积分因子法在数学分析中的应用
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法称为积分因子法 。 下面将这种思想应用到一些
问题 的证 明中 。
其中 ０ （ １ ） （ ＋ ∞） ， 即Ｖ ８ ＞０ ， ３ Ｘ ＞０ ，
当 ≥ 时 ，有 １ ０ （ １ ） Ｉ ＜ ； 由（ １ ） 式知［ ｅ ） ］ ＝
，
１ 积分因子法在极限理论 中的应用
Ｌ
—
） ：ｌ ｉ ｍ
＋∞ ｅ－
：ｌ ｉ ｍ
十∞ ｅ
＿ Ｋ 。
Ｉ ￣ ｅ ＇ ｄ 孚 成 立 ，
＝ ０
＋∞
注 １ 上述证 明虽然简单 明了，但是要求大
是显然 成立 的 ， 因此 可得 ｌ ｉ ｍ ） ＝ Ｋ。
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ １ — １ ０ 基金项 目： 安徽省教育厅一般研究项 目（ Ａ Ｑ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ４ Ｂ ０ １ １ ） 。
由ｌ ｉ ｍ［ ｆ（ ） （ ） ］ 知，
一 十 田
ｐ （ ｘ ） ｅ Ｊ
以及乘积求导法则 ， 方程两端若 同乘
， 这样就可求
以ｅ Ｊ ， 则方程左端变为【 ， ， ｅ 』
厂（ ） ｔ （ ） ＝ Ｋ ＋ ０ （ １ ），
（ １ ）
出结果 了。把 ｅ ｆ 称为积分 因子 ， 这种求解方
２ 积分 因子法在微分 学中的应 用
积分 因子法的求解思想主要是 当 目标函数
＝ Ｕ ｅ ｘ ｐ ［ － ／ ｏ ＇ ｐ ， ） 叫，
－
（ ２ ）
Hale Waihona Puke Baidu
则 原方 程化 为
或方程 中同时 出现某一 函数的一次项及其导数 项 的时候 ， 可 以构造积分 因子 ， 将其 整体视为某
函数的导数 。 例 ２ 设 ） 在［ ０ ， ｌ 】 上 可导 ， 且 ０ ） （ １ ） ＝ ０ ， 求证 ： 存在 ∈ （ ０ ， １ ） ， 使得 （ ） ＋ （ ） ＝ ０ 。
例 １ 设 （ ） 在 ＋ ∞） 可导， 且
ｌ ｉ ｍ［ ｆ（ ） （ ） ］ 。
［ Ｋ ＋ ０ （ １ ） ］ ， 即ｅ Ｔ ￣ ｘ ） 一 ｅ ） ＝ Ｊ ｅ ‘ ［ ＋ ｏ （ １ ） ］ 出＝
，
Ｋ （ Ｃ 一 ） ＋Ｉ咖（ １ ） ｄ ｔ ， 从而
２ ０ １ ６年 １ ２ 月 第２ ２卷第 ４期
安庆 师 范学院 学报（ 自然 科 学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｍ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
一
ｌ Ｖ ｆ — Ａ ｖ ＝ ０ ，
， ｆ ） ∈ Ｒ × （ ｏ ， ＋ ∞ ）
Ｉ ｖ （ ｘ ， ０ ） ＝ （ ） ， ∈ Ｒ
利用 傅 里 叶变换 可解得
１ 一 咝
积 分 因 子 法 在 数 学 分 析 中 的 应 用
马宗立 ， 岳素芳
（ 安庆师范大学 数学 与计算科学学院 ， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要： 在方程两边同乘某一个积分 因子来求解微分方程 ， 往往 可以起 到事 半功倍 的效果 ， 而这种思想对一些证 明 Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ７ ５ ７ ￣ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｃ ｎ ３ ４ — １ １ ５ ０ ／ ｎ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ４ ． ０ ３ ２
作者简介 ： 马宗立， 男， 山东临沂人 ， 硕士 ， 安庆师范大学数 学与计算科学学院讲师 ， 研究方向为偏微 分方程及数学教育 。
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｄ ｍｚ ｌ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
