电磁场数值计算中数学建模方法研究
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推进波前法[7]（Advancing Front Technique）， 简称 AFT，AFT 法的基本流程：首先离散待剖 分域的边界，二维待剖分域的边界离散后是首尾 相连的线段的集合，三维待剖分域的边界离散后 是拓扑相容的三角形面片的集合，这种离散后的 域边界称为前沿；然后从前沿开始，依次插入一 个节点，并连接生成一个新的单元；更新前沿, 这样前沿即可向待剖分域的内部推进。这种插入 节点、生成新单元、更新前沿的过程循环进行， 当前沿为空时表明整个域剖分结束。
生成单元的精度，特别是复杂区域和复杂边界。
2
④ 要实现自适应的网格剖分，计算结果的误 差估算是一个难点，有限元网格的自动调整技术 使根据有限元计算结果估计计算误差，重新剖分 网格和再计算的一个闭环循环过程。但对于计算 结果的估算还需要进一步的研究分析。
⑤ 在今后的研究当中，如何将 CAD 系统中 所提供的完备的几何信息和非几何信息的特征模 型自动转换成有限元模型也是一个非常重要的课 题。
2003.7
作者简介：
李 伟（1983-），女，山东潍坊人，汉族，河海大学的 电力系统及其自动化专业研究，主要研究方向是电磁场数 值计算和数学建模。 严登俊（1969-），男，江苏洪泽人，汉族，教授，主要 研究方向为电机，电工理论，及电力系统稳定控制。 朱长江（1982-），男，安徽宿松人，汉族，河海大学电 力系统及其自动化专业研究生，主要研究方向是电磁场数 值计算和数学建模。
基于网格法最早是由 Thacker、Ganzaliz 和 Putland 提出的[5]。此方法的基本流程：首先把一 组不相交的网格覆盖在目标区域上，保留完全落 在目标区域之内或边界上的点，删除落在目标区 域之外的点。即可在网格的规则点处布置结点， 也可在网格单元中随机布置结点，对于落在边界 上的点需要调节结点的位置来满足边界条件的要 求，最后对内部网格和边界网格进行剖分，进而 得到整个目标区域的有限元网格。
参考文献
[1] Tautges,T, T.Blacker,S.Mitchell. The Whisker Weaving Algorithm: Aconnectivity-Based Method for Constructing All-Hexabedral Finite Element Meshes[J].Int.J.Numercial Methods in
3
0 引言
随着计算机技术的发展，人们对于科学和工 程计算的规模、复杂程度、效率、精度等各方面 有了更高的要求，以期能更真实、准确地反映要 求对象。在有效的解决科学和工程计算问题中， 数学建模中网格剖分技术被广泛应用到实际问题 中，从而作为数学建模的先决条件的网格剖分技 术就显得尤为重要。本文就对电磁场数值计算中 的几种网格剖分方法进行了比较，并对网格剖分 技术的未来发展趋势作了一些分析[1]。
映射法的优点：计算效率高、网格分布均匀、
1
排列整齐、便于直接生成四面体和六面体，可用 于曲面网格的生成。但对于形状较为复杂的形体 适应性差，需要首先用手工或自动方法将复杂形 体事先分解成若干形状简单的子域，但是这是一 个十分复杂且难以实现自动化的过程，并且各映 射块之间的网格密度相互影响程度很大，因此映 射法只是一种半自动化网格生成方法，不适应全 自动网格生成。 1.3 基于网格法（Grid-based Method）
AFT 方法有两个显著特点：一是 AFT 方法 是靠经验解决问题，但却能成功的应用，而且 AFT 方法生成单元的质量比 Delaunay 三角剖分
和有限四（八）叉树法都高。二是生成新单元时
需要进行大量的相交判断、包含判断和距离判断。
由于此判断过程消耗了整个 AFT 方法实施过程 的大半时间，所以在实施 AFT 方法时，务必精心 设计数据结构，尽量减少需要进行判断的数量，
在三维划分中，可以用逐点插入递归算法把 二维推广到三维。利用 DT 法的空外接球的特性， 生成四面体网格。不过在此过程中需要对一些特 殊情况做适当的处理，例如，薄元问题[3]，即四
a 图：生成网格的质量差
b 图：生成网格的质量好
