方程 1.2.1 平衡微分方程 应力体力关系 平衡微分方程-应力体力关系 1.2.2 静力边界条件 应力面力关系 静力边界条件-应力面力关系 1.2.3 几何方程 应变位移关系 几何方程-应变位移关系 1.2.4 应力应变关系，物理方程 应力应变关系， 1.2.5 弹性力学求解 1.3 强度理论
∂u ∂v ∂v ∂u ε x = , ε y = , γ xy = + ∂x ∂y ∂x ∂y
1.位移
几何 方程 （3个） 个
一点处
1 [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 ε y = [σ y − µ (σ x + σ z )] E 1 γ xy = τ xy G
εx =
物理 方程 （3个） 个
2、薄板弯曲问题 、 3、轴对称问题 、
2001年10月1日
Lb-11
2.1 平面应力问题
1、平面应力问题的特点 、 2、平面应力问题求解 、
2001年10月1日
Lb-12
1、平面应力问题的特点 、
1、弹性力学平面问题模型 、 所谓平面问题指弹性力学的平面应力和平面应变问 题。 (1) 平面应力问题（薄板拉压） 平面应力问题（薄板拉压） A.几何条件：结构是等厚度薄板，即厚度远远小于 截面尺寸； B.载荷条件：载荷均平行与板面且沿板厚度方向均 匀分布。
1 ε x = [σ x − µ (σ y + σ z )] E 1 E ε y = [σ y − µ (σ x + σ z )] G= E 2(1+ µ) 1 ε z = [σ z − µ (σ x + σ y )] E 1 1 1 γ xy = τ xy , γ xz = τ xz , γ yz = τ yz G G G
σ1 ≥ σ2 ≥ σ3 = f (σ x ,σ y ,σ z ,τ xy ,τ yz ,τ zx )
（2） 相当应力:强度条件中直接与许用应力 比较的量，称为相当应力 r 比较的量， ） 相当应力:强度条件中直接与许用应力[σ]比较的量 称为相当应力σ (最大拉应力理论) 最大拉应力理论) （最大伸长线应变理论） 最大伸长线应变理论） (最大剪应力理论) 最大剪应力理论) (形状改变比能理论) 形状改变比能理论) (3) 强度条件的一般形式
T
{σ } = [σ x σ y σ z τ xy τ yz τ zx ]T
弹性体内部和边界上任意 一点处有15各方程可解 各方程可解15个未 一点处有 各方程可解 个未 知数，但很少有解析解。 知数，但很少有解析解。
2001年10月1日
Lb-9
1.3 强度理论
(1)主应力：在单元体上的三个相互垂直的 主应力： 主应力 平面上即可能是正应力，剪应力或者二者 的组合。主单元体：各个侧面上的剪切应 力均为零的单元体；主平面：单元体上没 有切应力的面称为主平面；主应力：作用 在主平面上的正应力。
B'
dy
uห้องสมุดไป่ตู้v
A
A'
α
B
v+
∂v dx ∂x
线素AB的正 线素 的正 应变为： 应变为：
εx =
∂u dx) −u ∂u ∂x = dx ∂x
∂v
∂u dx ∂x
u+
dx 0 图 1-5
∂u dx ∂x
B"
x
A点在 方向的位移分量为 ；B点在 方向的位移分量： v + 点在Y方向的位移分量为 点在Y方向的位移分量 点在 方向的位移分量为v； 点在 方向的位移分量：