第 ４期
马宗立 ， 岳素芳 ： 积分因子法在数学分析中的应用
‘ １ ２ ９・
） ＋ ｅ 一 Ｘ ［ ｆ （ Ｘ） － Ｋ ］
＋ 。
求证 ： ｌ ｉ ｍ厂 （ ） ＝ Ｋ。
分析 ： 此 例 考查 的是 ／ ） 的极 限 与 ／ ）
．
） 极
限的 关 系 ， 而厂 （ ） （ ） 可利用积分因子将其视
ｆ ｅ ｔ Ｏ （ １ ） ｄ ｔ
对等式右端的最后一项 — ＿～ ， 有
为某一个 函数 的导数 ， 所以问题就是某一函数极
限及 其 导数 极 限 的关 系 ，可 以利 用 洛必 达法 则 ，
也可以利用牛顿 一 莱布尼茨公式来证明。 证明 （ １ ） 应用 推广 的罗 比达 法则证 明 。
ｌ ｉ ｍ
．
ｌ ｄ ｏ （ １ ） ｄ ｔ 争 ‘
Ｄｅｃ ． ２ ０ １ ６ ＶＯＩ ． ２ ２ ＮＯ ． ４
网络出版时间 ： ２ ０ １ ７ — １ — ３ １ ７ ： １ ９ 网络出版地址 ： ｈ ｔ ｌ ｐ ： ｎ ． ｅ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ￣ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ Ｙ ３ ４ ． １ １ ５ ０ ． Ｎ ． ２ ０ １ ７ ０ １ ０ ３ ． １ ７ １ ９ ． ０ ３ ２ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
中图分类号 ： ０１ ７ １ 文献标识码 ： Ａ
对于一 阶线性 常微分方程 ｙ ＋ ｐ （ ｘ ） ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）， 由于方程里面即有未知 函数的一阶导数 Ｙ ， 又含 有未知函数的一次项 ｐ （ ｘ ） ｙ ， 考虑到［ ｅ Ｊ ∞ ＝
家对推广的洛必达法则要熟练 ， 而关于推广 的洛 必达法则的证明也不是一 目了然的事情。下面给 出一种 新 的证 明方法 。 （ ２ ） 利用牛顿 一 莱布尼茨公式证明。
文章编号： １ ０ ０ ７ － ４ ２ ６ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ４— ０ ０ １ ２ ８ — ０ ２
问题 同样有效 。结合一些具体的例子 ， 本 文讨论 了积分 因子法在数学分析中的一些应用。 关键词 ： 积分 因子 ； 洛必达法则 ； 热方程 ； Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ 不等式
问题 的证 明中 。
其中 ０ （ １ ） （ ＋ ∞） ， 即Ｖ ８ ＞０ ， ３ Ｘ ＞０ ，
当 ≥ 时 ，有 １ ０ （ １ ） Ｉ ＜ ； 由（ １ ） 式知［ ｅ ） ］ ＝
，
１ 积分因子法在极限理论 中的应用
Ｌ
—
） ：ｌ ｉ ｍ
＋∞ ｅ－
：ｌ ｉ ｍ
十∞ ｅ
＿ Ｋ 。
Ｉ ￣ ｅ ＇ ｄ 孚 成 立 ，
＝ ０
＋∞
注 １ 上述证 明虽然简单 明了，但是要求大
是显然 成立 的 ， 因此 可得 ｌ ｉ ｍ ） ＝ Ｋ。
收稿 日期 ： ２ ０ １ ６ — ０ １ — １ ０ 基金项 目： 安徽省教育厅一般研究项 目（ Ａ Ｑ Ｋ Ｊ ２ ０ １ ４ Ｂ ０ １ １ ） 。
由ｌ ｉ ｍ［ ｆ（ ） （ ） ］ 知，
一 十 田
ｐ （ ｘ ） ｅ Ｊ
以及乘积求导法则 ， 方程两端若 同乘
， 这样就可求
以ｅ Ｊ ， 则方程左端变为【 ， ， ｅ 』
厂（ ） ｔ （ ） ＝ Ｋ ＋ ０ （ １ ），
（ １ ）
出结果 了。把 ｅ ｆ 称为积分 因子 ， 这种求解方
２ 积分 因子法在微分 学中的应 用
积分 因子法的求解思想主要是 当 目标函数
＝ Ｕ ｅ ｘ ｐ ［ － ／ ｏ ＇ ｐ ， ） 叫，
－
（ ２ ）
Hale Waihona Puke Baidu
则 原方 程化 为
或方程 中同时 出现某一 函数的一次项及其导数 项 的时候 ， 可 以构造积分 因子 ， 将其 整体视为某