如图 1 所示的 a 图是不符合 Delaunay 三角划分， 其中 ∠BAD 大于 90º, ∠ADB 角度很小,所以这样 划分容易产生薄元，b 图是符合 Delaunay 三角划 分。常用的薄元处理方法有两种：一是结点抖动 法，将一个薄元的一个结点沿着某个方向移动， 以增加薄元的“厚度”，提高单元质量，但抖动效 果在实际应用中有许多困难，而且在某些情况下 会失效；二是薄元分解法，波源一般都相当于比 较薄的面片，可以在面片的形心处插入一个新的 结点，该结点可以同此薄元临近的 4 个单元形成 新的单元，来代替薄元。 1.2 映射法
电磁场数值计算中数学建模方法研究
李 伟, 严登俊，朱长江
（河海大学电气工程学院，江苏 南京，210098）
摘 要：总结了几种电磁场数值计算中数学建模方法—— 网格剖分方法，分析了他们的优缺点，并对网格剖分方法 的未来发展方向和发展趋势作了一定的探讨。
关键词：有限元；网格；自动生成
面体的四个顶点接近共面，体积接近零，尽管四 个表面的三角形形状良好，也必须要消除薄元。
Engineering,1996,39,3327-3349. [2] 曾闽山，田冬玲，郭吉民 一种基于网格划分得高效 Delaunay
三角网格化算法 网络与通信 [3] 熊英，胡于进， 基于映射法和 Delaunay 方法的曲面三角网格
划分算法 [J].计算机辅助设计和图形学学报，2002,14(1):56-60 [4] [4] Chris L, Jackins Steven L, et al Oct-Tree and Their Use in
Kikucki 利用矩形网格产生了以矩形为主体 单元，同时含有一些三角形单元的混合型网格。 Yerry 和 Shephard 首先用四叉树法[6]扩展了此方 法，同时用八叉树方法将其扩展到三维区域。此 后许多学者又对此方法进行了完善和发展，形成 了有限四（八）叉树方法。此方法容易生成高质 量的单元，虽然它的边界单元需要进一步地处理 以免质量太差而不适合有限元分析，但是该法产 生的网格具有阶梯结构和空间可访性，可以与实 体造型系统集成，而且易于优化网格质量。但是 尽管这种方法具有很大的适应性，但是在某些情 况下是很难实现的，这种方法的缺点是复杂形体 的边界单元的质量不易控制。 1.4 推进波前法
生成方法在效率、稳定性、通用性等方面的不足，
尤其是三维网格的生成和非流形混合维网格的全
自动生成。
② 要达到网格密度易于控制、网格疏密过渡
均匀，是一项比较困难的工作，首先要解决网格
密度的合理定义、网格的自适应控制、生成网格
的平滑过渡等问题。
③ 要使算法效率高，速度快，首先需要对网
格精整措施进行深入的研究，其次要进一步提高
来提高效率。
2 三种自动剖分网格的方法的比较
以上对电磁场数值计算中数学建模的方法—
—网格剖分进行了一定的论述，下面对其中三种
网格自动剖分方法的优缺点进行总结和比较如表
一所示：
Βιβλιοθήκη Baidu
表一：网格剖分方法的比较
性能\方法
所生成网格的 质量
Delaunay 三角 化法
二维网格质量 较好
基于网格法
区域内网格质 量较好，边界网
Representing Three-Dimensional Object [J] Computer Graphics
and Image Processing, 1980, (14):246-269 [5] 刘爱荣，曹中清 周本宽 一种自动划分三维有限元网格的新方
法[J] 西南交通大学学报 1997.6 [6] 余海涛，邵可然，罗俊华 有限元网格剖分 高电压技术 2004 [7] 赵斌，王旭 生成非结构网格的改进阵面推进法[J] 航空计算技
单元质量好
好
能.密度控制能 力强
低,主要应用于
算法应用频度 三者中最高 六面体网格生
高
成
3 有限元网格自动生成技术的发展趋势和 要求
目前，有限元网格的全自动生成是有限元建
模的关键，也将成为是有限元分析研究的发展趋
势。要实现全自动化网格剖分要做到以下几点要
求[8-9]：
① 要实现全自动化，首先要解决全自动网格
术 2003，（1）：26-32 [8] 吕军，王忠金，王仲仁 有限元六面体王格的典型生成方法及
发展趋势[J] 哈尔滨工业大学学报，2001，33（4）：485-490 [9] 魏红宁，周本宽 自适应有限元分析的王格自动生成方法的选
择[J] 西南交通大学学报，1997，32（5）：477-482 [10] 李笑牛, 赵伟. 六面体有限元网格生成综述, 大连民族学院报,
4 结束语
本文对电磁场数值计算中数学建模方法—— 网格生成方法进行了简单的论述，数学建模作为 对几何实体数值计算中的关键一步，被广泛应用 于许多领域。除了本文介绍的电磁场数值计算中 数学建模的几种网格剖分方法方法以外，还有拓 扑分解法、网格模板法、扫描发和特殊的网格生 成技术[10]等。网格生成方法是一个相当宽的研究 领域，随着高科技的发展要求，全自动生成网格 的方法将成为以后研究领域的重点。
1 网格剖分的基本方法
1.1 Delaunay 三 角 划 分 法 （ Delaunay Triangulation Method）
Delaunay 三角划分(简称 DT)也是结点连元 法，是通用的全自动网格生成方法之一。在平面 域的 Delaunay 三角划分中，DT 法有两大优点[2]： 首先，遵循最大-最小准则，即所有的三角形单中 最小角之和均大于非 Delaunay 划分所形成的三 角形最小角之和，此时结点分布中不存在四点及 四点以上共圆，从而避免了生成小内角的薄元。 另外，DT 法还有空外接圆特性，即 Delaunay 三 角划分中任意三角形的外接圆(四面体为外接球) 内不包括其他结点，构造外接圆的基本过程：先 构造一个大外接圆，将所有结点都包含进去，然 后找出已有三角形中哪些三角形的外接圆内包含 新加入的结点，删除这些三角形内离心结点距离 最近的一条边，将新结点与周围的老结点连线形 成新的三角剖分。
格质量较差
推进波前法 好
自动化程度
全自动
全自动
全自动
三角形、四面 能生成的单元 三角形、四面体
体、六面体
三角形、四面 体、六面体
曲面网格生成
各向异性网格 生成
自适应网格生 成
间接法,生成单 元质量好
直接法!间接法 均可,生成单元
一般
可以
困难
能.密度控制能 能.密度控制能
力一般
力强
直接法! 间 接法均可,生成
映射法出现于 20 世纪 70 年代，是最早采用 的网格生成方法。根据映射函数的不同，主要分 为等参映射、超限映射和一致映射[4]。根据形体 边界的参数方程，利用适当的映射函数，将待分 区域映射到参数空间中形成规则参数域，对规则 参数域进行网格剖分，将参数域的网格(二维是正 方形,三维是立方体)反向映射回欧氏空间，从而 生成实际的网格。映射法可分为三大类：保角映 射法、基于偏微分方程法和代数插值法。
生成单元的精度，特别是复杂区域和复杂边界。
2
④ 要实现自适应的网格剖分，计算结果的误 差估算是一个难点，有限元网格的自动调整技术 使根据有限元计算结果估计计算误差，重新剖分 网格和再计算的一个闭环循环过程。但对于计算 结果的估算还需要进一步的研究分析。
⑤ 在今后的研究当中，如何将 CAD 系统中 所提供的完备的几何信息和非几何信息的特征模 型自动转换成有限元模型也是一个非常重要的课 题。
2003.7
作者简介：
李 伟（1983-），女，山东潍坊人，汉族，河海大学的 电力系统及其自动化专业研究，主要研究方向是电磁场数 值计算和数学建模。 严登俊（1969-），男，江苏洪泽人，汉族，教授，主要 研究方向为电机，电工理论，及电力系统稳定控制。 朱长江（1982-），男，安徽宿松人，汉族，河海大学电 力系统及其自动化专业研究生，主要研究方向是电磁场数 值计算和数学建模。
基于网格法最早是由 Thacker、Ganzaliz 和 Putland 提出的[5]。此方法的基本流程：首先把一 组不相交的网格覆盖在目标区域上，保留完全落 在目标区域之内或边界上的点，删除落在目标区 域之外的点。即可在网格的规则点处布置结点， 也可在网格单元中随机布置结点，对于落在边界 上的点需要调节结点的位置来满足边界条件的要 求，最后对内部网格和边界网格进行剖分，进而 得到整个目标区域的有限元网格。
参考文献
[1] Tautges,T, T.Blacker,S.Mitchell. The Whisker Weaving Algorithm: Aconnectivity-Based Method for Constructing All-Hexabedral Finite Element Meshes[J].Int.J.Numercial Methods in