函数的导数 。 例 ２ 设 ） 在［ ０ ， ｌ 】 上 可导 ， 且 ０ ） （ １ ） ＝ ０ ， 求证 ： 存在 ∈ （ ０ ， １ ） ， 使得 （ ） ＋ （ ） ＝ ０ 。
例 １ 设 （ ） 在 ＋ ∞） 可导， 且
ｌ ｉ ｍ［ ｆ（ ） （ ） ］ 。
［ Ｋ ＋ ０ （ １ ） ］ ， 即ｅ Ｔ ￣ ｘ ） 一 ｅ ） ＝ Ｊ ｅ ‘ ［ ＋ ｏ （ １ ） ］ 出＝
，
Ｋ （ Ｃ 一 ） ＋Ｉ咖（ １ ） ｄ ｔ ， 从而
２ ０ １ ６年 １ ２ 月 第２ ２卷第 ４期
安庆 师 范学院 学报（ 自然 科 学版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ａ ｎ ｑ ｉ ｎ ｇ Ｔ ｅ ａ ｃ ｈ ｅ ｍ Ｃ ｏ ｌ ｌ ｅ ｇ ｅ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ Ｅ ｄ ｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ）
一
ｌ Ｖ ｆ — Ａ ｖ ＝ ０ ，
， ｆ ） ∈ Ｒ × （ ｏ ， ＋ ∞ ）
Ｉ ｖ （ ｘ ， ０ ） ＝ （ ） ， ∈ Ｒ
利用 傅 里 叶变换 可解得
１ 一 咝
积 分 因 子 法 在 数 学 分 析 中 的 应 用
马宗立 ， 岳素芳
（ 安庆师范大学 数学 与计算科学学院 ， 安徽 安庆 ２ ４ ６ １ ３ ３ ）
摘
要： 在方程两边同乘某一个积分 因子来求解微分方程 ， 往往 可以起 到事 半功倍 的效果 ， 而这种思想对一些证 明 Ｄ Ｏ Ｉ ： １ ０ ． １ ３ ７ ５ ７ ￣ ． ｃ ｎ ｋ ｉ ． ｃ ｎ ３ ４ — １ １ ５ ０ ／ ｎ ． ２ ０ １ ６ ． ０ ４ ． ０ ３ ２
作者简介 ： 马宗立， 男， 山东临沂人 ， 硕士 ， 安庆师范大学数 学与计算科学学院讲师 ， 研究方向为偏微 分方程及数学教育 。
Ｅ— ｍａ ｉ ｌ ： ｓ ｄ ｍｚ ｌ ＠１ ２ ６ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
第 ４期
马宗立 ， 岳素芳 ： 积分因子法在数学分析中的应用
‘ １ ２ ９・
） ＋ ｅ 一 Ｘ ［ ｆ （ Ｘ） － Ｋ ］
＋ 。
求证 ： ｌ ｉ ｍ厂 （ ） ＝ Ｋ。
分析 ： 此 例 考查 的是 ／ ） 的极 限 与 ／ ）
．
） 极
限的 关 系 ， 而厂 （ ） （ ） 可利用积分因子将其视
ｆ ｅ ｔ Ｏ （ １ ） ｄ ｔ
对等式右端的最后一项 — ＿～ ， 有
为某一个 函数 的导数 ， 所以问题就是某一函数极
限及 其 导数 极 限 的关 系 ，可 以利 用 洛必 达法 则 ，
也可以利用牛顿 一 莱布尼茨公式来证明。 证明 （ １ ） 应用 推广 的罗 比达 法则证 明 。
ｌ ｉ ｍ
．
ｌ ｄ ｏ （ １ ） ｄ ｔ 争 ‘
Ｄｅｃ ． ２ ０ １ ６ ＶＯＩ ． ２ ２ ＮＯ ． ４
网络出版时间 ： ２ ０ １ ７ — １ — ３ １ ７ ： １ ９ 网络出版地址 ： ｈ ｔ ｌ ｐ ： ｎ ． ｅ ｎ ｋ ｉ ． ｎ ｅ ｔ ／ ｋ ｃ ｍ ￣ ｄ ｅ ｔ ａ ｉ Ｙ ３ ４ ． １ １ ５ ０ ． Ｎ ． ２ ０ １ ７ ０ １ ０ ３ ． １ ７ １ ９ ． ０ ３ ２ ． ｈ ｔ ｍ ｌ
中图分类号 ： ０１ ７ １ 文献标识码 ： Ａ
对于一 阶线性 常微分方程 ｙ ＋ ｐ （ ｘ ） ｙ ＝ ｆ （ ｘ ）， 由于方程里面即有未知 函数的一阶导数 Ｙ ， 又含 有未知函数的一次项 ｐ （ ｘ ） ｙ ， 考虑到［ ｅ Ｊ ∞ ＝
家对推广的洛必达法则要熟练 ， 而关于推广 的洛 必达法则的证明也不是一 目了然的事情。下面给 出一种 新 的证 明方法 。 （ ２ ） 利用牛顿 一 莱布尼茨公式证明。
文章编号： １ ０ ０ ７ － ４ ２ ６ ０ （ ２ ０ １ ６ ） ４— ０ ０ １ ２ ８ — ０ ２
问题 同样有效 。结合一些具体的例子 ， 本 文讨论 了积分 因子法在数学分析中的一些应用。 关键词 ： 积分 因子 ； 洛必达法则 ； 热方程 ； Ｇ ｒ ｏ ｎ ｗ ａ ｌ ｌ 不等式