3
0 引言
随着计算机技术的发展，人们对于科学和工 程计算的规模、复杂程度、效率、精度等各方面 有了更高的要求，以期能更真实、准确地反映要 求对象。在有效的解决科学和工程计算问题中， 数学建模中网格剖分技术被广泛应用到实际问题 中，从而作为数学建模的先决条件的网格剖分技 术就显得尤为重要。本文就对电磁场数值计算中 的几种网格剖分方法进行了比较，并对网格剖分 技术的未来发展趋势作了一些分析[1]。
映射法的优点：计算效率高、网格分布均匀、
1
排列整齐、便于直接生成四面体和六面体，可用 于曲面网格的生成。但对于形状较为复杂的形体 适应性差，需要首先用手工或自动方法将复杂形 体事先分解成若干形状简单的子域，但是这是一 个十分复杂且难以实现自动化的过程，并且各映 射块之间的网格密度相互影响程度很大，因此映 射法只是一种半自动化网格生成方法，不适应全 自动网格生成。 1.3 基于网格法（Grid-based Method）
AFT 方法有两个显著特点：一是 AFT 方法 是靠经验解决问题，但却能成功的应用，而且 AFT 方法生成单元的质量比 Delaunay 三角剖分
和有限四（八）叉树法都高。二是生成新单元时
需要进行大量的相交判断、包含判断和距离判断。
由于此判断过程消耗了整个 AFT 方法实施过程 的大半时间，所以在实施 AFT 方法时，务必精心 设计数据结构，尽量减少需要进行判断的数量，
在三维划分中，可以用逐点插入递归算法把 二维推广到三维。利用 DT 法的空外接球的特性， 生成四面体网格。不过在此过程中需要对一些特 殊情况做适当的处理，例如，薄元问题[3]，即四
a 图：生成网格的质量差
b 图：生成网格的质量好
如图 1 所示的 a 图是不符合 Delaunay 三角划分， 其中 ∠BAD 大于 90º, ∠ADB 角度很小,所以这样 划分容易产生薄元，b 图是符合 Delaunay 三角划 分。常用的薄元处理方法有两种：一是结点抖动 法，将一个薄元的一个结点沿着某个方向移动， 以增加薄元的“厚度”，提高单元质量，但抖动效 果在实际应用中有许多困难，而且在某些情况下 会失效；二是薄元分解法，波源一般都相当于比 较薄的面片，可以在面片的形心处插入一个新的 结点，该结点可以同此薄元临近的 4 个单元形成 新的单元，来代替薄元。 1.2 映射法
电磁场数值计算中数学建模方法研究
李 伟, 严登俊，朱长江
（河海大学电气工程学院，江苏 南京，210098）
摘 要：总结了几种电磁场数值计算中数学建模方法—— 网格剖分方法，分析了他们的优缺点，并对网格剖分方法 的未来发展方向和发展趋势作了一定的探讨。
关键词：有限元；网格；自动生成
面体的四个顶点接近共面，体积接近零，尽管四 个表面的三角形形状良好，也必须要消除薄元。
Engineering,1996,39,3327-3349. [2] 曾闽山，田冬玲，郭吉民 一种基于网格划分得高效 Delaunay
三角网格化算法 网络与通信 [3] 熊英，胡于进， 基于映射法和 Delaunay 方法的曲面三角网格
划分算法 [J].计算机辅助设计和图形学学报，2002,14(1):56-60 [4] [4] Chris L, Jackins Steven L, et al Oct-Tree and Their Use in
Kikucki 利用矩形网格产生了以矩形为主体 单元，同时含有一些三角形单元的混合型网格。 Yerry 和 Shephard 首先用四叉树法[6]扩展了此方 法，同时用八叉树方法将其扩展到三维区域。此 后许多学者又对此方法进行了完善和发展，形成 了有限四（八）叉树方法。此方法容易生成高质 量的单元，虽然它的边界单元需要进一步地处理 以免质量太差而不适合有限元分析，但是该法产 生的网格具有阶梯结构和空间可访性，可以与实 体造型系统集成，而且易于优化网格质量。但是 尽管这种方法具有很大的适应性，但是在某些情 况下是很难实现的，这种方法的缺点是复杂形体 的边界单元的质量不易控制。 1.4 推进波前法
生成方法在效率、稳定性、通用性等方面的不足，
尤其是三维网格的生成和非流形混合维网格的全
自动生成。
② 要达到网格密度易于控制、网格疏密过渡
均匀，是一项比较困难的工作，首先要解决网格
密度的合理定义、网格的自适应控制、生成网格
的平滑过渡等问题。
③ 要使算法效率高，速度快，首先需要对网
格精整措施进行深入的研究，其次要进一步提高
来提高效率。
2 三种自动剖分网格的方法的比较
以上对电磁场数值计算中数学建模的方法—
—网格剖分进行了一定的论述，下面对其中三种
网格自动剖分方法的优缺点进行总结和比较如表
一所示：
Βιβλιοθήκη Baidu
表一：网格剖分方法的比较
性能\方法
所生成网格的 质量
Delaunay 三角 化法
二维网格质量 较好
基于网格法
区域内网格质 量较好，边界网
Representing Three-Dimensional Object [J] Computer Graphics
and Image Processing, 1980, (14):246-269 [5] 刘爱荣，曹中清 周本宽 一种自动划分三维有限元网格的新方
法[J] 西南交通大学学报 1997.6 [6] 余海涛，邵可然，罗俊华 有限元网格剖分 高电压技术 2004 [7] 赵斌，王旭 生成非结构网格的改进阵面推进法[J] 航空计算技
单元质量好
好
能.密度控制能 力强
低,主要应用于
算法应用频度 三者中最高 六面体网格生
高
成
3 有限元网格自动生成技术的发展趋势和 要求
目前，有限元网格的全自动生成是有限元建
模的关键，也将成为是有限元分析研究的发展趋
势。要实现全自动化网格剖分要做到以下几点要
求[8-9]：
① 要实现全自动化，首先要解决全自动网格
术 2003，（1）：26-32 [8] 吕军，王忠金，王仲仁 有限元六面体王格的典型生成方法及
发展趋势[J] 哈尔滨工业大学学报，2001，33（4）：485-490 [9] 魏红宁，周本宽 自适应有限元分析的王格自动生成方法的选
择[J] 西南交通大学学报，1997，32（5）：477-482 [10] 李笑牛, 赵伟. 六面体有限元网格生成综述, 大连民族学院报,
4 结束语
本文对电磁场数值计算中数学建模方法—— 网格生成方法进行了简单的论述，数学建模作为 对几何实体数值计算中的关键一步，被广泛应用 于许多领域。除了本文介绍的电磁场数值计算中 数学建模的几种网格剖分方法方法以外，还有拓 扑分解法、网格模板法、扫描发和特殊的网格生 成技术[10]等。网格生成方法是一个相当宽的研究 领域，随着高科技的发展要求，全自动生成网格 的方法将成为以后研究领域的重点。
1 网格剖分的基本方法
1.1 Delaunay 三 角 划 分 法 （ Delaunay Triangulation Method）
Delaunay 三角划分(简称 DT)也是结点连元 法，是通用的全自动网格生成方法之一。在平面 域的 Delaunay 三角划分中，DT 法有两大优点[2]： 首先，遵循最大-最小准则，即所有的三角形单中 最小角之和均大于非 Delaunay 划分所形成的三 角形最小角之和，此时结点分布中不存在四点及 四点以上共圆，从而避免了生成小内角的薄元。 另外，DT 法还有空外接圆特性，即 Delaunay 三 角划分中任意三角形的外接圆(四面体为外接球) 内不包括其他结点，构造外接圆的基本过程：先 构造一个大外接圆，将所有结点都包含进去，然 后找出已有三角形中哪些三角形的外接圆内包含 新加入的结点，删除这些三角形内离心结点距离 最近的一条边，将新结点与周围的老结点连线形 成新的三角剖分。
格质量较差
推进波前法 好
自动化程度
全自动
全自动
全自动
三角形、四面 能生成的单元 三角形、四面体
体、六面体
三角形、四面 体、六面体
曲面网格生成
各向异性网格 生成
自适应网格生 成
间接法,生成单 元质量好
直接法!间接法 均可,生成单元
一般
可以
困难
能.密度控制能 能.密度控制能
力一般
力强
直接法! 间 接法均可,生成
映射法出现于 20 世纪 70 年代，是最早采用 的网格生成方法。根据映射函数的不同，主要分 为等参映射、超限映射和一致映射[4]。根据形体 边界的参数方程，利用适当的映射函数，将待分 区域映射到参数空间中形成规则参数域，对规则 参数域进行网格剖分，将参数域的网格(二维是正 方形,三维是立方体)反向映射回欧氏空间，从而 生成实际的网格。映射法可分为三大类：保角映 射法、基于偏微分方程法和代数插值法。